2023年湖南省长沙市沙田乡联校高三数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个交点,则双曲线离心率的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
2. 已知则的最小值为( )
A. 2 B. 1 C. D.
参考答案:
B
3. 集合A={x|1<log2x<3,x∈Z},B={x|5≤x<9},则A∩B=( )
A. C.{5,6,7} D.{5,6,7,8}
参考答案:
C
【考点】交集及其运算.
【专题】对应思想;定义法;集合.
【分析】化简集合A,再求A∩B的值.
【解答】解:集合A={x|1<log2x<3,x∈Z}
={x|2<x<8,x∈Z}
={3,4,5,6,7},
B={x|5≤x<9},
∴A∩B={5,6,7}.
故选:C.
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题目.
4. 若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示如图,其中茎为十位数,叶为个位数,则这组数据的平均数和方差分别是
A.91 5.5 B.91 5
C.92 5.5 D.92 5
参考答案:
A
5. 命题“对任意的”的否定是
A.不存在 B.存在
C.存在 D. 对任意的
参考答案:
B
6. 已知f(x)是定义在R上周期为2的奇函数,当x∈(0,1)时,f(x)=3x﹣1,则f(log35)=( )
A. B.﹣ C.4 D.
参考答案:
B
【考点】函数的周期性;函数奇偶性的性质.
【分析】利用周期性得出f(log35)=f(log35﹣2)=f(log3),运用解析式求解即可.
【解答】解:∵f(x)是定义在R上周期为2的奇函数,
∴f(log35)=f(log35﹣2)=f(log3),
∵x∈(0,1)时,f(x)=3x﹣1
∴f(log3)═﹣
故选:B
7. 已知函数,则的值为
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
8. 命题“若,则”的逆否命题是( )
A. “若,则” B.“若,则”
C.“若x,则” D.“若,则”
参考答案:
C
9. 设函数在R上可导,其导函数为,且函数在处取得极小值,则函数的图象可能是( )
参考答案:
C
10. 已知一随机变量的分布列如下表,则随机变量的方差 .
0
4
8
参考答案:
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,2],则该函数的解析式f(x)=________.
参考答案:
略
12. (几何证明选做题)如图,已知Rt△ABC的两条直角边
AC,BC的长分别为3cm,4cm,以AC为直径的圆
与AB交于点D,则
参考答案:
略
13. 在中,角所对的边分别为,若,b=,
,则 .
参考答案:
答案:
解析:由正弦定理得,所以
14. 设单调函数y=p(x)的定义域为D,值域为A,如果单调函数y=q(x)使得函数y=p(q(x))的置于也是A,则称函数y=q(x)是函数y=p(x)的一个“保值域函数”.已知定义域为[a,b]的函数,函数f(x)与g(x)互为反函数,且h(x)是f(x)的一个“保值域函数”,g(x)是h(x)的一个“保值域函数”,则b﹣a= .
参考答案:
1
【考点】3T:函数的值.
【分析】由定义可知y=q(x)的值域为y=p(x)的定义域,根据h(x)单调性得出a,b的范围,求出h(x)的值域,从而得出f(x)的定义域和g(x)的值域,再根据反函数的性质列方程即可解出a,b.
【解答】解:由“保值域函数”的定义可知y=q(x)的值域为y=p(x)的定义域,
∵h(x)是定义在[a,b]上的单调函数,∴a>3或b<3.
(1)若a>3,则h(x)单调递减,∴h(x)的值域为[,],
∵h(x)是f(x)的一个“保值域函数”,g(x)是h(x)的一个“保值域函数”,
∴f(x)的定义域为[,],g(x)的值域为[a,b],
∵函数f(x)与g(x)互为反函数,
∴,整理得a=b,与b>a矛盾(舍).
(2)若b<3,则h(x)单调递增,∴h(x)的值域为[,],
同(1)可得,解得a=1,b=2.
∴b﹣a=1.
故答案为1.
【点评】本题考查了对新定义的理解,函数定义域与值域的计算,属于中档题.
15. 设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x﹣1,对于?x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
a≥﹣1
【考点】函数恒成立问题.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】根据函数f(x)=|x+a|,g(x)=x﹣1,对于?x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,可得﹣a≤1,即可求出实数a的取值范围.
【解答】解:由题意,函数f(x)=|x+a|,g(x)=x﹣1,对于?x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,
∴﹣a≤1,
∴a≥﹣1,
∴实数a的取值范围是a≥﹣1.
故答案为:a≥﹣1.
【点评】本题考查函数恒成立问题,考查学生分析解决问题的能力,难度中等.
