2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第六十四中学高一数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设>0,函数y=sin(x+)+2的图象向右平移个单位后与原图象重合,则的最小值是
A. B. C. D. 3
参考答案:
C
函数的图象向右平移个单位后 所以有
故选C
2. 设( )
A、3 B、1 C. 0 D.-1
参考答案:
A
3. 如果奇函数在区间 上是增函数且最大值为,那么在区间上是( )
A.增函数且最小值是 B.增函数且最大值是
C.减函数且最大值是 D.减函数且最小值是
参考答案:
A
4. 下列关系式中正确的是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
5. 已知a=log0.60.5,b=ln0.5,c=0.60.5.则( )
A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a
参考答案:
B
【考点】对数值大小的比较.
【分析】根据指数函数和对数函数的性质即可得到结论.
【解答】解:log0.60.5>1,ln0.5<0,0<0.60.5<1,
即a>1,b<0,0<c<1,
故a>c>b,
故选:B
6. 在等比数列中,,,,则项数为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
参考答案:
C
7. 若,则的大小关系是( )
A、 B、 C、 D、由的取值确定
参考答案:
C
8. 已知集合A=,B=,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
9. 在等差数列{an}中,已知,前7项和,则公差( )
A. -3 B. -4 C. 3 D. 4
参考答案:
D
根据题意可得,,
因为,
所以,两式相减,得.
10. f(x)=是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围为( )
A.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) D.(1,8)
参考答案:
B
【考点】函数单调性的判断与证明.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】先根据当x≤1时,f(x)是一次函数且为增函数,可得一次项系数为正数,再根据当x>1时,f(x)=ax为增函数,可得底数大于1,最后当x=1时,函数对应于一次函数的取值要小于指数函数的取值.综合,可得实数a的取值范围.
【解答】解:∵当x≤1时,f(x)=(4﹣)x+2为增函数
∴4﹣>0?a<8
又∵当x>1时,f(x)=ax为增函数
∴a>1
同时,当x=1时,函数对应于一次函数的取值要小于指数函数的取值
∴(4﹣)×1+2≤a1=a?a≥4
综上所述,4≤a<8
故选B
【点评】本题以分段函数为例,考查了函数的单调性、基本初等函数等概念,属于基础题.解题时,应该注意在间断点处函数值的大小比较.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 写出函数的,单调增区间______________。
参考答案:
12. 为了解中学生课外阅读情况,现从某中学随机抽取200名学生,收集了他们一年内的课外阅读量(单位:本)等数据,以下是根据数据绘制的统计图表的一部分.
下面有四个推断:
①这200名学生阅读量的平均数可能是26本;
②这200名学生阅读量的75%分位数在区间[30,40)内;
③这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间[20,30)内;
④这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间[20,30)内.
所有合理推断的序号是________.
参考答案:
②③④
【分析】
①由学生类别阅读量图表可知;
②计算75%分位数的位置,在区间内查人数即可;
③设在区间内的初中生人数为,则,分别计算为最大值和最小值时的中位数位置即可;
④设在区间内的初中生人数为,则,分别计算为最大值和最小值时的25%分位数位置即可.
【详解】在①中,由学生类别阅读量中男生和女生人均阅读量知,这200名学生的平均阅读量在区间内,故错误;
在②中,,阅读量在的人数有人,
在的人数有62人,所以这200名学生阅读量的75%分位数在区间内,
故正确;
在③中,设在区间内的初中生人数为,则,
当时,初中生总人数为116人,,
此时区间有25人,区间有36人,所以中位数在内,
当时,初中生总人数为131人,,
区间有人,区间有36人,所以中位数在内,
当区间人数去最小和最大,中位数都在内,
所以这名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间内,故正确;
在④中,设在区间内的初中生人数为,则,
当时,初中生总人数为116人,,
此时区间有25人,区间有36人,所以25%分位数在内,
当时,初中生总人数为131人,,
区间有人,所以25%分位数在内,
所以这名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间内,故正确;
故答案为:②③④
【点睛】本题主要考查频数分布表、平均数和分位数的计算,考查学生对参数的讨论以及计算能力,属于中档题.
