2022-2023学年广东省汕头市潮阳田心中学高三数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数,对任意的正数x,f(x)≥0恒成立,则m的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
A
2. 若loga2<0(a>0,且a≠1),则函数f(x)=loga(x+1)的图象大致是( )
参考答案:
B
略
3. 在空间直角坐标系中,过点作直线的垂线,则直线与平面的交点的坐标满足条件
A.
B.
C.
D.
参考答案:
C
4. 已知三棱锥底面是边长为1的正三角形,侧棱长均为2,则侧棱与底面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方),l为C的准线,点N在l上,且MN⊥l,则M到直线NF的距离为( )
A. B.2 C.2 D.3
参考答案:
C
【考点】KN:直线与抛物线的位置关系;K8:抛物线的简单性质.
【分析】利用已知条件求出M的坐标,求出N的坐标,利用点到直线的距离公式求解即可.
【解答】解:抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),且斜率为的直线:y=(x﹣1),
过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方),l
可知:,解得M(3,2).
可得N(﹣1,2),NF的方程为:y=﹣(x﹣1),即,
则M到直线NF的距离为: =2.
故选:C.
7. 执行右面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足
(A)y=2x (B)y=3x
(C)y=4x (D)y=5x
参考答案:
C
试题分析:当时,,不满足;
,不满足;,满足;输出,则输出的的值满足,故选C.
8. 中心在原点,焦点在x轴上的双曲线,一条渐近线方程是,则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D. 2
参考答案:
D
9. 设i为虚数单位,则复数的共轭复数( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
【分析】
利用复数的运算法则,分子分母同时乘以,得出,再利用共轭复数的定义即可得出。
【详解】解:,
故选:A.
【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义。若,,, ,在进行复数的除法运算时,分子分母同时应乘以分母的共轭复数。
10. 在△ABC中,A,B,C成等差数列是(b+a﹣c)(b﹣a+c)=ac的( )
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
C
【考点】29:充要条件.
【分析】由A,B,C成等差数列即可得到B=60°,而根据余弦定理即可得到a2+c2﹣b2=ac,这样即可求得(b+a﹣c)(b﹣a+c)=ac,这就说明A,B,C成等差数列是(b+a﹣c)(b﹣a+c)=ac的充分条件;而由(b+a﹣c)(b﹣a+c)=ac,便可得到a2+c2﹣b2=ac,从而根据余弦定理求出B=60°,再根据三角形内角和为180°即可说明B﹣A=C﹣B,即得到A,B,C成等差数列,这样即可找出正确选项.
【解答】解:(1)如图,若A,B,C成等差数列:2B=A+C,所以3B=180°,B=60°;
∴由余弦定理得,b2=a2+c2﹣ac;
∴a2+c2﹣b2=ac;
∴(b+a﹣c)(b﹣a+c)=b2﹣(a﹣c)2=b2﹣a2﹣c2+2ac=﹣ac+2ac=ac;
即(b+a﹣c)(b﹣a+c)=ac;
∴A,B,C成等差数列是(b+a﹣c)(b﹣a+c)=ac的充分条件;
(2)若(b+a﹣c)(b﹣a+c)=ac,则:
b2﹣(a﹣c)2=b2﹣a2﹣c2+2ac=ac;
∴a2+c2﹣b2=ac;
由余弦定理:a2+c2﹣b2=2ac?cosB;
∴;
∴B=60°;
∴60°﹣A=180°﹣(A+60°)﹣60°;
即B﹣A=C﹣B;
∴A,B,C成等差数列;
∴A,B,C成等差数列是(b+a﹣c)(b﹣a+c)=ac的必要条件;
∴综上得,A,B,C成等差数列是(b+a﹣c)(b﹣a+c)=ac的充要条件.
故选:C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (不等式选讲)已知a,b均为正数且的最大值为 .
参考答案:
12. 出下列命题
①若是奇函数,则的图象关于y轴对称;
②若函数f(x)对任意满足,则8是函数f(x)的一个周期;
③若,则;
④若在上是增函数,则。
其中正确命题的序号是___________.
参考答案:
1 2 4
略
13. 设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}.若B?A,则实数a的取值范围是________.
参考答案:
(-∞,-1]∪{1}
解析 因为A={0,-4},所以B?A分以下三种情况:
①当B=A时,B={0,-4},由此知0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,由根与系数的关系,得 解得a=1;
②当B≠?且BA时,B={0}或B={-4},
并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,此时B={0}满足题意;
③当B=?时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.
综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,-1]∪{1}.
14. 命题“,”是 ▲ 命题(选填“真”或“假”).
