2023年上海市南汇区大团高级中学高二数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,一个正六角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,直到全部露出水面为止,记时刻t薄片露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S'(t)的图象大致为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】利用导数研究函数的单调性;函数的图象.
【分析】总面积一直保持增加,则导数值一直为正,但总面积的增加速度是逐渐增大→突然变大→逐渐减小→逐渐增大→突然变小→逐渐变小,进而得到答案.
【解答】解:总面积一直保持增加,则导数值一直为正,故排除B;
总面积的增加速度是逐渐增大→突然变大→逐渐减小→逐渐增大→突然变小→逐渐变小,
故导函数y=S'(t)的图象应是匀速递增→突然变大→匀速递减→匀速递增→突然变小→匀速递减,
故排除CD,
故选.A
2. 双曲线的焦点坐标是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
3. 定义区间的长度均为,其中。已知实数,则满足的构成的区间的长度之和为( )。
参考答案:
。
原不等式等价于。当或时,原不等式等价于。设,则。设的两个根分别为,则满足的构成的区间为,区间的长度为。
当时,同理可得满足的构成的区间为,区间的长度为。
由韦达定理,,所以满足条件的构成的区间的长度之和为,所以选。
4. 不等式的解集是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D 解析:
5. 函数的极大值为,那么的值是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
6. 已知直线,和平面,有以下四个命题:
① 若,,则;
② 若,,则与异面;
③ 若,,则;
④ 若,,则.
其中真命题的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
参考答案:
C
略
7. 若复数是实数,则的值为( )
A. B.3 C.0 D.
参考答案:
A
8. 共个人,从中选1名组长1名副组长,但不能当副组长,不同的选法总数是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B 解析:不考虑限制条件有,若偏偏要当副组长有,为所求
9. 已知复数z满足为虚数单位,则复数为
A. B. C. D.
参考答案:
B
试题分析:由题意可得
考点:复数运算
10. 如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知一个动圆与圆C: 相内切,且过点A(4,0),则这个动圆圆心的
轨迹方程是- .
参考答案:
12. 将十进制数69转化为二进制数:69(10) .
参考答案:
1000101(2)
【考点】进位制.
【专题】计算题;转化思想;算法和程序框图.
【分析】利用“除k取余法”是将十进制数除以2,然后将商继续除以2,直到商为0,然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案.
【解答】解:69÷2=34…1
34÷2=17…0
17÷2=8…1
8÷2=4…0
4÷2=2…0
2÷2=1…0
1÷2=0…1
故69(10)=1000101 (2)
故答案为:1000101.
【点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化,其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键.
13. 在平面直角坐标系中,若点到直线的距离为,且点在不等式表示的平面区域内,则 .
参考答案:
14. 将一个各个面上涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体,从这些小正方体中任取一个,其中恰有3面涂有颜色的概率是 。
参考答案:
略
15. 如图,在空间四边形中,已知是线段的中点,是的中点,若分别记为,则用表示的结果为 .
参考答案:
16. (5分)若曲线y=1+,x∈[﹣2,2]与直线y=k(x﹣2)+4有两个不同的公共点,则实数k的取值范围是 .
参考答案:
(,]
因为y=1+,所以x2+(y﹣1)2=4,此时表示为圆心M(0,1),半径r=2的圆.
因为x∈[﹣2,2],y=1+≥1,所以表示为圆的上部分.
直线y=k(x﹣2)+4表示过定点P(2,4)的直线,
当直线与圆相切时,有圆心到直线kx﹣y+4﹣2k=0的距离d=,解得.
当直线经过点B(﹣2,1)时,直线PB的斜率为.
所以要使直线与曲线有两个不同的公共点,则必有<k≤.
即实数k的取值范围是(,].
故答案为:(,].
17. 命题 的否定为__________
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)设斜率为2的直线过抛物线的焦点,且与轴交于点,若(为坐标原点)的面积为4,求抛物线的方程。
参考答案:
19. 设命题p:函数y=cx为减函数;命题q:已知c>0,当x∈时,函数f(x)=x+恒成立,如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,求c的取值范围.
参考答案:
【考点】复合命题的真假.
【专题】计算题;转化思想;分析法;简易逻辑.
【分析】先求出命题p,q成立的等价条件,利用p∨q为真命题,p∧q为假命题,确定实数c的取值范围
【解答】解∵指数函数y=cx数为减函数,
∴0<c<1,
即p真时,0<c<1.
函数f(x)=x+>对x∈恒成立,由对勾函数的性质可知f(x)=x+在x∈上单调递增,
所以f(x)min=f(1)=,
<,得c>,
即q真时,c>,
∵p∨q为真,p∧q为假,
∴p、q一真一假.
①p真q假时,0<c≤;②p假q真时,c≥1.
故c的取值范围为0<c≤或c≥1.
【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系,利用条件先求出命题p,q的等价条件是解决本题的关键.
20. (本小题12分)已知,,且
. 求的值.
参考答案:
,,
21. 命题p:A={x||x﹣a|≤4},命题q:B={x|(x﹣2)(x﹣3)≤0}
(1)若A∩B=?,求实数a的取值范围.
(2)若q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;交集及其运算.
【分析】(1)命题p:A=[a﹣4,a+4],命题q:B=[2,3].根据A∩B=?,可得a+4<2,或a﹣4>3,解得a范围.
(2)q是p的充分不必要条件,则a﹣4≤2,3≤a+4,解得a范围.
【解答】解:(1)命题p:A={x||x﹣a|≤4}=[a﹣4,a+4],命题q:B={x|(x﹣2)(x﹣3)≤0}=[2,3].
∵A∩B=?,∴a+4<2,或a﹣4>3,
解得a<﹣2,或a>7.
∴实数a的取值范围是(﹣∞,﹣2)∪(7,+∞).
(2)q是p的充分不必要条件,
则a﹣4≤2,3≤a+4,解得1≤a≤6,
∴实数a的取值范围是[1,6].
22. (本题满分14分)www.k@s@5@ 高#考#资#源#网
已知函数的图象经过点,曲线在点处的切线恰好与直线垂直.
(1)求实数的值.
(2)若函数在区间上单调递增,求的取值范围.
参考答案:
解:(1)的图象经过点 ………2分
,则 …………4分
由条件即 …………6分
解得 …………8分
(2),
令得或 ………10分
函数在区间上单调递增,则
或即或 …………14分
略