高等数学（工本）串讲笔记（珍藏版）温馨提示：本书共包括以下三部分：考点精要核心题型自考乐园俱乐部简介第 一 部 分 考 点 精 要第 一 部 分 考 点 精 要一、空间解析几何与向量代数（-）向量代数1.向量的定义具有大小和方向的量称为向量；只有大小的量称为数量（实 数）。向量可以用有向线段:诂 来表示.2.向量的模向 量 a 的 长 度 称 为 向 量 的 模.记 为|a I.模 为 1 的向量称为单位向量：长 度 为 零 的 向 量 称 为 零 向 量.记 为 0.对 两 个 向 量 的 夹 角 0,规 定。W 0&7 T.3.基本单位向量与.r 轴、了轴、z 轴 三个坐标轴同方向的单位向量分别 记 为 i.j.A.称为基本单位向量.4.向量的方向角与方向余弦非 零 向 量 a 分 别 与/轴、3,轴、=轴三个坐标轴正向的夹角称为a 的 方 向 角：cosa.cosy9.cosy称 为 a 的方向余弦.2 高等数学（工本）5.向量的坐标表示苦a分别在了轴、），轴、。轴三个坐标轴上的投影为a.b,c,则a =a i +何 +ck,记为a =a.，C,并称a.,c为向量a的坐标.对于给定的点 M（一 门.J”，Z ）,（l?,v2,z2）,则-Mi Ms=（z i ）i +（y?一2）j +（之2 z i）A=（工2 一 心，1y 2 y】，打 一 6.向量的线性运算给定向量戏邛及数量展可定义向量的加法a+P及数量乘法；l a.统称为向量的线性运算，其满足运算律：（1）加法交换律 a +=p+a；（2）加法结合律（a +p）+y =a+（p +y）：（3）数量乘法结合律 人（,a）=幺（2窃）=（入 户）a，其中A与户是数量；（4）数量乘法对于数量加法的分配律（2+）窃=A t z +t a ;（5）数量乘法对于向量加法的分配律M a +夕）=加+邛.7.向量的数量积给 定 向 量a与0，它 们 的 数 量 积 定 义 为a-P=第一 部 分 考点精要 3 a-P|C O S A其中是a 与夕的夹角。数量积满足下列运算律：(1)交换律 a 夕=夕a；(2)结合律 人(a 0)=(沁)p=a (酒),其中义是数量；(3)分配律(a+P)y=a y+y.8.向量的向量积给定两个向量a 和夕.它们的向量积定义为一个向量.记为a X 夕，满足：(l)|a X p|=|a|p|si”,其 中中是a 与 夕的夹角；(2)a X/J的方向垂直于a 与0 所在的平面，并且与a.夕符合右手法则.向量积满足下列运算律：(1)反交换律 a X 0=-(X a)：(2)结合律 M aX/D=(aa)X p=aX(却).其中A是数量；(3)左分配律 r x(a+/l)=y x a +r x p.右分配律(a+/X y=a X y+p x y.9.向量及其坐标的有关公式给定向量0=：1 .2 ；P=及数量人.高等数学(工本)则(1)A a =初1，祖2，瓶3，。土=K 1 土仇，土。2,“3 土3 .(2)a ,P =a P c o s夕=一+a 2 b z+a：&,其中W是两个向量的夹 角。于是可推知01 仇 +。2。2+。3。3j g+4，6+4+%(3)a X P =2力3a、j+34 1 42b l)243(4)a与夕平行的充要条件是它们对应的坐标成比例，即？=箸=箸.(5)a与p垂 直 的 充 分 必 要 条 件 是 窃,夕=0.即&+a2b2+。3优=0.(6)若 a =；a.a?“W。,则 a =二a称为a 单I a I位 化 向 量.它 表 示 与a同方 向 的 单 位 向 量.并 有a =I a I第 一 部 分 考 点 精 要 5 a”.此时0_ 1_a_ az_ a3_1 JW+:+，J(F+:+/+:+/)=(cow cos?.cosy).其 中 cosa,cos/?,cos7是a 的方向余弦.(二)空间中的曲面与曲线1.曲面与曲面方程给定曲面S 及三元方程=0,如果曲面S上的点的坐标都满足方程.反之.