2023学年九年级上学期数学期末模拟试卷
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每题4分,共48分)
1.如图,在矩形ABCD中,AB=12,P是AB上一点,将△PBC沿直线PC折叠,顶点B的对应点是G,过点B作BE⊥CG,垂足为E,且在AD上,BE交PC于点F,则下列结论,其中正确的结论有( )
①BP=BF;②若点E是AD的中点,那么△AEB≌△DEC;③当AD=25,且AE<DE时,则DE=16;④在③的条件下,可得sin∠PCB=;⑤当BP=9时,BE•EF=1.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.如图,在正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,连接AE,BF交于点G,将△BCF沿BF对折,得到△BPF,延长FP交BA延长线于点Q,下列结论正确的个数是( )
①AE=BF;②AE⊥BF;③sin∠BQP=;④S四边形ECFG=2S△BGE.
A.4 B.3 C.2 D.1
3.如图,在正方形中,绕点顺时针旋转后与重合,,,则的长度为( )
A.4 B. C.5 D.
4.若关于x的一元二次方程有实数根,则实数k的取值范围为
A.,且 B.,且
C. D.
5.如图所示几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
6.反比例函数y=和一次函数y=kx-k在同一坐标系中的图象大致是( )
A. B. C. D.
7.如图,正方形ABCD的边长为3,点E、F分别在边BC、CD上,将AB、AD分别沿AE、AF折叠,点B、D恰好都落在点G处,已知BE=1,则EF的长为( )
A. B. C. D.3
8.用一个半径为15、圆心角为120°的扇形围成一个圆锥,则这个圆锥的底面半径是( )
A.5 B.10 C. D.
9.若点,,在反比例函数的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A. B. C. D.
10.在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球,它们除颜色外都相同,随机从中摸出一个球,记下颜色后放回袋子中,充分摇匀后,在随机摸出一个球,两次都摸到黑球的概率是( )
A. B. C. D.
11.若,则的值为( )
A.1 B. C. D.
12.下列说法正确的是( )
A.任意掷一枚质地均匀的硬币10次,一定有5次正面向上
B.通过抛掷一枚均匀的硬币确定谁先发球的比赛规则是不公平的
C.“367人中至少有2人生日相同”是必然事件
D.四张分别画有等边三角形、平行四边形、菱形、圆的卡片,从中随机抽取一张,恰好抽到中心对称图形的概率是.
二、填空题(每题4分,共24分)
13.某型号的冰箱连续两次降价,每台售价由原来的2370元降到了1160元,若设平均每次降价的百分率为,则可列出的方程是__________________________________.
14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,过D点作AB的垂线交AC于点E,BC=6,sinA=,则DE=_____.
15.如图,已知菱形中,,为钝角,于点,为的中点,连接,.若,则过、、三点的外接圆半径为______.
16.某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m,则能建成的饲养室面积最大为________ m2 .
17.如图,摆放矩形与矩形,使在一条直线上,在边上,连接,若为的中点,连接,那么与之间的数量关系是__________.
18.一个不透明的口袋中装有若干只除了颜色外其它都完全相同的小球,若袋中有红球6只,且摸出红球的概率为,则袋中共有小球_____只.
三、解答题(共78分)
19.(8分)如图,ΔABC中,D是AC的中点,E在AB上,BD、CE交于O点.已知:OB:OD=1:2,求值.
20.(8分)如图,抛物线交轴于、两点,交轴于点,点的坐标为,直线经过点、.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点是直线上方抛物线上的一动点,求面积的最大值并求出此时点的坐标;
(3)过点的直线交直线于点,连接,当直线与直线的一个夹角等于的3倍时,请直接写出点的坐标.
21.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,矩形DEFG的顶点G、F分别在边AC、BC上,D、E在边AB上.
(1)求证:△ADG∽△FEB;
(2)若AD=2GD,则△ADG面积与△BEF面积的比为 .
22.(10分)如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线的顶点坐标为,并与轴交于点,点是对称轴与轴的交点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①所示, 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限,连结BP、AP,求的面积的最大值;
(3)如图②所示,在对称轴的右侧作交抛物线于点,求出点的坐标;并探究:在轴上是否存在点,使?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.
23.(10分)如图,AB是⊙O的直径,点C是AB延长线上的点,CD与⊙O相切于点D,连结BD、AD.
(1)求证;∠BDC=∠A.
(2)若∠C=45°,⊙O的半径为1,直接写出AC的长.
24.(10分)如图,在矩形ABCD中,E是边CD的中点,点M是边AD上一点(与点A,D不重合),射线ME与BC的延长线交于点N.
(1)求证:△MDE≌△NCE;
(2)过点E作EF//CB交BM于点F,当MB=MN时,求证:AM=EF.
25.(12分)先阅读,再填空解题:
(1)方程:的根是:________,________,则________,________.
(2)方程的根是:________,________,则________,________.
(3)方程的根是:________,________,则________,________.
(4)如果关于的一元二次方程(且、、为常数)的两根为,,
根据以上(1)(2)(3)你能否猜出:,与系数、、有什么关系?请写出来你的猜想并说明理由.
26.如图,已知点A(a,3)是一次函数y1=x+1与反比例函数y2=的图象的交点.(1)求反比例函数的解析式;(2)在y轴的右侧,当y1>y2时,直接写出x的取值范围;(3)求点A与两坐标轴围成的矩形OBAC的面积.