16. 给出下列四个命题:
①
②,使得成立;
③若函数f(x)=xsinx,则对任意实数恒成立
④在中,若,则是锐角三角形,
写出所有正确命题的序号
参考答案:
①②③④
17. 已知双曲线的一条渐近线通过点, 则其离心率为
参考答案:
【考点】双曲线
【试题解析】
由题知:双曲线的渐近线为因为过点,所以
所以
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知
(1)求的最大值,及当取最大值时x的取值集合。
(2)在三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,对定义域内任意x,有的最大值.
参考答案:
解:(Ⅰ)………………2分
……4分
(Ⅱ)因为对定义域内任一x有
∴=
最大为
19. (14分)如图,某公园有三条观光大道AB,BC,AC围成直角三角形,其中直角边BC=200m,斜边AB=400m,现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB,BC,AC大道上嬉戏,所在位置分别记为点D,E,F.
(1)若甲、乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走,到大道的另一端时即停,乙比甲迟2分钟出发,当乙出发1分钟后,求此时甲乙两人之间的距离;
(2)设∠CEF=θ,乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍,且∠DEF=,请将甲乙之间的距离y表示为θ的函数,并求甲乙之间的最小距离.
参考答案:
【考点】解三角形.
【分析】(1)由题意,BD=300,BE=400,△BDE中,由余弦定理可得甲乙两人之间的距离;
(2)△BDE中,由正弦定理可得=,可将甲乙之间的距离y表示为θ的函数,并求甲乙之间的最小距离.
【解答】解:(1)由题意,BD=300,BE=400,
△ABC中,cosB=,B=,
△BDE中,由余弦定理可得DE==100m;
(2)由题意,EF=2DE=2y,∠BDE=∠CEF=θ.
△CEF中,CE=EFcos∠CEF=2ycosθ
△BDE中,由正弦定理可得=,
∴y==,0,
∴θ=,ymin=50m.
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查正弦、余弦定理的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
20. 已知函数=。
(1)当时,求函数的单调增区间;
(2)求函数在区间上的最小值;
(3)在(1)的条件下,设=+,
求证: (),参考数据:。(13分)
参考答案:
(1)当时,=,,得或,故的单调增区间是,。…………………………………3分
(2)=,==,
令=0得或。
当时,,递增,; 6分
当时,,<0,递减;,,递增,
== ………………………………………………………7分
当时,,0,递减,==…8分
(3)令=—,。,递减,
,,∴ ,
==……= ()……13分
略
21. 如图,在以,,,,为顶点的多面体中,,面为直角梯形,,,,,,二面角的大小为60°.
(1)求证:平面;
(2)求平面与平面所成二面角(锐角)的大小;
参考答案:
(1)因为,,则,
所以为二面角的平面角,即,
在中,,,,所以,
所以,即
由,,且,可知平面,
又平面,所以,
又因为,平面,平面,所以平面.
(2)解法一:由(1)知,平面,平面,所以平面平面,
在中,过点作,垂足为,在中,
作,因为,所以,
如图,以为原点,分别以,,为轴,轴,轴的正方向
建立空间直角坐标系.
由,得,,,
则,,,,
依题意,,
设平面的一个法向量为,
则,即,
不妨设,可得,
设平面的一个法向量为,平面与平面所成的二面角为,
所以,所以,
所以平面与平面所成二面角(锐角)为.
解法二:因为,如图,以为原点,分别为,为轴,轴的正方向建立空间直角坐标系.
依题意可得,,,
由平面知平面平面,又,
,可得:,.
依题意,.设平面的一个法向量为,
则,即,不妨设,可得,
由平面可知平面的一个法向量为,
设平面与平面所成二面角(锐角)为
所以,于是,
所以平面与平面所成二面角(锐角)为.
【注:几何法求解一样给分.提示:延长,相交于点,连接,则是平面与平面的交线.】
22. (本小题满分12分)
记函数的定义域为集合,函数的定义域为集合.
(1)求和;
(2)若,求实数的取值范围.
参考答案:
【知识点】集合的包含关系判断及应用.A1
【答案解析】(1)A∩B={﹣3≤x<﹣1或2<x≤3},A∪B=R;(2)[4,+∞).
解析:(1)A={x|x2﹣x﹣2>0}={x|x>2或x<﹣1},B={x|9﹣x2≥0}={x|﹣3≤x≤3},
则A∩B={﹣3≤x<﹣1或2<x≤3},A∪B=R;
(2)C={x|4x+p<0}={x|x<﹣},∵CA,∴﹣≤﹣1,得,p≥4,
所以,实数P的取值范围是[4,+∞).
【思路点拨】(1)由题意x2﹣x﹣2>0,9﹣x2≥0,从而解出集合A、B,再进一步解出A∩B和A∪B,(2)化简C={x|4x+p<0}={x|x<﹣},由CA求实数P的取值范围.