2022-2023学年广西壮族自治区南宁市双桥中学高一数学文联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知角终边上一点坐标为,则为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
,代入即可。
【详解】
故选:D
【点睛】根据的坐标表示直接代值即可,属于简单题目。
2. f(x)为定义在R上的奇函数,其图象关于直线x=对称,且当x∈[0,]时,f(x)=tan x,则方程5πf(x)﹣4x=0解的个数是( )
A.7 B.5 C.4 D.3
参考答案:
B
【考点】54:根的存在性及根的个数判断.
【分析】利用已知条件画出y=f(x)与y=的图象,即可得到方程解的个数.
【解答】解:f(x)为定义在R上的奇函数,其图象关于直线x=对称,且当x∈[0,]时,f(x)=tan x,
方程5πf(x)﹣4x=0解的个数,就是f(x)=解的个数,在坐标系中画出y=f(x)与y=的图象,
如图:
两个函数的图象有5个交点,所以方程5πf(x)﹣4x=0解的个数是:5.
故选:B.
3. 如图,在四边形中,设,,,则 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
略
4. (5分)设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式<0的解集为()
A. (﹣1,0)∪(1,+∞) B. (﹣∞,﹣1)∪(0,1) C. (﹣1,0)∪(0,1) D. (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
参考答案:
C
考点: 函数单调性的性质;奇偶性与单调性的综合.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 根据函数为奇函数求出f(1)=0,再将不等式x f(x)<0分成两类加以分析,再分别利用函数的单调性进行求解,可以得出相应的解集.
解答: ∵f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,f(1)=0,
∴f(1)=﹣f(﹣1)=0,在(﹣∞,0)内也是增函数
∴=<0,
即或
根据在(﹣∞,0)和(0,+∞)内是都是增函数
解得:x∈(﹣1,0)∪(0,1)
故选:C
点评: 本题主要考查了函数的奇偶性的性质,以及函数单调性的应用等有关知识,属于基础题.结合函数的草图,会对此题有更深刻的理解.
5. 已知等差数列{an}中,a4+a6=8,则a3+a4+a5+a6+a7=( )
A.10 B.16 C.20 D.24
参考答案:
C
6. 已知定义域为R的函数满足,且。
若,则等于
A. B. C.3 D.9
参考答案:
D
7. 直三棱柱中,若,,则异面直线与所成的角等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
延长到,使得,则为平行四边形,
就是异面直线与所成的角,
又,则三角形为等边三角形,∴,故选C.
8. 已知函数在上是减函数,,则以下最准确的说法是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
9. 已知点A(2,0),点B(﹣2,0),直线l:(λ+3)x+(λ﹣1)y﹣4λ=0(其中λ∈R),若直线l与线段AB有公共点,则λ的取值范围是( )
A.[﹣1,3) B.(﹣1,1)∪(1,3) C.[﹣1,1)∪(1,3] D.[﹣1,3]
参考答案:
D
【考点】直线的斜率.
【分析】求出直线l恒过定点,求出A,B与定点的斜率,即可得到λ的取值范围;
【解答】解:由题意,(λ+3)x+(λ﹣1)y﹣4λ=0(其中λ∈R),
则λ(x+y﹣4)+(3x﹣y)=0,
∵λ∈R,
∴,解得:,
∴直线l所过定点(1,3);
∵点A(2,0),点B(﹣2,0),设直线l所过定点为:p,则P的坐标(1,3);
∴kPA==﹣3,kPB==1,
∵直线l与线段AB有公共点,
当λ=1时,直线x=1,与线段AB有公共点,
当λ≠1时,直线l的斜率k=,
∴≥1或≤﹣3,
解的﹣1≤λ<1,或1<λ≤3,
综上所述:λ的取值范围为[﹣1,3],
故选:D.
【点评】本题考查直线恒过定点,直线的斜率的范围是解得本题的关键,属于中档题.
