18.1 平行四边形第4课时目录课前导入新课精讲学以致用课堂小结课 前 导 入情景导入温故知新平行四边形的判定边角对角线两组对边分别平行的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形新 课 精 讲探索新知1知识点三角形中位线的性质探究思考请同学们按要求画图：画任意ABC 中，画AB、AC边中点D、E，连接DEDE定义：像DE 这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线探索新知观察猜想在ABC 中，中位线DE和边BC 什么关系?DE 和边BC 关系数量关系：位置关系：ABCDEDE/BCDE BC探索新知如图，D，E 分别是ABC 的AB，AC 的中点.求证：DE/BC，DE=BC.分析：本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半.将DE 延长一倍后，可以将证明DE=BC 转化为证明延长后的线段与BC 相等.又由于E 是AC 的中点，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形构造一个平行四边形，利用平行四边形的性质进行证明.探索新知如图，延长DE 到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF.AE=EC，DE=EF，四边形ADCF 是平行四边形，CF DA.CF BD.四边形DBCF 是平行四边形，DF BC.又 DE=DF，DE/BC，且DE=BC.证明：探索新知归 纳通过上述证明，我们得到三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的 第三边，并且等于第三边的一半；数学表达式：如图，ADBD，AEEC，DEBC，且DE BC.探索新知例1 如图所示，D 是ABC 内一点，BDCD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H 分别是AB、AC、CD、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是 利用勾股定理列式求出BC 的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入数据进行计算即可得解11分析：探索新知BDCD，BD=4，CD=3，BCE、F、G、H 分别是AB、AC、CD、BD 的中点，EH=FG=AD，EF=GH=BC，四边形EFGH 的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，又AD=6，四边形EFGH 的周长=6+5=11解：探索新知总 结 本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键探索新知例2 如图，已知E 为平行四边形ABCD 中DC 边延长线 上一点，且CEDC，连接AE，分别交BC，BD 于点F，G，连接AC 交BD 于点 O，连接OF.求证：AB2OF.点O 是平行四边形两条对角线的交点，所以点O 是线段AC 的中点，要证明AB2OF，我们只需证明点F 是线段BC的中点，即证明OF 是ABC 的中位线导引：探索新知四边形ABCD 为平行四边形，ABCD，ABCD.E 为平行四边形ABCD 中DC 边延长线上一点，且CEDC，ABCE，ABCE，四边形ABEC 是平行四边形，点F 是BC 的中点又点O 是AC 的中点，OF 是ABC 的中位线，AB2OF.证明：探索新知总 结证明线段倍分关系的方法：由于三角形的中位线等于三角形第三边的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点时，常考虑三角形中位线定理典题精讲1如图，在ABC 中，D，E，F 分别是AB，BC，CA 的中点.以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么？可画出3个平行四边形，根据三角形的中位线定理可得平行四边形有：BDFE，DFCE，ADEF.解：典题精讲2如图，直线l1l2，在l1，l2上分别截取AD，BC，使AD=BC，连接AB，CD.AB 和CD 有什么关系？为什么？ABCD 且ABCD.因为l1l2，所以ADBC，又因为ADBC，所以四边形ABCD 是平行四边形所以ABCD，且ABCD.解：典题精讲3如图，A，B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C，连接AC 和BC.怎样测出 A，B 两点间的距离？根据是什么？如图所示，分别取AC，BC 的中点E，F，连接EF，则EF 就是ABC 的中位线量出EF 的长，根据AB2EF，即可求出A，B 两点间的距离解：典题精讲4如图，要测定被池塘隔开的A，B 两点的距离，可以在AB 外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED.现测得AC30 m，BC40 m，DE24 m，则AB()A50 m B48 m C45 m D35 mB探索新知2知识点三角形中位线在四边形中的应用欲证MN BC，只需证明MN是EBC 的中位线即可而要证得M，N 分别为BE，CE 的中点，则可利用E，F 分别为AD，BC的中点证四边形ABFE 和四边形EFCD 为平行四边形得到例3 如图，在ABCD 中，E，F 分别是AD，BC 的中点，连接AF，DF 分别交BE，CE 于点M，N，连接MN.