2023年广东省江门市岭背中学高三数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数,若方程f(x)=﹣x+a有且只有两个不等的实数根,则实数a的取值范围为( )
A.(﹣∞,0) B.[0,1) C.(﹣∞,1) D.[0,+∞)
参考答案:
C
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【专题】数形结合;函数的性质及应用.
【分析】由题知f(x)为分段函数,当x<0时,由f(x)=f(x+1)可知f(x)为周期函数;当x大于等于0时函数为增函数,而方程f(x)=﹣x+a有且只有两个不相等的实数根即f(x)与y=﹣x+a由两个交点,在同一坐标系中画出函数f(x)的图象与函数y=﹣x+a的图象,利用数形结合,易求出满足条件实数a的取值范围.
【解答】解:函数的图象如图所示,
作出直线l:y=a﹣x,向左平移直线l观察可得函数y=f(x)
的图象与函数y=﹣x+a的图象有两个交点,
即方程f(x)=﹣x+a有且只有两个不相等的实数根,
即有a<1,
故选:C.
【点评】本题考查学生综合运用函数和方程的能力,以及让学生掌握数形结合的数学思想.
2. 已知,则条件“”是条件“”的( )条件.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
参考答案:
B
3. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是
A.中位数 B.平均数
C.方差 D.极差
参考答案:
A
由于共9个评委,将评委所给分数从小到大排列,中位数是第5个,假设为,去掉一头一尾的最低和最高分后,中位数还是,所以不变的是数字特征是中位数。其它的数字特征都会改变。
4. (文)已知是等差数列的前n项和,且,,则下列结论错误的是 ( )
A.和均为的最大值. B.;
C.公差; D.;
参考答案:
D
由,,可知,且,所以,所以和均为的最大值. 所以A,B,C都正确,选D.
5. 在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱平面AB1C1,且为等边三角形,,则直线AB与平面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
6. 已知函数的图象的一个对称中心是点,则函数 =的图象的一条对称轴是直线( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
试题分析:由已知,所以,
,令得时,,故选.
考点:1.三角函数的图象性质;2.和差倍半的三角函数.
7. 执行如图所示的程序框图,则输出的( )
A. B. C. D.1
参考答案:
C
8. 已知函数(,),其图像与直线相邻两个交点的距离为π,若对于任意的恒成立, 则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
9. 如图,已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为,A1、A2分别为其左右顶点,过坐标原点且斜率为k(k≠0)的直线交双曲线C于P1、P2,则A1P1、A1P2、A2P1、A2P2这四条直线的斜率乘积为( )
A.8 B.2 C.6 D.4
参考答案:
D
考点:双曲线的简单性质.
专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:设点,利用斜率公式,结合离心率为,即可得出结论.
解答: 解:设P1(x,y),P2(m,n),则
A1P1、A1P2、A2P1、A2P2这四条直线的斜率乘积为=
=,
∵离心率为,
∴=,
∴=2,
∴=4,
∴A1P1、A1P2、A2P1、A2P2这四条直线的斜率乘积为4,
故选:D.
点评:本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础.
10. 执行如图所示的程序框图,若输出k的值为16,则判断框内可填入的条件是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】程序框图.
【分析】程序运行的S=1××…×,根据输出k的值,确定S的值,从而可得判断框的条件.
【解答】解:由程序框图知:程序运行的S=1××…×,
∵输出的k=16,
∴S=1××…×=,
∴判断框的条件是S<.
故选D.
【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若直线为函数图像的切线,则
参考答案:
4
12. .如图是一个算法的流程图,若输入的值是10,则输出的值是 ▲ .
参考答案:
略
13. 函数在上是减函数,则实数a的取值范围是
参考答案:
a≤-3
略
14. 设函数,则“为奇函数”是“”的 条件.(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)
参考答案:
略
15. 为了解一片防风林的生长情况,随机测量了其中100株树木的底部周长(单位:cm)、根据所得数据画出样品的频率分布直方图(如图),那么在这100株树木中,底部周长大于100cm的株数是__________.
.
参考答案:
【知识点】用样本估计总体I2
【答案解析】7000 由图可知:底部周长小于100cm段的频率为(0.01+0.02)×10=0.3,
则底部周长大于100cm的段的频率为1-0.3=0.7
那么在这片树木中底部周长大于100cm的株树大约10000×0.7=7000人.
故答案为7000.
