2022-2023学年湖南省怀化市江东中学高三数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,那么的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
2. 函数在上单调递增,则的取值不可能为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
∵
∴令,即
∵在上单调递增
∴且
∴
故选D.
3. 如果一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为
A、 B、 C、96 D、80
参考答案:
A
略
4. 已知抛物线与双曲线有共同的焦点F,O为坐标原点,P在x轴上方且在双曲线上,则的最小值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】双曲线的简单性质.
【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】抛物线,可得x2=8y,焦点F为(0,2),则双曲线的c=2,可得双曲线方程,利用向量的数量积公式,结合配方法,即可求出的最小值.
【解答】解:抛物线,可得x2=8y,焦点F为(0,2),则双曲线的c=2,
则a2=3,即双曲线方程为,
设P(m,n)(n≥),则n2﹣3m2=3,∴m2=n2﹣1,
则=(m,n)?(m,n﹣2)=m2+n2﹣2n=n2﹣1+n2﹣2n=(n﹣)2﹣,
因为n≥,故当n=时取得最小值,最小值为3﹣2,
故选:A.
【点评】本题考查抛物线、双曲线的方程与性质,考查向量的数量积公式,考查学生的计算能力,属于中档题.
5. 已知分别是椭圆的左,右焦点,现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点,若过的直线是圆的切线,则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
6. 设集合,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
7. 已知=(1,2),=(0,1),=(k,﹣2),若(+2)⊥,则k=( )
A.2 B.﹣2 C.8 D.﹣8
参考答案:
C
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.
【分析】由向量的坐标运算易得的坐标,进而由可得它们的数量积为0,可得关于k的方程,解之可得答案.
【解答】解:∵=(1,2),=(0,1),
∴=(1,4),
又因为,
所以=k﹣8=0,
解得k=8,
故选C
8. 连续两次抛掷一枚骰子,记录向上的点数,则向上的点数之差的绝对值为3的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】CB:古典概型及其概率计算公式.
【分析】先求出基本事件总数n=6×6=36,再求出向上的点数之差的绝对值为3包含的基本事件个数,由此能求出向上的点数之差的绝对值为3的概率.
【解答】解:连续两次抛掷一枚骰子,记录向上的点数,
基本事件总数n=6×6=36,
向上的点数之差的绝对值为3包含的基本事件有:
(1,4),(4,1),(2,5),(5,2),(3,6),(6,3),共6个,
∴向上的点数之差的绝对值为3的概率p=.
故选:A.
【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.
9. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为
A. 28π B.32π C. π D. π
参考答案:
C
10. 已知公差不为0的等差数列{an}满足a1,a3,a4成等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,则的值为( )
A.2 B.3 C.﹣2 D.﹣3
参考答案:
A
【考点】8G:等比数列的性质;8F:等差数列的性质.
【分析】由题意可得:a3=a1+2d,a4=a1+3d.结合a1、a3、a4成等比数列,得到a1=﹣4d,进而根据等差数列的通项公式化简所求的式子即可得出答案.
【解答】解:设等差数列的公差为d,首项为a1,
所以a3=a1+2d,a4=a1+3d.
因为a1、a3、a4成等比数列,
所以(a1+2d)2=a1(a1+3d),解得:a1=﹣4d.
所以==2,
故选:A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (坐标系与参数方程选做题)曲线(为参数且)与曲线(为参数)的交点坐标是 . Ks5u
参考答案:
(1,2)
略
12. 已知a∈[0,6],使得函数f(x)=lg(ax2﹣ax+1)的定义域为R的概率为 .
参考答案:
【考点】几何概型.
【分析】根据对数函数以及二次函数的性质求出使得函数f(x)的定义域是R的a的范围,根据区间长度的比值求出满足条件的概率的值即可.
【解答】解:若f(x)=lg(ax2﹣ax+1)的定义域为R,
则函数g(x)=ax2﹣ax+1>0恒成立,
a=0时,显然成立,
a≠0时,只需,
解得:0<a<4,
综上,a∈[0,4),
故满足条件的概率p==,
故答案为:.
【点评】本题考查了对数函数以及二次函数的性质,考查几何概型问题,是一道中档题.
13. 等差数列中,其前项和,若,则的值为___________.
参考答案:
3
略
14. 实数,满足,若的最大值为,则实数的值是 .
参考答案:
15. 在菱形中,,为中点,则 .
参考答案:
16. 已知点,椭圆与直线交于点、,则的周长为__________
参考答案:
8
17. .在钝角△ABC中,a,b,c分别为角A、B、C的对边,b=1,c=,∠B=30°,则△ABC的面积等于___________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知平面四边形MNPQ中,MN=,MP=1,MP⊥MN,PQ⊥QM.
(Ⅰ)若PQ=,求NQ的值;
(Ⅱ)若∠MQN=30°,求sin∠QMP的值.
参考答案:
(Ⅰ)(Ⅱ).