参考答案:
真
15. 已知=1+i,则|z|= .
参考答案:
【考点】A8:复数求模.
【分析】求出复数z,运用复数商的模为模的商,结合模的公式计算即可得到所求.
【解答】解: =1+i,
可得z=,
即有|z|=|=|=
==.
故答案为:.
16. 如图,已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体 的最长的棱长为________(cm).
参考答案:
4
17. 已知为锐角,且,则的值为_________.
参考答案:
试题分析:由可得,即,又为锐角,,故应填答案.
考点:三角变换的公式及运用.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)如图是单位圆上的动点,且分别在第一,二象限.是圆与轴正半轴的交点,为正三角形. 若点的坐标为. 记.
(1)若点的坐标为,求的值;
(2)求的取值范围.
参考答案:
解:(Ⅰ)因为A点的坐标为,根据三角函数定义可知,
,得,.2分
所以=5分
(Ⅱ)因为三角形AOB为正三角形,所以, 所以
==.6分
所以=.7分
, ,
即,.9分
.10分
19. 已知函数
(1) 当时,求函数的最值;
(2) 求函数的单调区间;
(3) 试说明是否存在实数使的图象与无公共点.
参考答案:
解:(1) 函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)(a∈R)的定义域是(1,+∞)……………………1分
当a=1时,,所以f (x)在为减函数 ………………3分
在为增函数,所以函数f (x)的最小值为=.………………………5分
(2) ………………………………………………6分
若a≤0时,则f(x)在(1,+∞)恒成立,所以f(x)的增区间为(1,+∞).…………………………………………………………………………8分
若a>0,则故当, ,………… 9分
当时,f(x) ,
所以a>0时f(x)的减区间为,f(x)的增区间为.………10分
(3) a≥1时,由(1)知f(x)在(1,+∞)的最小值为,……11分
令在 [1,+∞)上单调递减,
所以则>0,…………………………12分
因此存在实数a(a≥1)使f(x)的最小值大于,
故存在实数a(a≥1)使y=f(x)的图象与无公共点.……………………………14分
略
20. 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ.
(I)求出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
(II)设直线l与曲线C的交点为A,B,求|AB|的值.
参考答案:
【分析】(1)使用加减消元法消去参数t即得直线l的普通方程,将极坐标方程两边同乘ρ即可得到曲线C的直角坐标方程;
(2)求出曲线C的圆心到直线l的距离,利用垂径定理求出|AB|.
【解答】解:(I)∵(t为参数),∴x﹣y=,
即直线l的普通方程为﹣y+2﹣=0.
由ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ,即x2+y2=2y.
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y.即x2+(y﹣)2=3.
(II)由(1)知曲线C的圆心为(0,),半径r=.
∴曲线C的圆心到直线l的距离d==.
∴|AB|=2=2=2.
【点评】本题考查了参数方程,极坐标方程与普通方程的转化,直线与圆的位置关系,属于基础题.
21. 已知点F为抛物线C:x2=4y的焦点,A,B,D为抛物线C上三点,且点A在第一象限,直线AB经过点F,BD与抛物线C在在点A处的切线平行,点M为BD的中点
(Ⅰ)求证:AM与y轴平行;
(Ⅱ)求△ABD面积S的最小值.
参考答案:
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】(I)设出A,B,D三点坐标,根据kBD=y′|列方程.根据根与系数的关系求出M的横坐标即可;
(II)求出直线BD的方程,求出AM和B到直线AM的距离,则S△ABD=2S△ABM,求出S关于xA的函数,利用基本不等式求出函数的最小值.
【解答】证明:(Ⅰ)设A(x0,),B(x1,),D(x2,).(x0>0)
由x2=4y得y=,
∴y′=,
∴kBD=,
又kBD==,
∴=,
∴=x0,即xM=x0.
∴AM与y轴平行.
解:(Ⅱ)F(0,1),
∴kAF==,kBF==.
∵A,B,F三点共线,
∴kAF=kBF,
∴=,整理得(x0x1+4)(x0﹣x1)=0,
∵x0﹣x1≠0,
∴x0x1=﹣4,即x1=﹣.
直线BD的方程为y=(x﹣x1)+,
∴yM=(x0﹣x1)+=++2=++2.
由(Ⅰ)得S△ABD=2S△ABM=|++2﹣|×|x1﹣x0|
=|++2|×|x0+|=(x0+)3≥16,
当且仅当x0=即x0=2时等号成立,
∴S的最小值为16.
22. (本小题满分12分)
已知函数(e为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若,,试求函数g(x)极小值的最大值.
参考答案:
(Ⅰ)易