2022-2023学年江苏省淮安市渔沟中学高三数学文月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
因为满足偶函数f(﹣x)=f(x)的定义,
所以函数为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除B,
又x=0时,y=0,排除A、C,
故选D.
2. (5) 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为, 则p =
(A) 1 (B) (C) 2 (D) 3
参考答案:
C
3. 已知定义在R上的可导函数的导函数为,满足,且为偶函数,,则不等式的解集为
A.(-∞,0) B.(0,+∞) C. D.
参考答案:
B
4. △ABC中,“”是“”的( )条件
A.充分不必要 B. 必要不充分
C.充要条件 D.既不充分又不必要
参考答案:
C
5. 连结球面上两点的线段称为球的弦。半径为4的球的两条弦、的长度分别等于、,、分别为、的中点,每条弦的两端都在球面上运动,有下列四个命题:
①弦、可能相交于点 ②弦、可能相交于点
③的最大值为5 ④的最小值为1
其中真命题的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案:
C
6. 已知集合,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
,选C
7. 设函数.若存在的极值点满足,则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
【知识点】正弦函数的图象和性质;函数的零点的定义;正弦函数的定义域和值域.
B 解:由题意可得,f(x0)=±,且 =kπ+,k∈z,即 x0=m.
再由x02+[f(x0)]2<m2,可得当m2最小时,|x0|最小,而|x0|最小为|m|,
∴m2 >m2+3,∴m2>4. 求得 m>2,或m<﹣2,
故选:B.
【思路点拨】由题意可得,f(x0)=±,且 =kπ+,k∈z,再由题意可得当m2最小时,|x0|最小,而|x0|最小为|m|,可得m2 >m2+3,由此求得m的取值范围.
8. 执行 如图的算法框图,如果输入p=5,则输出的S等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 已知函数,在其图象上任取两个不同的点,总能使得,则实数a的取值范围为
A. (1,+∞) B. [1,+∞) C. (1,2) D. [1,2]
参考答案:
B
【分析】
根据可知的图象上任意两个点连线的斜率大于2,结合导数的几何意义可求.
【详解】,因为,所以;
易知当时,不符合题意;当时,,由于,所以,所以,即,故选B.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义,曲线上任意两点的斜率问题转化为导数的几何意义,侧重考查数学建模的核心素养.
10. 已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=+1若两函数的图象有且只有三个不同的公共点,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣2)
B.(1+,+∞)
C.(-∞,-2]∪[1+,+∞)
D.(-∞,-2)∪(1+,+∞)
参考答案:
D
【考点】根的存在性及根的个数判断;函数的图象.
【分析】首先根据函数的表达式画出函数的图象,从而根据图象判断函数与直线的公共点的情况,最后结合两曲线相切与方程有唯一解的关系即可求得实数a的取值范围.
【解答】解:画出函数和y=|x﹣a|的图象,
(如图)
由图可知,当且仅当直线y=a﹣x与函数y=的图象相切时,有2解,∴此时a>2,
x<a,y=a﹣x代入y=,可得:
x2+(1﹣a)x+2=0,
△=(1﹣a)2﹣8=0,解得a=1+2,要有3个交点,可得a>1+2,
函数y=和y=|x﹣a|的图象有三个不同的公共点,则实数a的取值范围是a<﹣2.
综上a.
故选:D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 经过点A(0,3),且与直线y=-x+2垂直的直线方程是__________。
参考答案:
x-y+3=0;
12. 已知数列{an}中,a1=2,且对任意的,都有,若,则数列{bn}的前n项和Sn= .
参考答案:
13. 已知且,则_______
参考答案:
二
14. 已知正三棱锥的体积为9cm3,高为3cm.则它的侧面积为 cm2.
参考答案:
18
【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LE:棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.
【分析】利用三棱锥的体积求出底面面积,得到底面边长,求解侧面积即可.
【解答】解:正三棱锥的体积为9cm3,高为3cm.
可得底面正三角形的面积为:,解得S=9.
设底面边长为xcm.
由题意可得:,解得x=6.
侧面斜高h==2.
∴它的侧面积S=3××6×2=18.
故答案为:18.
15. 如图,是⊙的直径,切⊙于点,切
⊙于 点,交的延长线于点.若,,则
的长为_______.
参考答案:
3
略
16. 若数列{an}是各项均为正数的等比数列,则当时,数列{bn}也是等比数列;类比上述性质,若数列{cn}是等差数列,则当dn= 时,数列{dn}也是等差数列.
参考答案:
略
17. 设,在二项式的展开式中,含的项的系数与含的项的系数相等,则的值为 .
参考答案:
1
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分15分)已知椭圆:,设该椭圆上的点到左焦点的最大距离为,到右顶点的最大距离为.
(Ⅰ) 若,,求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设该椭圆上的点到上顶点的最大距离为,求证:.
参考答案:
(Ⅰ)解:,
∴椭圆的方程为;…………………………………………………………5分
(Ⅱ)证明:椭圆上任意一点,则点到上顶点的距离为,,
构造二次函数,
其对称轴方程为.
当,即时,,
此时,
而,从而;
当,即时,,
此时;
综上所述椭圆上任意一点到上顶点的距离都小于等于,所以椭圆上的点到上顶点的最大距离.…………………………………………………………………………15分
19. 已知数列满足.
(Ⅰ)求及通项公式;
(Ⅱ)求证:.
参考答案:
(Ⅰ)解:n=1时,有,解得=3
时,由
得,两式相减得
,解得,
满足=3,故
(Ⅱ)
所以
略
20. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且ccos A=(2b﹣a)cosC.
(1)求角C;
(2)若A=,△ABC的面积为,D为AB的中点,求sin∠BCD.
参考答案:
【考点】正弦定理;余弦定理.
【分析】(1)由正弦定理,三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式化简已知可得:2sinBccosC=sinB,由sinB≠0,可求cosC=,结合C的范围可求C的值.
(2)利用三角形内角和定理可求B,利用三角形面积公式可求a,在△DBC中,利用余弦定理可求CD,在△DBC中,由正弦定理可得sin∠BCD的值.
【解答】(本题满分为12分)
解:(1)在△ABC中,∵ ccos A=(2b﹣a)cosC,可得:2bccosC=(ccosA+acosC),
∴由正弦定理可得:2sinBccosC=(sinCcosA+sinAcosC)=sinB,
∵sinB≠0,
∴cosC=,
∵0<C<π,
∴C=…6分
(2)∵A=,C=,可得:△ABC为等腰三角形,B=,
∴S△ABC=a2sinB==,
∴a=2,
∴在△DBC中,由余弦定理可得:CD2=DB2+BC2﹣2DB?BCcosB=7,可得:CD=,
在△DBC中,由正弦定理可得:,即: =,
∴sin∠BCD=…12分
【点评】本题主要考查了正弦定理,三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式,三角形面积公式,余弦定理在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.
21. 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且.
(1)求角C的大小;
(2)若,△ABC的面积为,求sinA及c的值.
参考答案:
解:(1),可得:,
,
,,
.
(2),
,
,
,
,
,
,
.
22. (本题满分12分)已知:在直角坐标系中,曲线C的参数方程为:为参数),以原点O为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求曲线C的极坐标方程.
参考答案:
由,得,两式相除,得代入得
,