辽宁省辽阳市第十四高级中学2023年高三数学文联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. ac2＞bc2是a＞b的(     ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 考点：不等式的基本性质；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：探究型． 分析：由ac2＞bc2，可得a＞b，反之若a＞b，则ac2≥bc2，故可得结论． 解答： 解：若ac2＞bc2，∵c2＞0，∴a＞b，∴ac2＞bc2是a＞b的充分条件 若a＞b，∵c2≥0，∴ac2≥bc2，∴ac2＞bc2不是a＞b的必要条件 ∴ac2＞bc2是a＞b的充分不必要条件 故选A． 点评：本题考查四种条件，解题的关键是利用不等式的基本性质，属于基础题． 2. 从中随机选取一个数，从中随机选取一个数，则关于的方程有两个不相等的实根的概率是（   ） A．   B．   C．   D． 参考答案： C 3. 为培养学生分组合作能力，现将某班分成A，B，C三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组．某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在B组中的那位的成绩与甲不一样，在A组中的那位的成绩比丙低，在B组中的那位的成绩比乙低．若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是 A．甲、丙、乙                          B．乙、甲、丙 C．乙、丙、甲                          D．丙、乙、甲 参考答案： C 因为在组中的那位的成绩与甲不一样，在组中的那位的成绩比乙低．所以甲、乙都不在B组，所以丙在B组. 假设甲在A组，乙在C组，由题得甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序是乙、丙、甲.假设甲在C组，乙在A组，由题得矛盾，所以排序正确的是乙、丙、甲.故选C.   4. 复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于(　　) A．第一象限       B．第二象限      C．第三象限     D．第四象限 参考答案： 【知识点】复数的乘法运算；复数的几何意义。L4  【答案解析】B   解析：∵∴复数z在复平面上对应的点的坐标为，位于第二象限．故选B. 【思路点拨】先利用复数的乘法运算求出Z，再判断即可。 5. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】CE：模拟方法估计概率． 【分析】求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案． 【解答】解：直角三角形的斜边长为=17， 设内切圆的半径为r，则8﹣r+15﹣r=17，解得r=3． ∴内切圆的面积为πr2=9π， ∴豆子落在内切圆外部的概率P=1﹣=1﹣． 故选：D． 【点评】本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题． 6. 命题p：“?x0∈R，使得x02﹣3x0+1≥0”，则命题￢p为（　　） A．?x∈R，都有x2﹣3x+1≤0 B．?x∈R，都有x2﹣3x+1＜0 C．?x0∈R，使得x02﹣3x0+1≤0 D．?x0∈R，使得x02﹣3x0+1＜0 参考答案： B 【考点】命题的否定． 【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【解答】解命题p：“?x0∈R，使得x02﹣3x0+1≥0”，则命题￢p为?x∈R，都有x2﹣3x+1＜0 故选：B 7. 已知满足约束条件，则的最小值为（     ） ．           ．            ．             ． 参考答案： B 8. 函数的图象大致为 参考答案： C 略 9. 一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为的三条线段，则的最大值为        A．                       B．                       C．                         D．3 参考答案： C 构造一个长方体，让长为2的线段为体对角线，由题意知，即，又，所以，当且仅当时取等号，所以选C.   10. 设、表示两条不同的直线，、表示两个不同的平面，下列命题中真命题是  (   ) ． A．若，则 B．若 C．若 D．若 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=_____. 参考答案： = 略 12. 如图，在长方形中，，，为的中点，若是线段 上动点，则的最小值是        ． 参考答案： 13. 若直线的倾斜角是,则          (结果用反三角函数值表示). 参考答案： 14. 一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是           . 参考答案： 80 略 15. 等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝________. 参考答案： 【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2 【答案解析】10  根据等差数列的性质可得：am-1+am+1=2am， ∵am-1+am+1- =0，∴2am-am2=0∴am=0或am=2 若am=0，显然S2m-1=（2m-1）am不成立∴am=2∴s2m-1= =（2m-1）am=38， 解得m=10．故答案为：10 【思路点拨】根据等差数列的性质可知，am-1+am+1=2am，代入am-1+am+1-=0中，即可求出am，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出前2m-1项的和，利用等差数列的性质化为关于第m项的关系式，把第m项的值代入即可求出m的值 16. 