2022-2023学年广东省揭阳市鸿聚中学高一数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若向量，，两两所成的角相等，且||=1，||=1，||=3，则|++|等于（ ）
A．2 B．5 C．2或5 D．或
参考答案：
C
【考点】向量的模．
【分析】由题意可得每两个向量成的角都等于120°，或都等于0°，再由，由此分别求得、、的值，再根据==，运算求得结果
【解答】解：由于平面向量两两所成的角相等，故每两个向量成的角都等于120°，或都等于0°，
再由，
①若平面向量两两所成的角相等，且都等于120°，
∴=1×1×cos120°=﹣， =1×3×cos120°=﹣， =1×3×cos120°=﹣．
==
==2．
②平面向量两两所成的角相等，且都等于0°，
则=1×1=1， =1×3=3， =1×3=3，
====5．
综上可得，则=2或5，
故选C．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
2. 已知向量满足，，且，则向量与的夹角为
A.60° B.30° C.150° D.120°
参考答案：
D
3. 如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量=（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
利用向量加法的三角形法则可得，化简后可得正确选项.
【详解】，故选C.
【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题.
4. 已知且，则锐角为 ( )
（A） （B） （C） （D）
参考答案：
C
略
5. 下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是（ ）.
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
6. 某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h的汽车数量为（ ）
A．38辆 B．28辆 C．10辆 D．5辆
参考答案：
A
7. 数列{an}满足: 其前n项积为Tn，则
A.－6 B. C. D.6
参考答案：
A
8. 在一次模拟考试后，从高三某班随机抽取了20位学生的数学成绩，其分布如下：
分组
[100，110）
[110，120）
[120，130）
[130，140）
[140，150）
频数
1
2
6
7
3
1
分数在130分（包括130分）以上者为优秀，据此估计该班的优秀率约为（ ）
A．10% B．20% C．30% D．40%
参考答案：
B
【考点】频率分布表．
【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．
【分析】根据统计表和样本来估计总体的概念即可求出．
【解答】解：由表可知，优秀的人数为3+1=4，
故分数在130分（包括130分）以上者为优秀，则优秀率为=20%，
故据此估计该班的优秀率约20%，
故选：B．
【点评】本题考查了频率分布表的应用和用样本来估计总体，属于基础题．
9. 若函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
参考答案：
C
10. 满足A＝60°，c＝1，a=的△ABC的个数记为m，则的值为( )
A．3 B． C．1 D．不确定
参考答案：
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在等比数列中，已知,,则__________.
参考答案：
20
12. 函数的单调递减区间是 。
参考答案：
(1,2]
13. 定义在R上的偶函数f（x），在[0，+∞）是增函数，若f（k）＞f（2），则k的取值范围是 ．
参考答案：
{k|k＞2或k＜﹣2}
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】利用偶函数的图象关于y轴对称，又且在[0，+∞）上为增函数，将不等式中的抽象法则f脱去，解不等式求出解集．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上为增函数，
∴f（k）＞f（2），转化为|k|＞2，
解得k＞2或k＜﹣2，
故答案为：{k|k＞2或k＜﹣2}．
14. 已知，，则 ．
参考答案：
1
利用两角和差的正弦公式可得：
，
故，
则
15. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是_____.
参考答案：
16. 已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为__________．
参考答案：
8π
分析：作出示意图，根据条件分别求出圆锥的母线，高，底面圆半径的长，代入公式计算即可.
详解：如下图所示，
又，
解得，所以，
所以该圆锥的体积为.
点睛：此题为填空题的压轴题，实际上并不难，关键在于根据题意作出相应图形，利用平面几何知识求解相应线段长，代入圆锥体积公式即可.