方程的解所对应的点都 在 S 上，则称S 为方程F(z,)，,?)=0 所表示的曲面.两个方程F (I,)，=)=0 和 F _ (.1y.=)=0 表不同一个曲面的充分必要条件是它们为同解方程.2.空间曲线的方程空间中的曲线(可以看做两个曲面的交线,它的一般方程为I F(.r,y,w)=0.1G(z,_y,w)=0.空间曲线C 也可表示为参数方程f JT =J(Z).乂 1y=1y(/),(a&I b).=z(t)6 高等数学(工本)3.旋转面方程条平面曲线(绕它所在平面的一条直线L 旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面(旋转面),其中曲线。称为旋转曲面的母线.直线L称为旋转曲面的旋转轴.(=0,Q y,平面上的曲线(：,绕 r轴旋转的I 7=0旋转面方程为/(士 J xz v2 t)=0；绕 y轴旋转的旋转面方程为J Xy,+/2)=0.类似可得其它坐标面上的曲线绕坐标轴旋转的旋转面方程.4.柱面方程平行于定直线L 并沿定曲线C移动的直线/所生成的曲面称为柱面,其中动直线/在移动中的每一个位置称为柱面的母线.曲线C称为柱面的准线.(fix,y)=0,以 Q r v 平面上的曲线C：1 为准线.母I z =0线平行于z轴的柱面方程为/Q.y)=0.同理方程g(V.Z)=0 和h(.r ,z)=0 分别表示母线平行于工轴和N 轴的柱面.第一 部 分 考点精要 7 5.曲线在坐标面上的投影/B (:，v,*)=0.在空间曲线C：.的方程中，经过同解变形分别消去变量才力,2,则 可 得 到(在 Q y z平面、(h z 平面及。Q，平面上的投影曲线,分别形如I F(y.z)=0,I G(n)=0.(H(.r.y)=0,lx =0 11y=0，z=0.(三)空间中的平面与直线方程1.平面方程(1)点法式：给定空间中的点P.(；ro.V o-W)及非零向量=A.3 C .则 经 过 点 1 且与垂直的平面方程为A(工一x()+8(_ y -1yo)+(n NO)=0,其中称为平面的法向量.(2)一 般式：A r+8.y+a +D=0,其中 A.3.(、不全为零.(3)截距式：-匚+齐+三 =1,其中全不a b c为零.(4)两个平面之间的关系：设两个平面加与7T?的法向量依次为的=Ai.Bi.Ci和 A?.及.(.如与股的夹角0规定为它们法向量的 8 高等数学（工本）夹角（取锐角）.这时c o s ZA/I I I=-1-；-7I l I I I_ I A,A2+B|B2+C1C2 I+历+c/A：+I九+两个平面平行的充要条件是：千=%=合；两个平面垂直的充要条件是:AA?+/3i民+S G =0.2.直线方程（1）一般式：将直线表示为两个平面的交线/Ai z+8 y+G z+D=0,1 A21+&+G z+D?=0.（2）若直线L经 过 点P”（八，比）且与 向 量v=；l.m.n W 0平行，则L的方程为 对称式：JT X Q y 3 o z z oI m n 参数式：1=工0+0 0.a-lr(4)椭圆锥面：炉=f r +方，其中(5)单叶双曲面：2 2 2+方 一 台=1.其中 a 0.O.c 0.(6)双叶双曲面：2 2 2r+,yr-二 r =-1 .其中 a 0.I）0。0.第部 分 考 点 精 要 11.二、多元函数的微分学(一)多元函数的定义、极限、连续及其性质1.多元函数设 是 三 个 变 量.如 果 变 量 八)，在一定范围内变化时,对于，2的 每 组 取 值，变 量=按照某个法则f总有确定的值与工,，对应.则称变量。是 变 量 的 二元函数.简称为函数，记 为=/(I )或e =V)或/(.JJ，).并 称 变 量 广 为 函 数 的 自 变 量.称 变 量。为因变量.多元函数的定义与二元函数类似.2.二重极限设函数N=/(1,y)在点八(.山)的某个去心邻域U(P“)中有定义.