13. 已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)=k有3个不同的实根,则实数k的取值范围为 .
参考答案:
(1,2]
【考点】函数的零点与方程根的关系.
【专题】作图题;数形结合;数形结合法;函数的性质及应用.
【分析】由题意作函数f(x)的图象,由图象得到.
【解答】解:作函数f(x)=f(x)=的图象如图,
则由图象可知,1<k≤2,
故答案为(1,2].
【点评】本题考查了分段函数的图象和作法和函数零点与图象的交点的关系,属于基础题.
14. 的夹角为,,则
参考答案:
7
略
15. 已知不等式x2-logmx-<0在x∈(0, )时恒成立,则m的取值范围是_______
参考答案:
16. 已知向量,则在方向上的投影等于_________.
参考答案:
17. 函数恒过定点 ▲ .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分8分)已知函数,且.
(Ⅰ)求函数的定义域;
(Ⅱ)当时,求函数的单调区间.
参考答案:
(Ⅰ)由得,
解得或,
所以函数的定义域为. ……… 2分
(Ⅱ)令.
设,则,. ……… 3分
所以
……… 4分
因为,于是,,,
所以,即.
又因为,所以.
所以函数在上单调递增. ……… 6分
同理可知,函数在上单调递增. ……… 7分
综上所述,函数的单调递增区间是和. ……… 8分
19. 计算:
(1);
(2)lg25﹣lg22+lg4.
参考答案:
【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值.
【专题】计算题;转化思想;定义法;函数的性质及应用.
【分析】(1)根据指数幂的运算性质计算即可,
(2)根据对数的运算性质计算即可.
【解答】解:(1)原式=××()=×(22×3)×3×2=3×2=3;
(2)原式=(lg5﹣lg2)(lg5+lg2)+2lg2=lg5﹣lg2+2lg2=lg5+lg2=1.
【点评】本题主要考查了指数幂对数的运算性质,属于基础题.
20. 已知y=f(x)是定义在R上的奇函数.当x<0时.f(x)=1+2x
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)画出函数f(x)的图象;
(3)写出函数f(x)的单调区间及值域;
(4)求使f(x)>a恒成立的实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】函数的图象;函数解析式的求解及常用方法;函数单调性的判断与证明;函数恒成立问题.
【分析】(1)根据已知中y=f(x)是定义在R上的奇函数,若x<0时,f(x)=1+2x,我们易根据奇函数的性质,我们易求出函数的解析式;
(2)根据分段函数图象分段画的原则,即可得到函数的图象;
(3)根据函数的图象可得函数的单调区间及值域;
(4)根据图象求出函数的下确界,进而可得实数a的取值范围.
【解答】解:(1)y=f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0
当x>0时,﹣x<0
则f(﹣x)=1+2﹣x=﹣f(x)
又∵x<0时,f(x)=1+2x,
∴当x>0时,f(x)=﹣1﹣2﹣x
∴f(x)=
(2)函数f(x)的图象如下图所示:
(3)由图可得:
函数f(x)的单调递增区间为(﹣∞,0),(0,+∞),函无单调递减区间;
函数f(x)的值域为(﹣2,1)∪{0}∪(1,2);
(4)若f(x)>a恒成立,
则a≤﹣2.
21. (本小题满分14分)
计算下列各式:
(Ⅰ)
(Ⅱ)
参考答案:
(Ⅰ)原式= ………2分
= ………4分
=1 ………7分
(Ⅱ)原式= ………9分
= ………11分
= ………14分
22. 圆内有一点,为过点且倾斜角为的弦,
(1)当=1350时,求;
(2)当弦被点平分时,求出直线的方程;
(3)设过点的弦的中点为,求点的坐标所满足的关系式.
参考答案:
解:(1)过点做于,连结,当=1350时,直线的斜率为-1,故直线的方程x+y-1=0,∴OG=d=, …………3分
又∵r=,∴,∴ , …………5分
(2)当弦被平分时,,此时KOP=,
∴的点斜式方程为. …………8分
(3)设的中点为,的斜率为K,,则,
消去K,得:,当的斜率K不存在时也成立,故过点的弦的中点的轨迹方程为:. ……………12分
略