设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣2a，若f（x）为R上的“2011型增函数”，则实数a的取值范围是　     　． 参考答案： 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】由题意可以得到再由定义存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”．对所给的问题分自变量全为正，全为负，一正一负三类讨论，求出参数所满足的共同范围即可． 【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣2a， ∴ 又f（x）为R上的“2011型增函数”， 当x＞0时，由定义有|x+2011﹣a|﹣2a＞|x﹣a|﹣2a，即|x+2011﹣a|＞|x﹣a|，其几何意义为到点a小于到点a﹣2011的距离，由于x＞0故可知a+a﹣2011＜0得a＜ 当x＜0时，分两类研究，若x+2011＜0，则有﹣|x+2011+a|+2a＞﹣|x+a|+2a，即|x+a|＞|x+2011+a|，其几何意义表示到点﹣a的距离小于到点﹣a﹣2011的距离，由于x＜0，故可得﹣a﹣a﹣2011＞0，得a＜；若x+2011＞0，则有|x+2011﹣a|﹣2a＞﹣|x+a|+2a，即|x+a|+|x+2011﹣a|＞4a，其几何意义表示到到点﹣a的距离与到点a﹣2011的距离的和大于4a，当a≤0时，显然成立，当a＞0时，由于|x+a|+|x+2011+a|≥|﹣a﹣a+2011|=|2a﹣2011|，故有|2a﹣2011|＞4a，必有2011﹣2a＞4a，解得   综上，对x∈R都成立的实数a的取值范围是 故答案为：． 17. 若实数满足，则的取值范围是____________________. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分)通过随机调查九校高三100名学生在高二文理分科是否与性别有关，得到如下的列联表：（单位：人） （1）从这50名女生中按文理采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中文科生与理科生各多少人？ （2）从（1）中抽到的5名女生中随机选取两名访谈，求选到文科生、理科生各一名的概率； （3）根据以上列联表；问有多大把握认为“文理分科与性别”有关？ 统计量，其中 概率表： P（k2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 参考答案： （1）文科生3人，理科生2人…………………………………………4分 （2）设三名文科生分别为文1、文2、文3，两名理科生分别为理1、理2、，则从中任选两人的结果为（文1，文2）、（文1，文3）、（文1，理1）、（文1，理2）、（文2，文3）、（文2，理1）、（文2，理2）、（文3，理1）、（文3，理2）、（理1，理2）共10种情况，其中一文一理的共6种。 　∴…………………………………………8分 （3） 　∴有99%的把握认为 “文理分科与性别”有关。……………………………………12分 19. 华山中学三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等次，若考核为合格，则授予10分降分资格；考核优秀，授予20分降分资格。假如甲乙丙考核为优秀的概率分别为，他们考核所得的等次相互独立。 （1）求在这次考核中，甲乙丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率； （2）记在这次考核中甲乙丙三名同学所得降分之和为随机变量，求的分布列及数学期望. 参考答案： 20. （14分）（2015?东阳市模拟）各项为正的数列{an}满足，， （1）取λ=an+1，求证：数列是等比数列，并求其公比； （2）取λ=2时令，记数列{bn}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项之积为Tn，求证：对任意正整数n，2n+1Tn+Sn为定值． 参考答案： 考点： 数列递推式；数列的求和．  专题： 等差数列与等比数列． 分析： （1）把由λ=an+1代入，整理后求解方程求得．结合an＞0可得为常数，结论得证； （2）把λ=2代入数列递推式，得到2an+1=an（an+2），变形得到，然后分别利用累积法和裂项相消法求得Tn，Sn，代入2n+1Tn+Sn证得答案． 解答： 证明：（1）由λ=an+1，得，∴． 两边同除可得：，解得． ∵an＞0，∴为常数， 故数列是等比数列，公比为1； （2）当λ=2时，，得2an+1=an（an+2）， ∴． ∴， 又， ∴， 故2n+1Tn+Sn==2为定值． 点评： 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了累积法求数列的通项公式及裂项相消法求数列的和，是中档题． 21. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行． （Ⅰ）求A； （Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积． 参考答案： 【考点】余弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示． 【专题】解三角形． 【分析】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A； （Ⅱ）利用A，以及a=，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ABC的面积． 【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行， 所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0， 所以tanA