百师联盟2021届髙三冲刺卷（二）新高考卷 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．若，则（ ） A． B． C． D． 4．已知向量和不共线，向量，，，若、、三点共线，则（ ） A．3 B．2 C．1 D． 5．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 6．为了测量某种海鱼死亡后新鲜度的变化．研究人员特意通过检测该海鱼死亡后体内某微量元素的含量来决定鱼的新鲜度．若海鱼的新鲜度与其死亡后时间（小时）满足的函数关系式为．若该种海鱼死亡后2小时，海鱼的新鲜度为，死亡后3小时，海鱼的新鲜度为，那么若不及时处理，这种海鱼从死亡后大约经过______小时后，海鱼的新鲜度变为．（参考数据：，） A．3.3 B．3.6 C．4 D．4.3 7．“勾三股四弦五”这一原理早在大禹治水就被总结出来，后来在《九章算术》一书中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说：“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”把这段话列成算式即为．现有10个勾股数组，，，，，，，，，，若从中抽取两个数组，则这两个数组中的三个数恰好构成等差数列的概率为（ ） A． B． C． D． 8．已知两点、分别是双曲线：（，）的右焦点和左顶点，过点作的渐近线的垂线（为垂足），若，则双曲线的离心率（ ） A． B．2 C． D． 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．现有如下性质：（1）图象的一个对称中心为；（2）对任意的，都有，且的最小值为；（3）在上为增函数． 下列四个选项中同时满足上述三个性质的一个函数不可能是（ ） A． B． C． D． 10．已知正数，满足，则（ ） A． B． C． D． 11．在正方体中，点为线段上的动点，点为线段中点，则下列四个选项中为真命题的是（ ） A．当为线段中点时，、、、四点共面 B．直线 C．三棱锥的体积为定值 D．二面角的大小为定值． 12．已知函数，则下列关于函数说法正确的是（ ） A．函数有一个极大值点 B．函数在上存在对称中心 C．若当时，函数的值域是，则 D．当时，函数恰有6个不同的零点． 三、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．命题“，”为假命题，则实数的取值范围是______． 14．展开式中的项的系数为______． 15．定义个正数，，…的“均倒数”为，若各项均为正数的数列的前项的“均倒数”为，则______． 16．已知三棱锥，，，，二面角的余弦值为，则该三棱锥的外接球的体积为______． 四、解答题：本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知等差数列和正项等比数列满足：，，且是和的等差中项． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 18．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，若______． 在①；②，且；③ 这三个条件中任意选择一个填在横线上，并完成下列问题： （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积． 19．（12分）某初中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对40名七年级学生进行了问卷调查，得到数据如表所示（平均每天喝以上为常喝，体重超过为肥胖．单位：人） 经常饮用 不经常饮用 合计 肥胖 8 18 不肥胖 15 合计 40 （1）将列联表补充完整，并回答能否有的把握认为学生是否肥胖和经常饮用碳酸饮料有关？ （2）已知经常饮用碳酸饮料且肥胖的8名同学中，有5名男同学，3名女同学．现从这5名男同学和3名女同学中选5人进行家访，求被选中的男生人数的分布列和期望． 参考公式及数据：，． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 20．（12分）如图，在三棱柱中，，，四边形是菱形，，，点是中点，点是上靠近点的三等分点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 21．（12分）已知椭圆：（）的长轴长4，离心率， （1）求椭圆的方程； （2）设，分别为椭圆左，右顶点，已知点为直线：上的动点，直线、与椭圆分别交于、两点，求证：直线经过定点，并求出该定点的坐标． 22．（12分）已知函数，（），其中是自然对数的底数． （1）讨论函数的单调性； （2）若，对于任意的，，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 百师联盟2021届高三冲刺卷（二）新高考卷 数学参考答案及评分意见 1．