当点P(.r,_ y)无限接近点P,时,函数在点P的函数值/(zr)与某个实数A也无限接近，则称A是函数/(l._)，)在 点Po处的二重极限,简称为极限.记为l i m =A 或 l i m /(x wv)=A.Kf 0(x.j O-)Nr(7 0、,)，k%y=Z _ r ,r =J-，。等。类似地.可定义函数对.，的偏导数及多元函数的偏导数.对多元函数中的某一个自变量求偏导数.就是将其余的自变量看做常数.对这个变量求元函数的导数.2.高阶偏导数设 函 数 之=/(.r.v)在 区 域 D内 有 偏 导 函 数 盥=O Xv).如 果 这 两 个 偏 导 函 数 在 D内dy 1 4 高等数学（工本）仍有偏导数.则称它们的偏导数为函数的二阶偏导数.二元函数的二阶偏导数共有四个.其记号和意义分别为=/工r（-7）=f n （z,y）或记为dx dx f da./1 1 zi 1；舁（李）=f ry（,一y）=/1 2（7，y）或记为dy dx/dxdyfz，Z 1 2 ；3 （蠢）=（xy）=/2 1（，3）或记为ox dy/d v d afz，之2 1 ;言（f1）=非=/（）=/?2（八），）,或记为J 22其中,/,丁（，3）及fyA.r.y）称为二阶混合偏导数.性质 如果函数2 =/（工）的两个二阶混合偏导数及/w（，.y）都连续,则它们相等.3.全微分设二元函数;=/（.r，v）在点（1.3，）某个邻域中的全增量为z=/（.r+AT.），+zi.V）/（J-.V）.如果它可以表示为Az ,M x+及+o（p）,第 一 部 分 考 点 精 要 15 其 中 A.8 不 依 赖 于 Ar，仅 与x,y有 关，p=JA”+ay?,u(p)是p 的高阶无穷小量(p-0),则称该函数在点(丁._v)处 可 微.称/Vi.r+/ii v 为该函数在点(r,y)处的全微分，记 为dz.当函数e=/(J-,v)在点(/2)处可微时.八(工，3，)=A,fy(,j：,y)=B.记 Ar=(Lr，Av=dy,于 是clz=/.r(.r 3)d.r+/v(J-,j)dv 或 dz=-d.r+飙 性质 如 果 函 数 w =/(x,v)的两个偏导数在点(.3，)处连续.则函数在该点可微.同 理 可 以 定 义 三 元 函 数u=fx.y,z)的全微分，并有d”=+d v+de.d：r dy oz4.可微、可导及连续之间的关系在多元函数中,可微、可导及连续之间的关系与一元函数的情况有所不同.在多元函数中有：(1)可微必可导，可导不一定可微；(2)可微必连续,连续不一定可微；16 高等数学(工本)(3)可导不一定连续，连续不一定可导.5.复合函数的偏导数复合函数的求导公式(链式法则)：(1)苔 Z=/(，U),=E =6(Z)可微,则复合函数之=，伊 J)可导，并有dz.=dz d“t dz d-r-dz du d/dv dz(2)若 z=/(u,v),u=p(j-,y),v=Cr,y)可微，则 复 合 函 数：=/g(-r.1y).6(：r._ y)的偏导数存在.并有dz _ dz d/.dz dv dz _ dz du,dz dudu dr dv dx dy du dy dv dy(3)若 t=/(),=.1y)可微，则复合函数二=/(工，)的偏导数存在,并有dz dz.du dz dz.dudx d 3 r dy d”d y 6.隐函数的偏导数(1)设二元函数尸(i r)在点(q，皿)的某个邻域中有连续的偏导数，且(j()，.)w o，F(1。r()=o 则方程F(.r.y)=0在点(内，皿)的某邻域中可唯一 确 定 具 有 连 续 导 数 的 函 数1y=/J r),使 得 F，=第 一 部 分 考 点 精 要 1 7/（7（）,并有dv _ F,我 一 百.（2）设三元函数F（r,j，.G 在点（.r“7 幻.却）的某个领域中有连续的偏导数,且F.（.r（），y,，%）X F（J-Q，y，%。）=0.则方程F（.r，v,c）=0 在