【分析】
(Ⅰ)由题意可得∠QMN=150,根据余弦定即可求出,
(Ⅱ)∠QMP=θ,由题意可得QM,∠MNQ,在△MNQ中,由正弦定理结合三角恒等变换整理可得tanθ,再根据同角三角函数的基本关系,即可求出
【详解】解:(Ⅰ)如图:∵MN=,MP=1,MP⊥MN,PQ⊥QM,
∴PQ==,
∴sin∠QMP==,
∴∠QMP=60°,
∴QM=PM=,
∴∠QMN=150°,
由余弦定理可得NQ2=QM2+MN2﹣2MN?QM?cos∠QMN=+3﹣2×××(﹣)=,
∴NQ=,
(2):∵MN=,MP=1,MP⊥MN,PQ⊥QM
设∠QMP=θ,由题意可得QM=cosθ,∠MNQ=60°﹣θ,
在△MNQ中,由正弦定理可得=,
即=2,
整理可得tanθ=,
∵sin2θ+cos2θ=1,
∴sinθ=,
故sin∠QMP=.
【点睛】
本题考查了三角函数的化简和求值,以及正弦定理余弦定理的应用.
19.
已知直线与椭圆交于、两点,以为直径的圆过椭圆的右顶点.
(Ⅰ)设中点,; (Ⅱ)求椭圆方程.
参考答案:
解析:(Ⅰ)设直线与椭圆交于,,右顶点.
将代入中,整理得.
于是. ∵为中点,
∴,故.
(Ⅱ)依题意:,则.又,
∴,整理得,.
由⑴⑵代入得,, ∴.
∵,∴,故a=,故所求椭圆方程为.
20. 已知椭圆的离心率是.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点,过F2作斜率为k的直线l,交椭圆C于A、B两点,直线F1A,F1B分别交y轴于不同的两点M、N.如果为锐角,求k的取值范围.
参考答案:
(1)(2)
【分析】
(1)由题意,列出方程组,求得,即可得到椭圆的方程;
(2)设直线的方程为,联立方程组,根据根和系数的关系,结合向量的数量
【详解】(1)由题意,椭圆的离心率是,
可得解得,所以椭圆的方程为.
(2)由已知直线的斜率不为0,
设直线的方程为,直线与椭圆的交点为,.
由得.
由已知,判别式恒成立,且,.①
直线的方程为,令,则.
同理可得.
所以
将①代入并化简,得
.
依题意,角为锐角,所以,即.
解得或.
综上,直线的斜率的取值范围是.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目,通常联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程,应用一元二次方程根与系数的关系进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错解,能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
21. 空气污染,又称为大气污染,是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中,呈现出足够的浓度,达到足够的时间,并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象.全世界也越来越关注环境保护问题.当空气污染指数(单位:μg/m3)为0~50时,空气质量级别为一级,空气质量状况属于优;当空气污染指数为50~100时,空气质量级别为二级,空气质量状况属于良;当空气污染指数为100~150时,空气质量级别是为三级,空气质量状况属于轻度污染;当空气污染指数为150~200时,空气质量级别为四级,空气质量状况属于中度污染;当空气污染指数为200~300时,空气质量级别为五级,空气质量状况属于重度污染;当空气污染指数为300以上时,空气质量级别为六级,空气质量状况属于严重污染.2015年8月某日某省x个监测点数据统计如下:
空气污染指数
(单位:μg/m3)
[0,50]
(50,100]
(100,150]
(150,200]
监测点个数
15
40
y
10
(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x,y的值,并完成频率分布直方图;
(2)在空气污染指数分别为50~100和150~200的监测点中,用分层抽样的方法抽取5个监测点,从中任意选取2个监测点,事件A“两个都为良”发生的概率是多少?
参考答案:
【考点】频率分布直方图;列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【分析】(1)根据频率分布直方图,利用频率=,求出x、y的值,计算直方图中各小进行对应的高,补全频率分布直方图;
(2)利用列举法求出基本事件数,计算对应的概率即可.
【解答】解:(1)∵,∴x=100.
∵15+40+y+10=100,∴y=35.,,,
频率分布直方图如图所示:
(2)在空气污染指数为50~100和150~200的监测点中分别抽取4个和1个监测点,设空气污染指数为50~100的4个监测点分别记为a,b,c,d;空气污染指数为150~200的1个监测点记为E,从中任取2个的基本事件分别为(a,b),(a,c),(a,d),(a,E),(b,c),(b,d),(b,E),(c,d),(c,E),(d,E)共10种,其中事件A“两个都为良”包含的基本事件为(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)共6种,所以事件A“两个都为良”发生的概率是.
22. (12分)如图,已知正三棱柱各棱长都为,为棱上的动点。
(Ⅰ)试确定的值,使得;
(Ⅱ)若,求二面角的大小;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求点到面的距离。
参考答案:
解析:【法一】(Ⅰ)当时,作在上的射影. 连结.
则平面,∴,∴是的中点,又,∴也是的中点,
即. 反之