广东省珠海市六乡中学高二数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数, 已知在时取得极值, 则
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
参考答案:
A
略
2. 已知在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-3) B.(1,+∞) C.(-1,3) D.(-3,1)
参考答案:
D
3. 直线的倾斜角为
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 若,,,则
. . .
参考答案:
B
略
5. 直线的夹角是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 已知z(2+i)=1+ai,a∈R,i为虚数单位,若z为纯虚数,则a=( )
A.﹣2 B.﹣ C. D.2
参考答案:
A
【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.
【分析】利用复数的运算性质、纯虚数的定义即可得出.
【解答】解:z(2+i)=1+ai,
∴z(2+i)(2﹣i)=(1+ai)(2﹣i),
∴z=,
若z为纯虚数,则=0,≠0,
a=﹣2.
故选:A.
【点评】本题考查了纯虚数的定义、复数的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
7. 若曲线f(x)=ax2+x+lnx在点(1,f(1))处的切线与y=x﹣1平行,则a=( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
参考答案:
C
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求得f(x)的导数,可得x=1处切线的斜率,由两直线平行的条件:斜率相等,解方程即可得到所求值.
【解答】解:f(x)=ax2+x+lnx的导数为f′(x)=2ax++,
曲线f(x)=ax2+x+lnx在点(1,f(1))处的切线斜率为k=2a++1=2a+,
由切线与y=x﹣1平行,可得2a+=,
解得a=1.
故选:C.
8. 函数的零点所在的区间可能是
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
9. 点在圆的( ).
A.内部 B.外部 C.圆上 D.与θ的值有关
参考答案:
A
10. 如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使在C塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D,测得∠BDC=45°,则塔高AB的高度为( )
A.10 B.10 C.10 D.10
参考答案:
D
【考点】解三角形的实际应用.
【专题】计算题;解三角形.
【分析】先在△ABC中求出BC,再△BCD中利用正弦定理,即可求得结论.
【解答】解:设塔高AB为x米,根据题意可知在△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,AB=x,从而有BC=x,AC=x
在△BCD中,CD=10,∠BCD=60°+30°+15°=105°,∠BDC=45°,∠CBD=30°
由正弦定理可得, =
∴BC==10
∴x=10
∴x=
故塔高AB=
【点评】本题考查了正弦定理在实际问题中的应用,解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题,属于中档题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图,已知正三棱柱—的底面边长是,是侧棱的中点,直线与侧面所成的角为.
(1)求此正三棱柱的侧棱长;
(2)求二面角的平面角的正切值;
(3)求直线与平面的所成角的正弦值.
参考答案:
解:
(Ⅰ)设正三棱柱—的侧棱长为.取中点,连.
是正三角形,.
又底面侧面,且交线为.
侧面.
连,则直线与侧面所成的角为.
在中,,解得. 此正三棱柱的侧棱长为.
(Ⅱ)解:过作于,连,
侧面.
为二面角的平面角. ks5u
在中,,又
, .
又 在中,.
(Ⅲ)解:由(Ⅱ)可知,平面,平面平面,且交线为,过作于,则平面.
在中,.
为中点,点到平面的距离为. 答案:
12. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为
参考答案:
或
略
13. 已知圆C过点A(1,0)和B(3,0),且圆心在直线y=x上,则圆C的标准方程为 .
参考答案:
(x﹣2)2+(y﹣2)2=5
【考点】圆的标准方程.
【分析】设圆心坐标为(a,a),利用圆C过点A(1,0)和B(3,0),即可确定圆心与半径,从而可得圆C的标准方程.
【解答】解:设圆心坐标为(a,a),则
∵圆C过点A(1,0)和B(3,0),
∴(a﹣1)2+a2=(a﹣3)2+a2,
∴a=2
∴(a﹣1)2+a2=5
∴圆C的标准方程为(x﹣2)2+(y﹣2)2=5
故答案为:(x﹣2)2+(y﹣2)2=5
14. 在的展开式中,各项系数的和为 .
参考答案:
15. (5分)(2014?东城区二模)若直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线y2=4x相交于A,B两点,且A,B两点在抛物线的准线上的射影分别是M,N,若|BN|=2|AM|,则k的值是 .
参考答案:
【考点】: 抛物线的简单性质.
【专题】: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】: 直线y=k(x+1)(k>0)恒过定点P(﹣1,0),由此推导出|OA|=|BF|,由此能求出点A的坐标,从而能求出k的值.