参考答案
一、选择题(每题4分,共48分)
1、C
【分析】①根据折叠的性质∠PGC=∠PBC=90°,∠BPC=∠GPC,从而证明BE⊥CG可得BE∥PG,推出∠BPF=∠BFP,即可得到BP=BF;②利用矩形ABCD的性质得出AE=DE,即可利用条件证明△ABE≌△DCE;③先根据题意证明△ABE∽△DEC,再利用对应边成比例求出DE即可;④根据勾股定理和折叠的性质得出△ECF∽△GCP,再利用对应边成比例求出BP,即可算出sin值;⑤连接FG,先证明▱BPGF是菱形,再根据菱形的性质得出△GEF∽△EAB,再利用对应边成比例求出BE·EF.
【详解】①在矩形ABCD,∠ABC=90°,
∵△BPC沿PC折叠得到△GPC,
∴∠PGC=∠PBC=90°,∠BPC=∠GPC,
∵BE⊥CG,
∴BE∥PG,
∴∠GPF=∠PFB,
∴∠BPF=∠BFP,
∴BP=BF;
故①正确;
②在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,AB=DC,
∵E是AD中点,
∴AE=DE,
在△ABE和△DCE中,
,
∴△ABE≌△DCE(SAS);
故②正确;
③当AD=25时,
∵∠BEC=90°,
∴∠AEB+∠CED=90°,
∵∠AEB+∠ABE=90°,
∴∠CED=∠ABE,
∵∠A=∠D=90°,
∴△ABE∽△DEC,
∴,
设AE=x,
∴DE=25﹣x,
∴,
∴x=9或x=16,
∵AE<DE,
∴AE=9,DE=16;
故③正确;
④由③知:CE=,BE=,
由折叠得,BP=PG,
∴BP=BF=PG,
∵BE∥PG,
∴△ECF∽△GCP,
∴,
设BP=BF=PG=y,
∴,
∴y=,
∴BP=,
在Rt△PBC中,PC=,
∴sin∠PCB=;
故④不正确;
⑤如图,连接FG,
由①知BF∥PG,
∵BF=PG=PB,
∴▱BPGF是菱形,
∴BP∥GF,FG=PB=9,
∴∠GFE=∠ABE,
∴△GEF∽△EAB,
∴,
∴BE•EF=AB•GF=12×9=1;
故⑤正确,
所以本题正确的有①②③⑤,4个,
故选:C.
【点睛】
本题考查矩形与相似的结合、折叠的性质,关键在于通过基础知识证明出所需结论,重点在于相似对应边成比例.
2、B
【解析】解:∵E,F分别是正方形ABCD边BC,CD的中点,∴CF=BE,在△ABE和△BCF中,∵AB=BC,∠ABE=∠BCF,BE=CF,∴Rt△ABE≌Rt△BCF(SAS),∴∠BAE=∠CBF,AE=BF,故①正确;
又∵∠BAE+∠BEA=90°,∴∠CBF+∠BEA=90°,∴∠BGE=90°,∴AE⊥BF,故②正确;
根据题意得,FP=FC,∠PFB=∠BFC,∠FPB=90°.
∵CD∥AB,∴∠CFB=∠ABF,∴∠ABF=∠PFB,∴QF=QB,令PF=k(k>0),则PB=2k
在Rt△BPQ中,设QB=x,∴x2=(x﹣k)2+4k2,∴x=,∴sin=∠BQP==,故③正确;
∵∠BGE=∠BCF,∠GBE=∠CBF,∴△BGE∽△BCF,∵BE=BC,BF=BC,∴BE:BF=1:,∴△BGE的面积:△BCF的面积=1:5,∴S四边形ECFG=4S△BGE,故④错误.
故选B.
点睛:本题主要考查了四边形的综合题,涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质的知识点,解决的关键是明确三角形翻转后边的大小不变,找准对应边,角的关系求解.
3、D
【分析】先根据旋转性质及正方形的性质构造方程求正方形的边长,再利用勾股定理求值即可.
【详解】绕点顺时针旋转后与重合
四边形ABCD为正方形
在中,
故选D.
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质、旋转的性质、正方形的性质、勾股定理,找到直角三角形运用勾股定理求值是解题的关键.
4、A
【解析】∵原方程为一元二次方程,且有实数根,
∴k-1≠0且△=62-4×(k-1)×3=48-12k≥0,解得k≤4,
∴实数k的取值范围为k≤4,且k≠1,
故选A.
5、C
【解析】根据主视图的定义即可得出答案.
【详解】从正面看,共有两列,第一列有两个小正方形,第二列有一个小正方形,在下方,只有选项C符合
故答案选择C.
【点睛】
本题考查的是三视图,比较简单,需要熟练掌握三视图的画法.
6、C
【解析】由于本题不确定k的符号,所以应分k>0和k<0两种情况分类讨论,针对每种情况分别画出相应的图象,然后与各选项比较,从而确定答案.
【详解】(1)当k>0时,一次函数y=kx-k 经过一、三、四象限,反比例函数经过一、三象限,如图所示:
(2)当k<0时,一次函数y=kx-k经过一、二、四象限,反比例函数经过二、四象限.如图所示:
故选C.
【点睛】
本题考查了反比例函数