2022-2023学年山西省忻州市业余少体校高一数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知圆O的半径为2,P,Q是圆O上任意两点,且,AB是圆O的一条直径,若点C满足(),则的最小值为( )
A. -1 B. -2 C. -3 D. -4
参考答案:
C
因为,由于圆的半径为,是圆的一条直径,所以,,又,所以
,所以,当时,,故的最小值为,故选C.
2. 一个等比数列共有3m项,其中前m项和为x,中间m项和为y,后m项和为z,则一定有( )
A.x+y=z B.x+z=2y C.xy=z D.xz=
参考答案:
D
3. 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为
A. 20π B. 24π C.28π D. 32π
参考答案:
C
4. 已知,则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案:
A
【详解】由,
而推不出,
“”是“充分不必要条件
5. 设是定义域为,最小正周期为的函数,若则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
B 解析:
6. 从装有2个红球和2个白球的口袋中任取两个球,那么下列事件中是
互斥事件的是( )
A.至少有一个白球,都是白球
B. 至少有一个白球,至多有一个红球
C.没有白球,恰有一个红球
D. 至少有一个白球,都是红球
参考答案:
.D
略
7. 设,都是由A到B的映射,其中对应法则(从上到下)如下表:
则与相同的是
A. B. C. D.
参考答案:
A
8. 如图,在△ABC中,,AD是边BC上的高,PA⊥平面ABC,则图中直角三角形的个数是( )
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
参考答案:
C
【分析】
根据线面垂直得出一些相交直线垂直,以及找出题中一些已知的相交直线垂直,由这些条件找出图中的直角三角形。
【详解】①平面,,都是直角三角形;
②是直角三角形;
③是直角三角形;
④由得平面,可知:也是直角三角形.
综上可知:直角三角形的个数是个,故选:C。
【点睛】本题考查直角三角形个数的确定,考查相交直线垂直,解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到,考查推理能力,属于中等题。
9. 将参加夏令营的600名学生编号为:001,002,…,600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本,且在第一段中随机抽得的号码是003.这600名学生分别住在三个营区,从001到300在第一营区,从301到495在第二营区,从496到600在第三营区.则三个营区被抽到的人数分别为 A.25,17,8 B.25,16,9 C.26,16,8 D.24,17,9
参考答案:
A
略
10. 已知函数,则的值是( )
A. B.9 C.﹣9 D.﹣
参考答案:
A
【考点】函数的值.
【分析】由已知条件利用分段函数的性质求解.
【解答】解:∵,
∴f()==﹣2,
∴=3﹣2=.
故答案为:.
故选:A.
【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数f(x)=在区间(﹣2,+∞)上是递增的,实数a的取值范围 .
参考答案:
(,+∞).
【考点】函数单调性的性质.
【分析】先将函数解析式进行常数分离,然后利用增函数的定义建立关系,进行通分化简,判定每一个因子的符号,从而求出a的范围.
【解答】解:f(x)===+a、
任取x1,x2∈(﹣2,+∞),且x1<x2,
则f(x1)﹣f(x2)=﹣=.
∵函数f(x)=在区间(﹣2,+∞)上为增函数,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,
∵x2﹣x1>0,x1+2>0,x2+2>0,
∴1﹣2a<0,a>,
即实数a的取值范围是(,+∞).
12. 已知正方体的棱长为a,E是棱的
中点,F是棱的中点,则异面直线EF与AC所成的角的
大小是 Δ .
参考答案:
(或填)
略
13. 设a + b = 2, b>0, 则当a = ______时, 取得最小值.
参考答案:
14. 若,则_____________.
参考答案:
,故答案为.
15. 如图是一个柱体的三视图,它的体积等于底面积乘以高,该柱体的体积等于 .
参考答案:
3
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由已知中的三视图,可知该几何体是一个以左视图为底面的三棱柱,求出底面面积和高,代入柱体体积公式,可得答案.
【解答】解:由已知中的三视图,可知该几何体是一个以左视图为底面的三棱柱,
其底面面积S==,
高h=3,
故该柱体的体积V=Sh=3,
故答案为:3
16. 正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为2,底面边长为2,则该球的表面积为 .
参考答案:
9π
【考点】球的体积和表面积.
【专题】计算题;方程思想;综合法;立体几何.
【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PE上,求出球的半径,求出球的表面积.
【解答】解:如图,正四棱锥P﹣ABCD中,PE为正四棱锥的高,根据球的相关知识可知,正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上,延长PE交球面于一点F,连接AE,AF,由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF,根据平面几何中的射影定理可得PA2=PFPE,因为AE=,
所以侧棱长PA==,PF=2R,
所以6=2R×2,所以R=,
所以S=4πR2=9π.
