济宁市2021—2022学年度高三第一学期期中考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将所应该填涂的内容涂在答题卡相应位置处.并将条形码贴在答题卡相应位置处. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 第I卷（选择题部分，60分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全体实数集，集合，则（　　） A． B． C． D． 2.已知复数，则下列结论正确的是（ ） A．在复平面对应的点位于第三象限 B．的虛部是 C．（是复数的共轭复数） D． 3.命题，使得成立．若是假命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4.已知函数（且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则（ ） A． B．0 C．7 D． 5．在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知数列满足，则（ ） A． B． C． D． 6．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法∶先画等边三角形ABC ，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为2π ，则其面积是（　　） A． B． C． D． 7.已知函数（其中是自然对数的底数），若，，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 8.对于角的正切的倒数,记作，称其为角的余切.在锐角三角形中，角所对的边分别为，，，若满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法中真命题的是（ ） A．若，表示不超过的最大整数，则在上是周期函数 B．函数的图象关于轴对称 C．函数，若，则. D．若等差数列：，，则当时的前项和最大 10.已知平面向量、、为三个单位向量，且，若（），则的取值可能为（ ） A． B． C． D． 11.关于函数，则下列说法中正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小正周期为 C．的图象关于直线对称 D．在上单调递增 12.已知函数若存在实数，，，（）满足，则（ ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题部分，90分） 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知，为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为________． 14.数列的通项公式，前项和为，则 =___________. 15.已知函数，对任意且，都有，则实数的取值范围是_______. 16．在数列中，，为的前项和，且函数的导函数有唯一的零点，则________；当不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17（10分）.已知数列中，，______，其中． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 从①前项和，②，③且，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答． 18(12分).在中，内角所对的边长分别为，，，是1和的等差中项． （1）求角； （2）若边上的中线长为，，求的面积． 19(12分).如图，某校园有一块半径为的半圆形绿化区域（以为圆心，为直径），现对其进行改建，在的延长线上取点，，在半圆上选定一点，改建后绿化区域由扇形区域和三角形区域组成，设. （1）当时，求改建后的绿化区域边界与线段长度之和； （2） 若改建后绿化区域的面积为，写出关于的函数关系式，试问为多大时，改建后的绿化区域面积取得最大值，最大值为多少？ （注：请利用参考数据,求出本题中的与的结果的具体值）. 20（12分）.已知数列中，，． （1）求证：数列为等比数列，并求出的通项公式； （2）数列满足，设为数列的前项和， 求对任意使得恒成立的最小的整数的值． 21（12分）.函数，. （1）把的解析式改写为(，)的形式； （2）求的最小正周期并求在区间上的最大值和最小值； （3）把图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍得到函数的图象，再把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上至少有个零点，求的最小值. 22（12分）.已知函数，，. （1）求的最大值； （2）若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）证明不等式（其中e是自然对数的底数） 高三数学参考答案 一、单项选择题：CDAD BABC 二、多项选择题：9.AD 10.ABC 11.ACD 12.ABD 三、填空题：13.且 14.10 15. 16. 四、解答题： 17.【详解】（1）选①：因为，， 当时，， 当时，等式也成立所以，；--------------------4分 选②：由，，所以数列是以2为首项2为公差的等差数列， 所以，；-------------4分 选③：由，且，可得数列为等差数列，设公差为， 则，所以，；---------------4分 （2），-------------6分 .-----------10分 18.【详解】：（1）由题意及正弦定理得，所以， 化简得，因为，所以， 而在中，，所以；--------------------6分 （2）设中线交于，则， 由余弦定理得，即，化简得， 因为，所以，所以．---------12分 另解：由余弦定理可得①, 由得②， 由①②可得，所以．-------------------12分 19. 【详解】（1）弧-------3分 -------4分 （2），. 由，得，，单调递增， 得，，单调递减.所以当时，取得最大值， 最大值为----11分 m2.----12分 20.【详解】（1）由，得， 令，所以，解得，所以， 由等比数列的定义可知：数列是以为公比，以为首项的等比数列， 所以，即，-------------5分 （2）由题意得， ， ， 两式相减得：，即-----9分 所以数列单调递减，， 则，要使对任意恒成立，只需， 所以使恒成立的最小的整数为．-----12分 21.【详解】（1）由题意，函数 . 即的解析式为.-------------------------4分 （2） 由（1）知，所以函数的最小正周期为， 因为，则， 所以当，即时，函数取得最小值，最小值为； 当，即时，函数取得最大值，最大值为， 即函数的最小值为，最大值为.--------------8分 （3）把图像上的点的横坐标变为原来的2倍，得到函数， 再把函数图像上所有的点向左平移个单位长度，可得， 则函数，---------------10分 令，即，即，解得或， 要使得函数区间上至少有个零点，则只需， 即实数的最小值为（或写作）.---------12分 22.【详解】（1）由，，得， 当时，，当时，，所以在上递增，在上递减， 所以当时，取得最大值，即.--------------3分 （2）对，总存在使得成立，等价于存在使得成立，由（1）可知，问题转化为存在，使得， ，，当时， ①当时，若，，函数单调递减，，不符合题意； ②当时，，使得， 若，；若时，，即当，则，使得，符合题意； ③当时，若，，函数单调递增，，则，使得，符合题意；综上可知，所求实数的取值范围是---------------8分 另解：存在，使得，即，则， 设，设， 当，单调递减，，，单调递减， 而，则当时， 所以要使存在，使得，只需即可， 故所求实数的取值范围是.-------------8分（注：答案为扣1分） （3） 由（2）可得当时,若，，令，，有；------------------9分 再由（1）可得：，则， 即，也即，∴，------------10分 .------------11分 则 所以.--------------------------------12分