求证：MN BC.导引：探索新知如图，连接EF.四边形ABCD 是平行四边形，AD BC.E，F 分别是AD，BC 的中点，AE AD，BF BC，AE BF.四边形ABFE 是平行四边形，MBME.同理，四边形EFCD 是平行四边形，NCNE.MN 是EBC 的中位线MN BC.证明：探索新知总 结(1)证明两直线平行的常用方法：利用同平行(垂直)于第三条直线；利用同位角、内错角相等，同旁内角互补；利用平行四边形 的性质；利用三角形的中位线定理(2)证明一条线段是另一条线段的2倍的常用方法：利用含30角的直角三角形；利用平行四边 形的对角线；利用三角形的中位线定理典题精讲1如图，已知E，F，G，H 分别为四边形ABCD 各边的中点，若AC10 cm，BD12 cm，则四边形EFGH 的周长为()A10 cm B11 cm C12 cm D22 cmD典题精讲2如图，已知长方形ABCD 中，R，P 分别是DC，BC上的点，E，F 分别是AP，RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，下列结论成立的是()A线段EF 的长逐渐增大B线段EF 的长逐渐减小C线段EF 的长不改变D线段EF 的长先增大后减小C易错提醒如图，ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，点E，F 分别是线段AO，BO 的中点，若ACBD24 cm，OAB 的周长是18 cm，则EF_cm.3易错点：忽视整体思想的应用而求不出中位线的长.易错提醒ACBD24 cm，OAOB12 cm，又OAB 的周长是18 cm，OAOBAB18 cm，AB6 cm.又 点E，F 分别是线段AO，BO 的中点，EF AB3 cm.此题易错之处在于忽视运用整体思想求OA，OB 的长度和，从而导致求不出中位线长学 以 致 用小试牛刀1如图，在ABC 中，AB3，BC4，AC2，D，E，F 分别为AB，BC，AC 的中点，连接DF，FE，则四边形DBEF 的周长是()A5 B7 C9 D11B小试牛刀2如图，ABC 的面积是12，点D，E，F，G 分别是BC，AD，BE，CE 的中点，则AFG 的面积是()A4.5 B5 C5.5 D6A小试牛刀3如图，在ABC 中，ABAC，E，F 分别是BC，AC 的中点，以AC 为斜边作RtADC，若CADCAB45，则下列结论不正确的是()AECD112.5 BDE 平分FDCCDEC30 DAB CDC小试牛刀4如图，在ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，点E 是AB 的中点，OE5 cm，则AD 的长为_cm.10小试牛刀5如图，四边形ABCD 中，A90，AB3 ，AD3，点M，N 分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M 不与点B 重合)，点E，F 分别为DM，MN 的中点，则EF 长度的最大值为_3小试牛刀6 如图，在四边形ABCD 中，ABDC，P 是对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，N 是BC 的中点 (1)若AB6，求PM 的长；(2)若PMN20，求MPN 的度数小试牛刀(1)ABDC，AB6，DC6.点P 是AC 的中点，点M 是AD 的中点，PM 是ADC 的中位线 PM DC 63.(2)点P 是AC 的中点，点N 是BC 的中点，PN 是ABC 的中位线 PN AB.ABDC，PMPN.PNMPMN20.MPN180PMNPNM140.解：小试牛刀7 如图，E 为ABCD 中DC 边的延长线上一点，且CE DC，连接AE，分别交BC，BD 于点F，G，连接AC 交BD 于O，连接OF，判断AB 与OF 的位置关系和数 量关系，并证明你的结论小试牛刀ABOF，OF AB，理由：如图，连接BE，四边形ABCD 是平行四边形，OAOC，ABDC，ABDE，又CEDC，ABCE.四边形ABEC 是平行四边形BFCF.OF 是ABC 的中位线ABOF，OF AB.解：小试牛刀8 如图，四边形ABCD 中，ABCD，G，H 分别是 BC，AD 的中点，BA，CD 的延长线分别交GH 的 延长线于点E，F.求证：AEHF.小试牛刀如图，连接AC，取AC 的中点M，连接HM，GM.H 是AD 的中点，M 是AC 的中点，HM 是ADC 的中位线HMCD，HM CD.MHGF.同理，GMAB，GM AB.MGHAEH.又ABCD，GMHM.MGHMHG.AEHF.证明：小试牛刀9 已知：如图，在ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是 AE 的中点，FC 与BE 交于G.求证：GFGC.小试牛刀如图，取BE 的中点H，连接FH，CH.F 是AE 的中点，H 是BE 的中点，FH 是ABE 的中位线FHAB 且FH AB.在ABCD 中，ABDC，ABDC.又点E 是DC 的中点，EC DC AB，FHEC.又ABDC，FHAB，FHEC，四边形EFHC 是平行四边形GFGC.证明：课 堂 小 结课堂小结三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半几何语言(如图)：DE 是ABC 的中位线，DEBCDE=BCABCDE同学们，下节课见！