【思路点拨】在频率分布表中,频数的和等于样本容量,频率的和等于1,每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量.频率分布直方图中,小矩形的面积等于这一组的频率.底部周长小于100cm的矩形的面积求和乘以样本容量即可.
16. 设数列的前项和为,(),则使得()恒成立的的最大值为 .
参考答案:
【测量目标】运算能力/能通过运算,对问题进行推理和探求.
【知识内容】方程与代数/数列和数学归纳法/简单的递推数列.
【试题分析】因为,所以,所以
,,因为恒成立,所以即解得,又,所以,故答案为.
17. 已知函数,若,则实数的取值范围是 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c, 向量q=(,1),p=(, )且.求:
(1)求sin A的值; (2)求三角函数式的取值范围.
参考答案:
(1)∵,∴,根据正弦定理,得,
又,,
,,又;
(2)原式,
,
∵,且 ∴,∴,
∴,∴的值域是
19. (15分)已知数列{an}满足a1=1,Sn=2an+1,其中Sn为{an}的前n项和(n∈N*).
(Ⅰ)求S1,S2及数列{Sn}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn}满足 bn=,且{bn}的前n项和为Tn,求证:当n≥2时,.
参考答案:
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(Ⅰ)根据数列的递推公式得到数列{Sn}为以1为首项,以为公比的等比数列,即可求出通项公式,再代值计算即可,
(Ⅱ)先求出bn,再根据前n项和公式得到|Tn|,利用放缩法即可证明.
【解答】解:(Ⅰ)数列{an}满足Sn=2an+1,则Sn=2an+1=2(Sn+1﹣Sn),即3Sn=2Sn+1,
∴,
即数列{Sn}为以1为首项,以为公比的等比数列,
∴(n∈N*).
∴S1=,S2=;
(Ⅱ)在数列{bn}中,,
Tn为{bn}的前n项和,
则|Tn|=|=.
而当n≥2时, ,
即.
【点评】本题考查数列的通项及不等式的证明,考查运算求解能力,对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.
20. 某生物技术公司研制出一种新流感疫苗,为测试该疫苗的有效性,公司选定2000个流感样本分成三组,测试结果如下表:
A组
B组
C组
疫苗有效
疫苗无效
若在全体样本中随机抽取个,恰好抽到B组疫苗有效的概率是。
(Ⅰ)求的值;
(II)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取个测试结果,问应在C组抽取多少个?
(III)若疫苗有效的概率小于,则认为测试没有通过,已知,求这种新流感疫苗不能通过测试的概率。
参考答案:
.(I)由题意,在全体样本中随机抽取1个,抽到B组疫苗有效的概率是0.33,所以抽到B组疫苗有效的样本数为2000×0.33=660,即x=660。……3分
(II)A组样本共有750个,B组样本共有750个,故C组样本共有500个,由360×,故应在C组抽取90个…………6分
(III)设测试不能通过的事件为M,C组疫苗可能的情况为(y,z)。由,所以样本空间包含的基本事件有:
(465,35),(466,34),(467,33),(468,32),(469,31),(470,30)共6个。
若这种新流感疫苗不能通过测试,则>10%,即z>33,故事件M包含的基本事件有(465,35),(466,34)共2个。所以。所以该流感疫苗不能通过测试的概率为………………12分
略
21. (本题满分13分)已知椭圆:()的焦距为,且过点(,),右焦点为.设,是上的两个动点,线段的中点的横坐标为,线段的中垂线交椭圆于,两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ) 因为焦距为,所以.因为椭圆过点(,),
所以.故,… 2分
所以椭圆的方程为 …………4分
(Ⅱ) 由题意,当直线AB垂直于轴时,直线AB方程为,此时、 ,得.……… 5分
当直线不垂直于轴时,设直线的斜率为(), (), ,
由 得,则,
故. ………………………………………… 6分
此时,直线斜率为, 的直线方程为.
即.
联立 消去 ,整理得.
设 ,
所以,. ……………………………9分
于是
.…… 11分
由于在椭圆的内部,故
令,,则. …………… 12分
又,所以.
综上,的取值范围为. …………………… 13分
22. 已知各项均为正数的数列前n项和为,首项为,且等差数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,设,求数列的前n项和.
参考答案:
解(1)由题意知 ………………1分
当时,
当时,
两式相减得………………3分
整理得: ……………………4分
∴数列是以为首项,2为公比的等比数列.
……………………5分
(2)
∴,……………………6分
①
②
①-②得 ………………9分
.………………………………………………………11分
…………………………………………………………………12分
略