解:设抛物线C:y2=4x的准线为l:x=﹣1
直线y=k(x+1)(k>0)恒过定点P(﹣1,0),
过A、B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,
由|BN|=2|AM|,则|BF|=2|AF|,
∴点A为BP的中点.
连接OA,则|OA|=|BF|,
∴|OA|=|AF|,
∴点A的横坐标为,
∴点A的坐标为(,),
把(,)代入直线l:y=k(x+1)(k>0),
解得k=.
故答案为:.
【点评】: 本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法,考查抛物线的性质,是中档题,解题时要注意等价转化思想的合理运用.
16. 几何概率的两个特征:
(1)________________________________________________________。
(2)________________________________________________________。
参考答案:
(1)每次试验的结果有无限多个,且全体结果可用一个有度量的区域来表示。
(2)每次试验的各种结果是等可能的。
17. 若等比数列{an}满足,则= .
参考答案:
【考点】等比数列的通项公式.
【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列.
【分析】由等比数列{an}的性质可得: =a1a5=,即可得出.
【解答】解:由等比数列{an}的性质可得: =a1a5=,
则==.
故答案为:.
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在国家“大众创业,万众创新”战略下,某企业决定加大对某种产品的研发投入,已知研发投入 (十万元)与利润 (百万元)之间有如下对应数据:
2
3
4
5
6
2
4
5
6
7
若由资料知对呈线性相关关系。试求:
(1)线性回归方程;
(2)估计时,利润是多少?
附:利用“最小二乘法”计算a,b的值时,可根据以下公式:
参考答案:
(1) ………2分
,,
, ,,
所以,线性回归方程为 .………7分
(2)当x=10时,y=12,所以利润为1200万元.………10分
19. (12分)已知函数(a为常数)与函数在处的切线互相平行.
(1)求函数在[1,2]上的最大值和最小值;
(2)求证:函数的图象总在函数图象的上方.
参考答案:
(1),,由已知有,解得.
当时,.
令,解得.
∴当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
又,, .
∴ 最小值为.
最大值为. (………6分)
(2)令,则只须证恒成立即可.
∵.
显然,单调递增(也可再次求导证明之),且.
∴ 时,,单调递减;
时,,单调递增;
∴恒成立,所以得证. (………12分)
20. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=a?cosB.
(1)求角B的大小;
(2)若b=3,sinC=2sinA,分别求a和c的值.
参考答案:
【考点】正弦定理;余弦定理.
【专题】解三角形.
【分析】(1)由bsinA=a?cosB,由正弦定理可得:sinBsinA=sinAcosB,化简整理即可得出.
(2)由sinC=2sinA,可得c=2a,由余弦定理可得:b2=a2+c2﹣2accosB,代入计算即可得出.
【解答】解:(1)∵bsinA=a?cosB,由正弦定理可得:sinBsinA=sinAcosB,
∵sinA≠0,∴sinB=cosB,
B∈(0,π),
可知:cosB≠0,否则矛盾.
∴tanB=,∴B=.
(2)∵sinC=2sinA,∴c=2a,
由余弦定理可得:b2=a2+c2﹣2accosB,
∴9=a2+c2﹣ac,
把c=2a代入上式化为:a2=3,解得a=,
∴.
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形内角和定理与三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
21. (本题10分)已知点P是圆上的动点,过点P作PD轴,垂足为D,点M在DP的延长线上,且DM:DP=3:2;求点M的轨迹方程。
参考答案:
22. 设函数.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在(0,+∞)上有零点,证明:.
参考答案:
(1)在上是增函数,在上是减函数; (2).
【分析】
(1)先确定函数的定义域,然后求,进而根据导数与函数单调性的关系,判断函数 的单调区间;
(2)采用分离参数法,得,根据在上存在零点,可知有解,构造,求导,知在上存在唯一的零点,即零点k满足,进而求得,再根据有解,得证
【详解】(1)解:函数的定义域为,
因为,所以.
所以当时,,在上是增函数;
当时,,在上是减函数.
所以在上是增函数,在上是减函数.
(2)证明:由题意可得,当时,有解,
即有解.
令,则.
设函数,所以在上单调递增.
又,所以在上存在唯一的零点.
故在上存在唯一的零点.设此零点为,则.
当时,;当时,.
所以在上的最小值为.
又由,可得,所以,
因为在上有解,所以,即.
【点睛】本题考查了利用导