2022-2023学年湖南省张家界市慈利县第三中学高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 给出下列四个命题:
①命题“若x<﹣1,则x2﹣2x﹣3>0”的否命题为“若x<﹣1,则x2﹣2x﹣3≤0”;
②命题p:?x∈R,sinx≤1.则¬p:?x0∈R,使sinx0>1;
③“φ=+kπ(k∈Z)”是“函数y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件;
④命题p:“?x0∈R,使sinx0+cosx0=”;命题q:“设,是任意两个向量,则“?=||||”是“∥”的充分不必要条件”,那么(¬p)∧q为真命题.
其中正确的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
参考答案:
B
考点:命题的真假判断与应用.
专题:推理和证明.
分析:根据否命题的定义,可判断①;根据全称命题的否定方法,可判断②;根据三角函数的图象和性质及充要条件的定义,可判断③;根据三角函数的图象和性质及向量数量积的定义,可判断④.
解答: 解:①命题“若x<﹣1,则x2﹣2x﹣3>0”的否命题为“若x≥﹣1,则x2﹣2x﹣3≤0”,故错误;
②命题p:?x∈R,sinx≤1.则¬p:?x0∈R,使sinx0>1,故正确;
③若函数y=sin(2x+φ)为偶函数,则sin(﹣2x+φ)=sin[π﹣(﹣2x+φ)]=sin(2x+π﹣φ)=sin(2x+φ)恒成立,
则2φ﹣π=2kπ(k∈Z),即φ=+kπ(k∈Z),
反之当φ=+kπ(k∈Z)时,y=sin(2x+φ)=cos2x或y=sin(2x+φ)=﹣cos2x是偶函数,
故“φ=+kπ(k∈Z)”是“函数y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件,故正确;
④∵sinx+cosx=sin(x+)∈[﹣,],?[﹣,],
故命题p:“?x0∈R,使sinx0+cosx0=”为假命题;
若?=||||,则向量,同向,
故命题q:“设,是任意两个向量,则“?=||||”是“∥”的充分不必要条件”为真命题,
那么(¬p)∧q为真命题.
综上正确的个数有3个,
故选:B
点评:本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,本题综合性强,难度中档.
2. 右侧的程序运行后的输出结果为( )
A.9 B.11 C.13 D.15
参考答案:
C
3. 若直线过点(1,2),(4,2+),则此直线的倾斜角是( )
A 30° B 45° C 60° D 90°
参考答案:
A
4. 已知m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,
下列命题中正确的是( )
A.若 B.若
C.若 D.若
参考答案:
D
5. 的展开式中,的系数是( )
A. B. C.297 D.207
参考答案:
D
略
6. 函数,已知在时取得极值,则=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
参考答案:
D
略
7. 等差数列的公差为1,若以上述数列为样本,则此样本的
方差为( )
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
参考答案:
B
8. 已知椭圆: +=1,若椭圆的焦距为2,则k为( )
A.1或3 B.1 C.3 D.6
参考答案:
A
【考点】椭圆的标准方程.
【分析】利用椭圆的简单性质直接求解.
【解答】解:①椭圆+=1,中a2=2,b2=k,
则c=,
∴2c=2=2,
解得k=1.
②椭圆+=1,中a2=k,b2=2,
则c=,
∴2c=2=2,
解得k=3.
综上所述,k的值是1或3.
故选:A.
9. 用反证法证明命题“平面四边形四个内角中至少有一个不大于90°时”,应假设( )
A. 四个内角都大于90° B. 四个内角都不大于90°
C. 四个内角至多有一个大于90° D. 四个内角至多有两个大于90°
参考答案:
A
【分析】
对于“至少一个不大于”的否定为“全都大于”,由此得到结果.
【详解】“平面四边形四个内角中至少有一个不大于90°”的否定形式为:“平面四边形四个内角中都大于90°”,即反证法时应假设:四个内角都大于90°
本题正确选项:A
【点睛】本题考查反证法的假设,关键是明确至少问题的否定的形式,属于基础题.
10. 在△ABC中,内角A、b、c的对边长分别为a、b、c.已知a2﹣c2=2b,且sinB=4cosAsinC,则b=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
D
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】由sinB=4cosAsinC,利用正弦定理和余弦定理可化为b2=2(b2+c2﹣a2),把a2﹣c2=2b代入即可得出.
【解答】解:由sinB=4cosAsinC,
利用正弦定理和余弦定理可得:b=×c,
化为b2=2(b2+c2﹣a2),
∵a2﹣c2=2b,
∴b2=2(b2﹣2b),化为b2﹣4b=0,
∵b>0,解得b=4.
故选:D.
【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 点是抛物线上一动点,则点到点的距离与到直线的距离和的最小值是 *** .
参考答案:
12. 在平面直角坐标系中,三点,,,则三角形OAB的外接圆方程是 .
