专题16 双空题综合
新高考地区专用
1.已知函数().
(1),___________;
(2)若m,n满足,则的最小值是___________.
【答案】
【详解】(1);
(2),
,
等价于,
即,故,其中,,
所以,
等号成立当且仅当,即,时成立,故取最小值;
故答案为:2, .
2.设抛物线的焦点为F,准线为l,过第一象限内的抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设与相交于点D.若,且的面积为,则直线的斜率________,抛物线的方程为________.
【答案】
【详解】解:如图所示,,.
所以.轴,,,
所以四边形为平行四边形,,.,解得,
代入可取,,解得.
故答案为: ;
3.已知,且,函数,若,则___________,的解集为___________.
【答案】
【详解】①由题可知,,
则,即,解得,故.
②当时,,解得;当时,恒成立.
故不等式的解集为.
故答案为:;.
4.如图,在水平放置的直径与高相等的圆柱内,放入两个半径相等的小球球A和球,圆柱的底面直径为,向圆柱内注满水,水面刚好淹没小球则球A的体积为________,圆柱的侧面积与球B的表面积之比为___________.
【答案】
【详解】设圆柱的底面半径为R,小球的半径为r,且,
由圆柱与球的性质知,即,,
球A的体积为
(2)球B的表面积,
圆柱的侧面积,圆柱的侧面积与球B的表面积之比为
故答案为:;
5.抛物线的焦点为,则______,过F的直线l与C交于A,B两点,若线段AB中点的纵坐标为1,则______.
【答案】 1 4
【详解】∵抛物线的焦点为,
所以,设,,则,,
又AB的中点为,直线l的斜率为k,所以,所以,
故,故.故l的方程为,所以.故.
故答案为:1;4.
6.19世纪,美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时,偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高.约半个世纪后,物理学家本福特又重新发现这个现象,从实际生活得出的大量数据中,以1开头的数出现的频率约为总数的三成,接近期望值的3倍,并提出本福特定律,即在大量b进制随机数据中,以n开头的数出现的概率为,如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.根据本福特定律,在某项大量经济数据(十进制)中,以6开头的数出现的概率为______;若,,则k的值为__________.
【答案】 5
【详解】由题意可得:
(1)
(2),而,故,则.
故答案为:
7.如图,在中,,,点P在线段CD上(P不与C,D点重合),若的面积为,,则实数m=________,的最小值为________.
【答案】 ##0.25
【详解】因为,所以
而
因为与为非零共线向量,故存在实数使得
故 所以
的面积为,
所以
当且仅当时等号成立,故的最小值为;
故答案为:;.
8.)已知数列满足,且,,则该数列的首项______;若数列的前项的为,且对都有恒成立,则实数的取值范围为_____________.
【答案】 1
【详解】因为数列满足,所以,所以,
所以为等差数列,设其公差为d.
因为,所以,,所以,解得:.
所以,所以,所以.
所以.
所以
因为对都有恒成立,所以,即实数的取值范围为.
故答案为:1;.
9.已知椭圆的左、右焦点分别为,,点P在C上,直线PF2与y轴交于点Q,点P在线段上,的内切圆的圆心为,若为正三角形,则=___________,C的离心率的取值范围是___________.
【答案】
【详解】设为上顶点,点位于第一象限,作交椭圆于点,则如图所示:
依题意得
依题意得点位于点与之间,故
所以,则化为,解得
故答案为:,
10.已知一个袋子里有9个大小、形状、质地完全相同的球,其中4个红球、2个白球、3个黑球,先从袋子中任取1个球,再从剩下的8个球中任取2个球,则这2个球都是红球的概率为______,先取出的球也是红球的概率为______.
【答案】
【详解】设事件A表示从剩下的8个球中任取2个球都是红球,事件,,分别表示先取的1个球是红球、白球、黑球,由全概率公式得,
.
故答案为:;.
11.用标有克,克,克的砝码各一个,在某架无刻度的天平上称量重物,如果天平两端均可放置砝码,那么该天平所能称出的不同克数(正整数的重物)至多有______种;若再增加克,克的砝码各一个,所能称出的不同克数(正整数的重物)至多有______种.
【答案】 7 62
【详解】当一边放砝码时:一个砝码时,有能称出克、克、克,两个砝码时能称出克、克、克,三个砝码时能称出克共有种情况;
当两边都放砝码时:一边各放一个砝码时,则能称出克、克、克三种情况;
一边两个另一边一个有克、克、克三种情况,
综上所述,该天平所能称出的不同克数至多有共有种情况.
若用克、克、克的砝码可称量范围,
若加入克后,可称量的范围,即,
若加入克后,可称量的范围,即,
也可称量,即,
也可称量,即,
则,,,,,因为为正整数,所以,
所以再增加克,克的砝码各一个,所能称出的不同克数(正整数的重物)至多有种.
故答案为:;.
12.已知定义在上的函数在处取得最小值,则最小值为______,此时______.
【答案】 ##
【详解】
因为,则,令,则,
,则,所以,,
所以,当时,函数取得最小值,即,
此时,由已知,
所以,,
.
故答案为:;.
13.已知A,B为抛物线上两点,O为坐标原点,若,直线必过定点,则定点的坐标为______;的面积的最小值是______.
【答案】 16
【详解】设直线的方程为,点,,
因为,所以,所以.
