辽宁省阜新市蒙古族自治县镇中学2023年高二数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 复数= （   ） A   2    B   -2     C    D 参考答案： A 2. 关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是 A．(－∞， 0)     B．(－∞，0)∪   C．(－∞，0]     D．(－∞，0]∪ 参考答案： C 略 3. “x＜1”是“lnx＜0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：由“lnx＜0得0＜x＜1，则“x＜1”是“lnx＜0”的必要不充分条件，故选：B． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出不等式的等价条件是解决本题的关键． 4. 与圆：，：都相切的直线有 ．1条           ．2条         ．3条          ．4条 参考答案： ． 已知圆化为标准方程形式：：；：； 两圆心距等于两圆半径差，故两圆内切；它们只有一条公切线．故选． 5. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若 a、b、c成等比数列，且2、a+1、c成等差数列，则         :等于              A．2:1            B．:1       C．1:1           D．1:2 参考答案： B 略 6. 在平面直角坐标系中作矩形,已知,则的值为（  ） A 、           B 、7        C 、 25         D、0 参考答案： A 7. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点, 则的值(  )    A．      B.          C.            D． 参考答案： C 略 8. 设变量x，y满足约束条件且目标函数z1＝2x＋3y的最大值为a，目标函数z2＝3x－2y的最小值为b，则a＋b＝(　　) A．10                 B．－2           C．8                   D．6 参考答案： D 9. 若右边的程序框图输出的S是62，则条件①可为 A、m≤5 B、m≤6 C、m≤7 D、m≤8 参考答案： 答：D。 略 10. 用数学归纳法证明“凸n变形对角线的条数f（n）=”时，第一步应验证（　　） A．n=1成立 B．n=2成立 C．n=3成立 D．n=4成立 参考答案： C 【考点】RG：数学归纳法． 【分析】根据多边形的边数最少为3即可得出答案． 【解答】解：因为多边形至少有3条边， 故第一步只需验证n=3结论成立即可． 故选C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹图形是_____________ 参考答案： 一条直线 12. 对于任意实数a，b，不等式恒成立，则 常数C的最大值是 ．（注：表示x，y，z中的最大者．） 参考答案： 1003 13. 已知实数x，y满足则的最大值为__________． 参考答案： 5 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】 画出表示的可行域，如图， 设，则， 当在轴上截距最大时，最大， 由，得，点， 由图可知，直线过时， 最大值为，故答案为5. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 14. 曲线y=x3在点（1，1）切线方程为 　     　． 参考答案： 3x﹣y﹣2=0 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】先求出函数y=x3的导函数，然后求出在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，利用点斜式方程求出切线方程即可． 【解答】解：y'=3x2 y'|x=1=3，切点为（1，1） ∴曲线y=x3在点（1，1）切线方程为3x﹣y﹣2=0 故答案为：3x﹣y﹣2=0 15. 已知点是椭圆上一点，为椭圆的一个焦点， 且 轴，焦距，则椭圆的离心率是         参考答案： 略 16. 已知二面角α－AB－β为120°，CDα，CD⊥AB，EFβ，EF与AB成30°角，则异面直线CD与EF所成角的余弦值为         参考答案： 17. 复数在复平面上对应的点在第___________象限． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，点O为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆E的标准方程； （Ⅱ）过左焦点F任作一直线l，交椭圆E于P、Q两点．   （i）求?的取值范围；   （ii）若直线l不垂直于坐标轴，记弦PQ的中点为M，过F作PQ的垂线FN交直线OM于点N，证明：点N在一条定直线上． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）（i）求得F（﹣2，0），讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，以及不等式的性质，即可得到所求范围； （ii）可设PQ：y=k（x+2），FN：y=﹣（x+2），设M（x0，y0），运用中点坐标公式，求得M的坐标，进而得到直线OM方程，求得直线FN和OM的交点N，即可得证． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得b=，e==， 又a2﹣b2=c2， 解得a=，c=2， 即有椭圆方程为+=1； （Ⅱ）（i）F（﹣2，0），当直线的斜率不存在时，设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 直线方程为x=﹣2，可得P（﹣2，），Q（﹣2，﹣）， ?=4﹣=； 当直线的斜率存在，设l：y=k（x+2），设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 代入椭圆方程x2+3y2=6，可得（1+3k2）x2+12k2x+12k2﹣6=0， x1+x2=﹣，x1x2=， ?=x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1+2）（x2+2） =（1+k2）x1x2+2k2（x1+x2）+4k2=（1+k2）?+2k2?（﹣）+4k2 ==﹣，由k2≥0，3k2+1≥1，可得 ﹣6≤?＜， 综上可得， ?的取值范围是[﹣6，]； （ii）证明：由直线l的斜率一定存在，且不为0， 可设PQ：y=k（x+2），FN：y=﹣（x+2），设M（x0，y0）， 则x0=，由x1+x2=﹣，可得x0=， y0=k（x0+2）=， 直线OM的斜率为kOM==﹣， 直线OM：y=﹣x， 由可得， 即有k取何值，N的横坐标均为﹣3， 则点N在一条定直线x=﹣3上． 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查向量的数量积的坐标表示，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查点在定直线上的求法，注意运用直线方程求交点，考查运算能力，属于中档题． 19. （12分）（2015秋?湛江校级期中）已知函数f（x）=ax2﹣bx+1． （1）求实数a，b使不等式f（x）＜0的解集是{x|3＜x＜4}； （2）若a为整数，b=a+2，且函数f（x）在（﹣2，﹣1）上恰有一个零点，求a的值． 参考答案： 【考点】函数与方程的综合运用；其他不等式的解法．  【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）利用不等式ax2﹣bx+1＜0的解集是{x|3＜x＜4}，推出方程ax2﹣bx+1=0的两根是3和4，求解即可． （2）利用已知条件推出f（﹣2）?f（﹣1）＜0，求出a的范围，然后求解即可． 【解答】解：（1）∵不等式ax2﹣bx+1＜0的解集是{x|3＜x＜4}， ∴方程ax2﹣bx+1=0的两根是3和4，…．（2分） ∴解得a=，b=．…．（6分） （2）∵b=a+2，∴f（x）=ax2﹣（a+2）x+1．…．（7分） ∵△=（a+2）2﹣4a=a2+4＞0， ∴函数f（x）=ax2﹣bx+1必有两个零点．…．（8分） 又函数f（x）在（﹣2，﹣1）上恰有一个零点， ∴f（﹣2）?f（﹣1）＜0，∴（6a+5）（2a+3）＜0，…．（10分） 解得﹣＜a＜﹣．∵a∈Z，∴a=﹣1．…．（12分） 【点评】本题考查二次表达式的解法，函数的零点与方程根的关系，考查计算能力． 20. 已知数列{an}满足a1=2，an+1=4an+2n+1（n∈N*）． （1）令bn=，求证：数列{bn}为等比数列； （2）求数列{an}的通项公式； （3）求满足an≥240的最小正整数n． 参考答案： 证明：（1）∵an+1=4an+2n+1，bn=+1， ∴bn+1=+1===2（+1）=2bn， 又∵a1=2， ∴b1=2， ∴数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列， （2）由（1）得：bn=2n， 即+1=2n， ∴an=4n﹣2n， （3）令t=2n，则an≥240可化为： t2﹣t≥240， 解得：t≥16， 即2n≥16，n≥4， 故满足an≥240的最小正整数n=4 考点：数列递推式；等比关系的确定． 专题：等差数列与等比数列． 分析：（1）由an+1=4an+2n+1，bn=+1，可得bn+1=2bn，结合a1=2，可得数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列， （2）由（1）得：bn=2n，结合bn=+1，可得数列{an}的通项公式； （3）令t=2n，则an≥240可化为：t2﹣t≥240，先解二次不等式，再解指数不等式可得答案． 解答：证明：（1）∵an+1=4an+2n+1，bn=+1， ∴bn+1=+1===2（+1）=2bn， 又∵a1=2， ∴b1=2， ∴数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列， （2）由（1）得：bn=2n， 即+1=2n， ∴an=4n﹣2n， （3）令t=2n，则an≥240可化为： t2﹣t≥240， 解得：t≥16， 即2n≥16，n≥4， 故满足an≥240的最小正整数n=4 点评：本题考查的知识点是数列的递推公式，数列的通项公式，等比数列的证明，解指数不等式，二次不等式，是数列与不等式的综合应用，难度中档 21. 如图，为直角三角形，，以为直径的圆交于点，点是边的中点，连交圆于点. （1）求证：四点共圆； （2）求证：. 参考答案： 连，有平行 则，所以，则，所以四点共圆； 是圆的切线，延长交圆于 则，所以命题成立 22. 设椭圆的中心在原点,焦点在轴上, 离心率.已知点到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆方程. 参考答案： 设椭圆的中心在原点,焦点在轴上, 离心率.已知点到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆方程.     若, 则当时最大,即, ,故矛盾.     若时,时, ，所求方程为