2022-2023学年北京百善中学高三数学理联考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设i为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
化简题目所给表达式为的形式，由此得出正确选项.
【详解】.故选C.
【点睛】本小题主要考查复数乘法的运算，考查运算求解能力，属于基础题.
2. 已知全集 集合 集合，则集合为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
3. 设复数为实数，则
A．－2 B．－1 C．1 D．2
参考答案：
A
略
4. 己知集合，则满足条件的集合P的个数是（ ）
A．3 B．4 C． 7 D．8
参考答案：
D
略
5. 已知，把数列的各项排列成如下的三角形状，
记表示第行的第个数，则（ ）
A． B。 C。 D。
参考答案：
A
略
6. 已知，满足，且的取值范围是，则（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．学科-2网
参考答案：
D
略
7. “”是“复数是纯虚数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.不充分不必要条件
参考答案：
B
略
8. 从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆方程中的和，则能组成落在矩形区域内的椭圆的个数是
A、43 B、72 C、86 D、90
参考答案：
答案：B
9. 函数的图象与函数的图象的交点个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
参考答案：
B
10. 函数的单调递减区间为( )
A (kπ－,kπ－] B (kπ－,kπ＋)
C (kπ－,kπ－) D [kπ－,kπ＋)
参考答案：
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 把正整数排列成如图甲的三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数,得到如图乙的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列,若,则___．
参考答案：
1033
12. （3分）（2007?山东）设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P（x，y）到直线x+y=10距离的最大值是 ．
参考答案：
4
【考点】： 简单线性规划的应用；点到直线的距离公式．
【专题】： 不等式的解法及应用．
【分析】： 首先根据题意做出可行域，欲求区域D中的点到直线x+y=10的距离最大值，由其几何意义为区域D的点A（1，1）到直线x+y=10的距离为所求，代入计算可得答案．
【解答】： 解：如图可行域为阴影部分，
由其几何意义为区域D的点A（1，1）到直线x+y=10的距离最大，即为所求，
由点到直线的距离公式得：
d==4，
则区域D中的点到直线x+y=10的距离最大值等于 4，
故答案为：4．
【点评】： 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．
13. 右图程序运行结果是 ▲ ．；
参考答案：
14. 下列有关命题中，正确命题的序号是 ．
①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”；
②命题“?x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“?x∈R，x2+x﹣1＞0”；
③命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是假命题．
④若“p或q为真命题，则p，q至少有一个为真命题．”
参考答案：
④
【考点】四种命题；命题的否定．
【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．
【分析】分别对①②③④进行判断，从而得到结论．
【解答】解：①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”；
故①错误；
②命题“?x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“?x∈R，x2+x﹣1≥0”；
故②错误；
③命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是若sinx≠siny，则x≠y，是真命题，
故③错误；
④若“p或q为真命题，则p，q至少有一个为真命题．”，正确；
故答案为：④．
【点评】本题考察了命题的否定以及命题之间的关系，是一道基础题．
15. 设（为虚数单位），则复数的模为 ▲
参考答案：
5
16. .已知函数定义在上，对任意的， 已知，则
参考答案：
1
略
17. 是偶函数，且在(0，+∞)上是增函数，若[,1]时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
参考答案：
[-2,0]
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分15分)
已知函数
（Ⅰ）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，设函数，若，求证
参考答案：
（Ⅰ）………………1分
，即在上恒成立
设
，时，单调减，单调增，所以时，有最大值………………3分
，所以………………5分
（Ⅱ）当时，,
,所以在上是增函数，上是减函数……………6分
因为，所以
即
同理………………8分
所以
又因为当且仅当“”时，取等号………………10分
又，………………12分
所以
所以
所以：………………15分
19. 在等差数列中，，其前项和为，等比数列 的各项均为正数，，公比为，且，.
（1）求与；
（2）设数列满足，求的前项和.
参考答案：
解（1）设的公差为.
因为所以
解得 或（舍），.
故 ，.
（2）由（1）可知，，
所以.
故
略
20. （本小题满分12分）
中央电视台星光大道某期节目中，有5位实力均等的选手参加比赛，经过四轮比赛决出周冠军（每一轮比赛淘汰l位选手）．
（Ⅰ）甲、乙两位选手都进入第三轮比赛的概率；
（Ⅱ）设甲选手参加比赛的轮数为X，求X的分布列及数学期望。
参考答案：
略
21. （2017?广安模拟）已知函数f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac=1．
（Ⅰ）当b=1时，求不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）．
参考答案：
【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）当b=1时，把f（x）用分段函数来表示，分类讨论，求得f（x）≥1的解集．
（Ⅱ）当x∈R时，先求得f（x）的最大值为b2+1，再求得g（x）的最小值，根据g（x）的最小值减去f（x）的最大值大于或等于零，可得f（x）≤g（x）成立．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，当b=1时，f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|=，
当x≤﹣1时，f（x）=﹣2＜1，不等式f（x）≥1无解，不等式f（x）≥1的解集为?；
当﹣1＜x＜1时，f（x）=2x，由不等式f（x）≥1，解得x≥，所以≤x＜1；
当x≥1时，f（x）=2≥1恒成立，
所以不等式f（x）≥1的解集为[，+∞）．
（Ⅱ）（Ⅱ）当x∈R时，f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|≤|x+b2 +（﹣x+1）|=|b2+1|=b2+1；
g（x）=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|=≥|x+a2+c2﹣（x﹣2b2）|=|a2+c2+2b2|=a2+c2+2b2．
而 a2+c2+2b2﹣（b2+1）=a2+c2+b2﹣1=（ a2+c2+b2+a2+c2+b2 ）﹣1≥ab+bc+ac﹣1=0，
当且仅当a=b=c=时，等号成立，即 a2+c2+2b2≥b2+1，即f（x）≤g（x）．
【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值三角不等式的应用，比较2个数大小的方法，属于中档题．
22. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3=14，S6=126．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设…+，试求Tn的表达式．
参考答案：
考点：数列的求和；等比数列的性质．
专题：计算题．
分析：（1）根据S3=14，S6=126．可求出a4+a5+a6=112，再利用等比数列各项之间的关系，求出公比q，把S3=a1+a2+a3=14中的每一项用a1和q表示，求出a1，代入等比数列的通项公式即可
（2）由（1）知，==，=，得出数列{}是以为首项，为公比的等比数列．利用公式求解即可．
解答： 解：（1）∵S3=a1+a2+a3=14，S6=a1+a2+…+a6=126
∴a4+a5+a6=112，∵数列{an}是等比数列，
∴a4+a5+a6=（a1+a2+a3）q3=112
∴q3=8∴q=2
由a1+2a1+4a1=14得，a1=2，
∴an=a1qn﹣1=2n
（2）由（1）知，==，=，
又a1=2，a2=4，所以数列{}是以为首项，为公比的等比数列．
∴Tn==
点评：本题考查等比数列的判定，通项公式、前n项和的计算，考查方程思想，转化、计算能力．