10. 已知向量,则与的夹角为钝角时,的取值范围为( )
A. B. C. 且 D. 无法确定
参考答案:
C
【分析】
由夹角为钝角可得 ,解不等式可得的取值范围,去除夹角为平角的情况即可。
【详解】 与的夹角为钝角
,即,解得:
又当时,,且方向相反,此时向量的夹角为,不是钝角,故的取值范围为且,
故答案选C
【点睛】本题考查平面向量的夹角,涉及向量的共线,去掉夹角为平角是解决问题的关键,属于基础题。
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知f(x)=是(﹣∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是 .
参考答案:
≤a<
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数单调性的性质;对数函数的单调性与特殊点.
【分析】由分段函数的性质,若f(x)=是(﹣∞,+∞)上的减函数,则分段函数在每一段上的图象都是下降的,且在分界点即x=1时,第一段函数的函数值应大于等于第二段函数的函数值.由此不难判断a的取值范围.
【解答】解:∵当x≥1时,y=logax单调递减,
∴0<a<1;
而当x<1时,f(x)=(3a﹣1)x+4a单调递减,
∴a<;
又函数在其定义域内单调递减,
故当x=1时,(3a﹣1)x+4a≥logax,得a≥,
综上可知,≤a<.
故答案为:≤a<
12. 等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使前n项和Sn取得最大值的正整数n的值是 ,使前n项和Sn>0的正整数n的最大值是 .
参考答案:
5或6,10.
【考点】85:等差数列的前n项和.
【分析】由题意,公差d<0,等差数列{an}是递减数列,|a3|=|a9|,即a3=﹣a9,可得a3+a9=0,即可前n项和Sn取得最大值的正整数n的值和前n项和Sn>0的正整数n的值.
【解答】解:由题意,公差d<0,等差数列{an}是递减数列,|a3|=|a9|,即a3=﹣a9,可得a3+a9=0,
∵a3+a9=2a6,
∴a6=0,
∴等差数列{an}的前5项是正项,第6项为0.
则前n项和Sn取得最大值的正整数n的值为:5或6.
又∵=0,
∴使前n项和Sn>0的正整数n的最大值是:10.
13. 函数的定义域为 .
参考答案:
14. 在等比数列中,,,则 .
参考答案:
或6
略
15. 等差数列的前n项和为 ,且,则_________。
参考答案:
略
16. 高一某班有学生45人,其中参加数学竞赛的有32人,参加物理竞赛的有28人,另外有5人两项竞赛均不参加,则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有_________人.
参考答案:
20
17. 已知函数是定义在R上的奇函数,当时,=,则当时,= 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数(是常数且)
若函数的一个零点是1,求的值;
求在上的最小值;
记若,求实数的取值范围。
参考答案:
(3)由题意知:不等式 无解
即 恒成立
即 对任意恒成立
令则 对任意恒成立
ⅰ 当时
ⅱ 当 时
ⅲ 当 时
即
略
19. (本题满分12分)某班位学生一次考试数学成绩的频率分布直方图如图,其中成绩分组区间是40,50), 50,60), 60,70) ,70,80),80,90),90,100.若成绩在区间70,90)的人数为34人.
(1) 求图中的值及;
(2) 由频率分布直方图,求此次考试成绩平均数的估计值.
参考答案:
20. 是定义在(-1,1)上的函数
(1)判断函数的奇偶性;
(2)利用函数单调性的定义证明:是其定义域上的增函数.
参考答案:
解:
(1)因为定义域为(-1,1),
∴是奇函数
(2)设为(-1,1)内任意两个实数,且,
则
又因为,所以,
所以即所以函数在(-1,1)上是增函数.
21. (本小题满分12分)
已知函数是定义在上的偶函数,且当时,.
(1)写出函数在的解析式;
(2)若函数,求函数的最小值.
参考答案:
22. 函数,当时,有.
⑴求的值;
⑵求证:
参考答案: