2023年天津付村中学高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 从中随机选取一个数为,从中随机选取一个数为,则的概率是
A. B C. D.
参考答案:
D
2. 已知点,点在圆:上运动,则直线斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
3. 已知记,要得到函数的图像,只需要将函数的图像 ( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
参考答案:
D
略
4. 设椭圆(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
【考点】椭圆的标准方程.
【分析】先求出抛物线的焦点,确定椭圆的焦点在x轴,然后对选项进行验证即可得到答案.
【解答】解:∵抛物线的焦点为(2,0),椭圆焦点在x轴上,排除A、C,
由排除D,
故选B
【点评】本题主要考查抛物线焦点的求法和椭圆的基本性质.圆锥曲线是高考的必考内容,其基本性质一定要熟练掌握.
5. 执行如图所示的程序框图,则输出的结果是( )
A.16 B.17 C.14 D.15
参考答案:
A
【考点】程序框图.
【分析】通过分析循环,推出循环规律,利用循环的次数,求出输出结果.
【解答】解:第一次循环:S=log2,n=2;
第二次循环:S=log2+log2,n=3;
第三次循环:S=log2+log2+log2,n=4;
…
第n次循环:S=log2+log2+log2+…+log2=log2,n=n+1;
令log2<﹣3,解得n>15.
∴输出的结果是n+1=16.
故选:A.
6. 设a,b,c都是正数,则三个数,,( )
A.都大于2 B.至少有一个大于2
C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2
参考答案:
C
由题意 都是正数,
则,
当且仅当时,等号是成立的,
所以中至少有一个不小于,故选C.
7. 在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E、F、H、K分别为AC1、CB1、A1B、B1C1的中点,G为△ABC的重心,有一动点P在三棱柱的面上移动,使得该棱柱恰有5条棱与平面PEF平行,则以下各点中,在点P的轨迹上的点是
A.H B.K C.G D.B1
参考答案:
B
8. 6人站成一排,甲、乙、丙三人必须站在一起的排列种数为 ( )
A. 18 B. 72 C. 36 D. 144
参考答案:
D
【分析】
甲、乙、丙三人相邻,用捆绑法分析,把三个元素看做一个元素同其他两个元素进行排列,注意这三个元素之间还有一个排列问题,由分步计数原理计算可得答案.
【详解】根据题意,分2步进行分析:
①、甲、乙、丙三人必须站在一起,将三人看做一个元素,考虑其顺序有A33=6种情况,
②、将这个元素与剩余的三个人进行全排列,有A44=24种情况,
则不同的排列种数为6×24=144种;
故选:D.
【点睛】本题考查排列组合及简单的计数问题,考查相邻元素捆绑法:就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时,可整体考虑将相邻元素视为一个大元素.
9. 执行如图所示的程序框图,输出的s值为( )
A.220 B.55 C.100 D.132
参考答案:
A
10. 在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一步或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,则在该实验中程序顺序的编排方法共有( )
A. 144种 B. 96种 C. 48种 D. 34种
参考答案:
B
试题分析:首先将B,C捆绑在一起作为整体,共有两种,又∵A只能出现在第一步或者最后一步,故总的编排方法为种,故选B.
考点:1.计数原理;2.排列组合.
【思路点睛】对于某些元素要求相邻排列的问题,先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素(同时对相邻元素内部进行自排),再与其它元素进行排列;对于某几个元素不相邻的排列问题,可先将其他元素排好,再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可(注意有时候两端的空隙的插法是不符合题意的)
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如果关于x的不等式的解集是非空集合,则m= .
参考答案:
36
12. 直线x﹣2y﹣3=0与圆(x﹣2)2+(y+3)2=9交于E、F两点,则弦长EF= .
参考答案:
4
【考点】点到直线的距离公式;直线与圆的位置关系.
【分析】由圆的方程找出圆心与半径r,利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d,利用垂径定理及勾股定理即可求出弦EF的长.
【解答】解:由圆(x﹣2)2+(y+3)2=9,得到圆心坐标为(2,﹣3),半径r=3,
∵圆心(2,﹣3)到直线x﹣2y﹣3=0的距离d==,
∴弦EF=2=4.
故答案为:4
13. 两个平面可以将空间分成_____________个部分.
参考答案:
3或4
14. 已知直线交抛物线于A、B两点,若该抛物线上存在点C,使得为直角,则的取值范围为___________.
参考答案:
15. 若,不等式恒成立,则实数的取值范围是_______
参考答案:
解析:恒成立
∴设 ∴
∴ ∴
∴
16. 如图四面体O﹣ABC中, ==, =,D为AB的中点,M为CD的中点,则= (,,用表示)
参考答案:
+﹣
【考点】空间向量的数乘运算.
【专题】数形结合;转化思想;空间向量及应用.
【分析】由于=, =,,代入化简即可得出.
【解答】解: =, =,,
∴=﹣
=﹣
=+﹣.
故答案为: +﹣.
【点评】本题考查了向量的三角形法则与平行四边形法则,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
17. 命题P:,的否定是 .
参考答案:
?x∈R,x3-x2+1≤0
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知离心率为的椭圆E:的右焦点为,点F2到直线的距离为1.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设经过左焦点F1的直线与椭圆E相交于不同的两点M,N,线段MN的中垂线为.若直线与直线相交于点P,与直线相交于点Q,求的最小值.
参考答案:
(1)(2)最小值2
【分析】
(1)由题意得,又由,得,联立方程组解得, 即可求解椭圆的方程;
(2)设直线,利用直线与圆锥曲线的弦长公式,求得,
进而化简得,得到,利用基本不等式,即可求解实数的值,得出答案。
【详解】(1)由题意得:,即,
又,得,又因为,所以,即,
联立方程组,解得,所以椭圆的方程为.
(2)由题意知直线的斜率不为,设直线,
设,
联立,消去得,
此时,且,,
由弦长公式,得,
整理得,
又,∴,
∴,
∴,
当且仅当,即时等号成立,
∴当,即直线的斜率为时,取得最小值.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的应用,解答此类题目,通常联立直线方程与椭圆方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错解,能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。
19. 已知函数,且,.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)求函数的极值.
参考答案:
(Ⅰ)由……………1分
又,解得 ………………………3分
所以
…………………………… 4分
令 …………………………5分
…………………………6分
………………………………………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:的变化情况如下表:
x
1
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值0
单调递增
………………………………10分
, 有极大值,且极大值为
,有极小值,且极小值为………………………………12分
20. 已知函数,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,,求.
参考答案:
18解:(Ⅰ).
……………4分
(Ⅱ)
……………6分
因为,,所以,…………8分
所以, …10分
所以.……………12分
略
21. 已知椭圆的长轴长为4,过点的直线交椭圆于两点,为中点,连接并延长交椭圆于点,记直线和的斜率为分别为和,且.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)当为直角时,求的面积.
参考答案:
解:(Ⅰ)由已知,设直线,联立椭圆方程消去可得:
,
则,即.
设,,,由韦达定理可得:,
点为中点,则,,故,
由得,所以,
故椭圆方程为:.
(Ⅱ)直线,联立椭圆方程消去可得:
,
则,点,
∴.
∵为直角,∴,可解得.
故.
22. (本题满分12分)
过点C(0,1)的椭圆+=1(a>b>0)的离心率为.椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(-a,0).过点C的直线l与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.
(1)当直线l过椭圆右焦点时,求线段CD的长;
(2)当点P异于点B时,求证:·为定值.
参考答案:
解:(1)由已知得b=1,e==,解得a=2,所以椭圆方程为+y2=1
椭圆的右焦点为(,0),此时直线l的方程为y=-x+1,代入椭圆方程化简得7x2-8x=0.
解得x1=0,x2=,代入直线l的方程得y1=1,y2=-,
所以D点坐标为.
故|CD|= =.
(2)证明:当直线l与x轴垂直时与题意不符.
设直线l的方程为y=kx+1(k≠0且k≠).
代入椭圆方程化简得(4k2+1)x2+8kx=0.
解得x1=0,x2=,代入直线l的方程得y1=1,
y2=,[来源:学,科,网]
所以D点坐标为.
又直线AC的方程为+y=1,直线BD的方程为y=(x+2),
联立解得
因此Q点坐标为(-4k,2k+1).
又P点坐标为.
所以·=·(-4k,2k+1)=4.
故·为定值.