参考答案:
13. 在△ABC中,若___________.s5u
参考答案:
略
14. 已知,则等于
参考答案:
-2
略
15. 在等比数列{an}中,若a1+a2+a3=8,a4+a5+a6=-4,则= ;
参考答案:
2
16. 下列程序执行后输出的结果是S=________.
i=1
S=0
WHILE i<=50
S=S+i
i=i+1
WEND
PRINT S
END
参考答案:
1275
17. 已知直线y=kx与双曲线4x2﹣y2=16有两个不同公共点,则k的取值范围为 .
参考答案:
(﹣2,2)
【考点】直线与圆锥曲线的关系.
【专题】计算题;函数思想;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】直线y=kx与双曲线x2﹣y2=4始终有两个不同公共点,求出双曲线的渐近线,即可推出K的范围.
【解答】解:由题意直线y=kx恒过原点,双曲线4x2﹣y2=16的渐近线为:y=±2x,﹣2<k<2
故答案为:(﹣2,2).
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系,解题的关键是将两曲线有交点的问题转化为方程有根的问题,这是研究两曲线有交点的问题时常用的转化方向.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图所示,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.
(Ⅰ)求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值;
(Ⅱ)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE?证明你的结论.
参考答案:
【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角.
【分析】(Ⅰ)先取AA1的中点M,连接EM,BM,根据中位线定理可知EM∥AD,而AD⊥平面ABB1A1,则EM⊥面ABB1A1,从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影,则∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角,设正方体的棱长为2,则EM=AD=2,BE=3,于是在Rt△BEM中,求出此角的正弦值即可.
(Ⅱ)在棱C1D1上存在点F,使B1F平面A1BE,分别取C1D1和CD的中点F,G,连接EG,BG,CD1,FG,因A1D1∥B1C1∥BC,且A1D1=BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,根据中位线定理可知EG∥A1B,从而说明A1,B,G,E共面,则BG?面A1BE,根据FG∥C1C∥B1G,且FG=C1C=B1B,从而得到四边形B1BGF为平行四边形,则B1F∥BG,而B1F?平面A1BE,BG?平面A1BE,根据线面平行的判定定理可知B1F∥平面A1BE.
【解答】解:(I)如图(a),取AA1的中点M,连接EM,BM,因为E是DD1的中点,四边形ADD1A1为正方形,所以EM∥AD.
又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中.AD⊥平面ABB1A1,所以EM⊥面ABB1A1,从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影,
∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角.
设正方体的棱长为2,则EM=AD=2,BE=,
于是在Rt△BEM中,
即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.
(Ⅱ)在棱C1D1上存在点F,使B1F平面A1BE,
事实上,如图(b)所示,分别取C1D1和CD的中点F,G,连接EG,BG,CD1,FG,
因A1D1∥B1C1∥BC,且A1D1=BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,
因此D1C∥A1B,又E,G分别为D1D,CD的中点,所以EG∥D1C,从而EG∥A1B,这说明A1,B,G,E共面,所以BG?平面A1BE
因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形,F,G分别为C1D1和CD的中点,所以FG∥C1C∥B1B,且FG=C1C=B1B,因此四边形B1BGF为平行四边形,所以B1F∥BG,而B1F?平面A1BE,BG?平面A1BE,故B1F∥平面A1BE.
19. 已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2(2,0)与x轴垂直的直线交椭圆于点M,且|MF2|=3.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知点P(0,1),问是否存在直线1与椭圆交于不同的两点A,B,且AB的垂直平分线恰好过P点?若存在,求出直线l斜率的取值范围;若不存在,请说明理由.
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】综合题;方程思想;转化思想;数形结合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(1)由题意可得:,解出即可得出.
(2)假设存在直线1与椭圆交于不同的两点A,B,且AB的垂直平分线恰好过P点.则直线l的斜率存在,设l方程为:y=kx+t,A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点N(x0,y0).与椭圆方程联立化为(3+4k2)x2+8ktx+4t2﹣48=0,由△>0,化为:12+16k2>t2.利用根与系数的关系、中点坐标公式可得N.利用PN⊥l,及其△>0,解出即可得出.
【解答】解:(1)由题意可得:,解得c=2,a=4,b2=12.
∴椭圆的标准方程为.
(2)假设存在直线1与椭圆交于不同的两点A,B,且AB的垂直平分线恰好过P点.
则直线l的斜率存在,设l方程为:y=kx+t,A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点N(x0,y0).
联立,化为(3+4k2)x2+8ktx+4t2﹣48=0,
△=64k2t2﹣4(3+4k2)(4t2﹣48)>0,
化为:12+16k2>t2.
∴x1+x2=,x1x2=.
∴x0==,y0=kx0+t=.
∴kPN==,
∵PN⊥l,
∴?k=﹣1,
化为:t=﹣3﹣4k2.
代入△>0,
可得12+16k2>(﹣3﹣4k2)2.
化为16k4+8k2﹣3<0,
解得:,即.
因此存在直线1与椭圆交于不同的两点A,B,且AB的垂直平分线恰好过P点.直线l的斜率范围是.
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