A【解析】，故选A． 2．B【解析】，所以的虚部为．故选B． 3．B【解析】，故选B． 4．A【解析】∵、、三点共线，∴，解得．故选A． 5．D【解析】根据图象得函数定义域为，图象关于轴对称，即为偶函数．对于A选项，，排除；对于B选项，函数定义域为，排除；对于C选项，函数定义域为，，故函数为非奇非偶函数，排除．故选D． 6．B【解析】由题思可得：，解得，， 所以．令，可得，两边问时取对数， 故小时，故选B． 7．A【解析】这10个勾股数组中三个数能构成等差数列的数组有，，，共4个，所以概率为．故选A． 8．B【解析】结合图形设在第一象限，则由几何性质可得，，过点做垂直于轴于点，则在中，由勾股定理得，化简得，即离心率，故选B． 9．ACD【解析】由题选项中的函数均形如，由性质（2）知的半周期为，即周期为，，排除AD．因为图象的一个对称中心为，BC均满足此性质． 当时，，而在为增函数，故在为增函数，符合，故B正确．当时，，而在为减函数，故在为减函数，不合题意，C不正确．故选ACD． 10．ABD【解析】因为正数，满足，所以，且，， 所以，对于A选项，又可得， 所以，即，故B正确；当时， ，故C错误；因为，所以， 所以，故D正确，所以选ABD． 11．BCD【解析】对于A，当为线段中点时，和异面，所以、、、四点不共面．故A错误．对于B，平面与平面重合，而，所以．故B正确．对于C，∵，，∴点到平面的距离即为点到平面的距离．则，而为定值，到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值．故C正确；对于D，因为二面角的大小，即为平面与平面所成的二面角的大小，而这两个平面位置固定不变，故二面角的大小为定值．故D正确．故选BCD． 12．ACD【解析】当时，，易知函数在，上单调递增，在上单调递减，，．A．如图可知，函数有一个极大值点1，故A正确；B．由图象可知，函数在上不存在对称中心，故B错误；C．由，结合图象易知C正确；D．由，可得，即或．由图像可知与有2个公共点，当时，与有4个公共点，故D正确． 故选ACD． 13．【解析】若原命题为假命题，则其否定“，”为真命题． 14．129【解析】展开式的第项为，． 则展开式中项为． 其系数为129． 15．8083【解析】由已知可得数列的前项的“均倒数”为， 可得，则时，， ∴，当时，，满足， ∴，． 16．【解析】取中点为，连结，，∵，， ∴，，∴就是二面角的平面角， ∵，∴， ∴∴， 所以，，与都是直角， 所以该三棱锥的外接球球心是的中点， 17．【解析】（1）设为数列的公差，为数列的公比， 由题意得，即， 解得或，∵数列各项均为正，所以，即． ∴． ，解得， ∴ （2）由（1）得：， 所以 ． 所以． 18．【解析】（1）选①．∵，及正弦定理，∴， ∵在中，，∴，∴ ∴， ∵在中，，∴，∴，则． 选②．，且， 所以，所以． 又，所以，所以，所以． 选③．， 由余弦定理得： ∵在中，，∴，则． （2）因为，，， 所以，即， 因为，所以， 所以． 19．【解析】（1） 经常饮用 不经常饮用 合计 肥胖 8 10 18 不肥胖 7 15 22 合计 15 25 40 由调查数据可知，的观测值 没有的把握认为学生是否肥胖和经常饮用碳酸饮料有关． （2）被选中的男生人数的取值为2，3，4，5 则，， ， 分布列为 2 3 4 5 期望． 20．证明：（1）取中点，连结， 在中，，， ∴， 在菱形中，由可知为等边三角形， ∴， 又∵，，， ∴，， ∴． （2）∵，， 由（1）可知，∴，，两两垂直， 如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标， 不妨设，则，，，，，． 由，得， 则的中点， 从而，． 设平面的法向量为，则， 即，不妨取，得，即． 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为 21．【解析】（1）由题可得，∴． 又知离心率，所以，则， 所以椭圆的方程为 （2）当点是椭圆上顶点时，直线的方程为， 可得，则：与联立解得， 所以直线的方程为：， 由椭圆的对称性可知，直线经过：轴上的定点， 所以直线经过定点． 以下证明一般性： 设上任意点，设， 则直线的方程为： 联立 消去得 由韦达定理得，解得 因为直线的方程为 联立 消去得 由韦达定理得，解得 直线经过定点，即，，三点共线 因为， 因为 所以，那么，，三点共线 所以直线经过定点， 22．【解析】（1） ． ①若，，由，得，则当时，； 当时，．故在单调递减，在单调递增 ②若，由，得或． 当时，，则当时，/'Oc）>0，故在单调递增； 当时，，则当时，；当时，．故在，单调递增，在单调递减； 3° 当时，，则当时，；当时， ．故在，单调递增，在单调递减． （2）当时，， 不等式可变形为， 即， 因为上式对于任意的，，且时恒成立， 所以函数在上单调递增． 令，， 则在上恒成立， 即在上恒成立． 设，则， 因为时，， 所以函数在上单调递减，所以， 所以． 即实数的取值范围是．