故答案为:9π.
【点评】本题考查球的表面积,球的内接几何体问题,考查计算能力,是基础题.
17. 给定集合,若对于任意,都有且,则称集合为完美集合,给出下列四个论断:①集合是完美集合;②完美集合不能为单元素集;③集合为完美集合;④若集合为完美集合,则集合为完美集合.
其中正确论断的序号是________________.
参考答案:
③
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图,点E在AB上,在梯形BCDE区域内部展示文物,DE是玻璃幕墙,游客只能在△ADE区域内参观,在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头,∠MPN为监控角,其中M、N在线段DE(含端点)上,且点M在点N的右下方,经测量得知:AD=6米,AE=6米,AP=2米,∠MPN=,记∠EPM=θ(弧度),监控摄像头的可视区域△PMN的面积为S平方米.
(1)求S关于θ的函数关系式,并写出θ的取值范围:(参考数据:tan≈3)
(2)求S的最小值.
参考答案:
【考点】HT:三角形中的几何计算.
【分析】(1)利用正弦定理,求出PM,PN,即可求S关于θ的函数关系式,M与E重合时,θ=0,N与D重合时,tan∠APD=3,即θ=,即可写出θ的取值范围;
(2)当2θ+=即时,S取得最小值.
【解答】解:(1)在△PME中,∠EPM=θ,PE=4m,∠PEM=,∠PME=,
由正弦定理可得PM==,
同理,在△PNE中,PN=,
∴S△PMN===,
M与E重合时,θ=0,N与D重合时,tan∠APD=3,即θ=,
∴0≤θ≤,
综上所述,S△PMN=,0≤θ≤;
(2)当2θ+=即时,S取得最小值=8(﹣1)平方米.
19. 数列{an}的前n项和.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设,求数列{bn}的前n项和Tn,并求使成立的实数m最小值.
参考答案:
(1);(2),.
【分析】
(1)由已知可先求得首项,然后由,得,两式相减后可得数列的递推式,结合得数列是等比数列,从而易得通项公式;
(2)对数列可用错位相减法求其和.不等式恒成立,可转化为先求的最大值.
【详解】(1)由得.
由,可知,
可得,即.
因为,所以,故
因此是首项为,公比为的等比数列,
故.
(2)由(1)知.
所以①
两边同乘以得
②
①②相减得
从而
于是,
当是奇数时,,
因为,
所以.
当是偶数时,
因此.
因为,
所以,的最小值为.
【点睛】本题考查等比数列的通项公式,前项和公式,考查错位相减法求和.适用错位相减法求和的数列一般是,其中是等差数列,是等比数列.
20. (1)已知,求x+x﹣1的值;
(2)计算的值.
参考答案:
解:(1),x+x﹣1==9﹣2=7
(2)
=2﹣2×2﹣log63﹣log62
=﹣3.
考点:对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值.
专题:计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
分析:(1)利用平方关系,直接求解即可.
(2)利用对数运算法则以及指数运算法则化简求解即可.
解答:解:(1),x+x﹣1==9﹣2=7
(2)
=2﹣2×2﹣log63﹣log62
=﹣3.
点评:本题考查对数运算法则以及有理指数幂运算法则的应用,考查计算能力.
21. 如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形.∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明:PA⊥BD
(Ⅱ)设PD=AD=1,求棱锥D﹣PBC的高.
参考答案:
【考点】直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积.
【专题】计算题;证明题;综合题.
【分析】(Ⅰ)因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=,利用勾股定理证明BD⊥AD,根据PD⊥底面ABCD,易证BD⊥PD,根据线面垂直的判定定理和性质定理,可证PA⊥BD;
(II)要求棱锥D﹣PBC的高.只需证BC⊥平面PBD,然后得平面PBC⊥平面PBD,作DE⊥PB于E,则DE⊥平面PBC,利用勾股定理可求得DE的长.
【解答】解:(Ⅰ)证明:因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=,
从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD
所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.
(II)解:作DE⊥PB于E,已知PD⊥底面ABCD,
则PD⊥BC,由(I)知,BD⊥AD,又BC∥AD,
∴BC⊥BD.
故BC⊥平面PBD,BC⊥DE,
则DE⊥平面PBC.
由题设知PD=1,则BD=,PB=2.
根据DE?PB=PD?BD,得DE=,
即棱锥D﹣PBC的高为.
【点评】此题是个中档题.考查线面垂直的性质定理和判定定理,以及点到面的距离,查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力.
22. (本小题8分)如图在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面,且,设、分别为、的中点.
(1) 求证: //平面;
(2) 求证:面平面;
(3) 求二面角的正切值.
参考答案:
(Ⅰ)证明:为平行四边形
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