由 得,所以,,
.所以,解得或.
当时,直线过原点,不满足题意;
当时,直线的方程为,过定点,
的面积为,
即当时,的面积取得最小值16.
故答案为:; 16
14.已知、,是圆上的动点,当最大时,________;的最大值为________.
【答案】
【详解】由已知可得,则,得,
且有,所以,
,
当且仅当时,即当时,取得最大值.
因为,,所以,,
设,,其中,
所以,,
因为,则,当时,即当时,取得最大值,
此时,可得,合乎题意.
故答案为:;.
15.已知A,B是抛物线上两动点,过A,B分别作抛物线的切线,若两切线交于点P,当时,点P的纵坐标为___________,APB面积的最小值为___________.
【答案】
【详解】设,,不妨设A在第一象限,
因为,所以直线AP的方程为,即,
同理,直线BP的方程为,
两方程联立,解得,所以点,
因为,所以,所以.,
则直线AB的方程为,即,
故点P到直线AB的距离,,
所以,当且仅当时,等号成立.
故答案为:,
16.已知是抛物线上一点,且位于第一象限,点到抛物线的焦点的距离为,则______;若过点向抛物线作两条切线,切点分别为、,则______.
【答案】
【详解】由抛物线的定义得,解得,所以抛物线的方程为,
将代入抛物线的方程可得,因为,可得.
易知点不在抛物线上,设点、的坐标分别为、.
又,所以抛物线在点处的切线方程为,即,
将点的坐标代入直线方程,可得,同理可得,
因为点、的坐标满足方程,故直线的方程为.
将代入,整理得,
则,所以,,
故.
故答案为:;.
17.已知数列满足,,则的值为___________,的值为___________.
【答案】
【详解】解:令,则,,令,则,
所以,所以,因为,所以,即,
当时,有,
因为,所以,所以,所以,
故答案为:,
18.已知、为双曲线:的左、右焦点,点在上,,则的面积为___________,内切圆半径为___________.
【答案】
【详解】依题意知,,所以.设,,在△中,
由余弦定理得,即 ①,
由双曲线定义得,平方,得 ②,
联立①②得,,进而可得,
所以,△的面积,
设△内切圆半径为,则△的面积,
所以,解得内切圆半径为.
故答案为:①;②.
19.在梯形中,,将沿折起,连接,得到三棱锥,则三棱锥体积的最大值为__________.此时该三棱锥的外接球的表面积为__________.
【答案】
【详解】过点C作,垂足为E,为等腰梯形,
,由余弦定理得,即
易知,当平面平面ABC时,三棱锥体积最大,此时,平面
易知,
记O为外接球球心,半径为R平面,O到平面的距离
又的外接圆半径
故答案为:,
20.为检测出新冠肺炎的感染者,医学上可采用“二分检测法”、假设待检测的总人数是()将个人的样本混合在一起做第1轮检测(检测一次),如果检测结果为阴性,可确定这批人未感染;如果检测结果为阳性,可确定其中有感染者,则将这批人平均分为两组,每组人的样本混合在一起做第2轮检测,每组检测1次,如此类推:每轮检测后,排除结果为阴性的那组人,而将每轮检测后结果为阳性的组在平均分成两组,做下一轮检测,直到检测出所有感染者(感染者必须通过检测来确定).若待检测的总人数为8,采用“二分检测法”检测,经过4轮共7次检测后确定了所有感染者,则感染者人数最多为______人.若待检测的总人数为,且假设其中有不超过2名感染者,采用“二分检测法”所需检测总次数记为n,则n的最大值为______.
【答案】 2
【详解】若待检测的总人数为8,则第一轮需检测1次,第2轮需检测2次,第3轮需检测2次,第4轮需检测2次,则共需检测7次,此时感染者人数最多为2人;
若待检测的总人数为,且假设其中有不超过2名感染者,
若没有感染者,则只需1次检测即可;若只有1个感染者,则只需次检测;
若只有2个感染者,若要检测次数最多,则第2轮检测时,2个感染者不位于同一组,
此时相当两个待检测均为的组,每组1个感染者,此时每组需要次检测,
所以此时两组共需次检测,
故有2个感染者,且检测次数最多,共需次检测,
所以采用“二分检测法”所需检测总次数记为n,则n的最大值为.
故答案为:2,
21.德国数学家康托尔是集合论的创始人,以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下:第一次操作,将边长为1的正方形分成9个边长为的小正方形后,保留靠角的4个,删去其余5个;第二次操作,将第一次剩余的每个小正方形继续9等分,并保留每个小正方形靠角的4个,其余正方形删去;以此方法继续下去……、经过n次操作后,共删去______个小正方形;若要使保留下来的所有小正方形面积之和不超过,则至少需要操作______次.()
【答案】 9
【详解】由题可知,每次删掉的正方形数构成公比为4,首项为5的等比数列,
所以经过n次操作后,共删去的正方形个数;
易知,第次操作后共保留个小正方形,其边长为,
所以,保留下来的所有小正方形面积之和为
由,得
所以,至少需要9次操作才能使保留下来的所有小正方形面积之和不超过.
故答案为:,9.
22.在平面四边形ABCD中,,,,,.以AB为轴,其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体,旋转过程中,C,D均在球O上,则球O的半径是___________,几何体的体积是___________.
【答案】