17. 正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面B1AC和平面BAC所成的二面角正切为 。
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）（2015秋潍坊期末）在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E为PB的中点．
（Ⅰ）求证：PD∥平面ACE；
（Ⅱ）求证：PC⊥AE．
参考答案：
【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）连接BD交AC与O，连接EO，可得OE∥PD，又OE?平面ACE，PD?平面ACE，即可判定PD∥平面ACE．
（Ⅱ）先证明PA⊥BC，CB⊥AB，可得CB⊥平面PAB，可得CB⊥AE，又AE⊥PB，即可证明AE⊥平面PBC，从而可证PC⊥AE．
【解答】（本题满分为12分）
证明：（Ⅰ）连接BD交AC与O，连接EO，
∵E，O分别为BP，BD的中点，
∴OE∥PD，
又∵OE?平面ACE，PD?平面ACE，
∴PD∥平面ACE．…4分
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，…6分
又∵底面ABCD是矩形，
∴CB⊥AB，
∵PA∩AB=A，
∴CB⊥平面PAB，…8分
又∵AE?平面PAB，
∴CB⊥AE，
又∵PA=AB，E为PB的中点，
∴AE⊥PB，…10分
∵PB∩BC=B，
∴AE⊥平面PBC，
又∵PC?平面PBC，
∴PC⊥AE．…12分
【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定和性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．
19. （本小题满分12分）已知函数.
（1）求证：不论为何实数总是为增函数；
（2）确定的值，使为奇函数；
（3）当为奇函数时，求的值域．
参考答案：
解：（1）的定义域为R, 设，
则=，
, ,
即,所以不论为何实数总为增函数……………………4分
（2）为奇函数, ,即,
解得: …………………………8分
（3）由(2)知, ,
所以的值域为………………………………12分
略
20. 已知二次函数，，f(x)的最小值为－1．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）设.
（i）若g(x)在[－1,1]上是减函数，求实数的取值范围；
（ii）若g(x)在(－1,1)内恰有一个零点，求实数的取值范围．
参考答案：
（1）；（2）（i）；（ii）.
【分析】
（1）可设，可知该函数图象的对称轴方程为，由题意得出，可求出的值，即可得出函数的解析式；
（2）可得出.
（i）分、、三种情况讨论，在时，将参数代入函数的解析式进行验证，在、两种情况下，结合单调性得出二次函数图象的对称轴与区间的位置关系，由此可得出关于的不等式，解出即可；
（ii）对实数的值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合零点存在定理，可得出关于实数的不等式组，解出即可得出实数的取值范围.
【详解】（1），且函数的最小值为．
设，则该函数图象的对称轴方程为，，，；
（2）.
（i）①当时，在上是减函数，满足要求；
②当时，对称轴方程为：．
i）当时，，所以，解得；
ii）当时，，所以，解得．
综上，，因此，实数的取值范围是；
（ii）①当时，函数在上是减函数，
，
，
故时，，，此时，函数在区间内无零点；
当时，，，在区间内有且只有一个零点；
②当时，对称轴方程为：，
若函数在内恰有一个零点，则有，
即，解得或，又，所以.
综上有：或.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查了利用二次函数在区间上的单调性和零点个数求参数的取值范围，涉及零点存在定理的应用，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
21. 某工厂要建造一个无盖长方体水池，底面一边长固定为8，最大装水量为72，池底和池壁的造价分别为元、元，怎样设计水池底的另一边长和水池的高，才能使水池的总造价最低？最低造价是多少？
参考答案：
解：设池底一边长为，水池的高为，池底、池壁造价分别为，则总造价为 由最大装水量知，
当且仅当即时，总造价最低，
答：将水池底的矩形另一边和长方体高都设计为时，总造价最低，最低造价为元。
略
22. (本小题满分12分)设f（x）是定义在［－1，1］上的奇函数，
且对任意a、b∈［－1，1］，当a+b≠0时，都有＞0.
（1）若a＞b，比较f（a）与f（b）的大小；
（2）解不等式f（x－）＜f（x－）；
（3）记P={x|y=f（x－c）}，Q={x|y=f（x－c2）}，且P∩Q=，求c的取值范围.
参考答案：