2022-2023学年福建省泉州市满堂红中学高二数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 一个盒子里有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每次取后不放回,则若已知第一只是好的,则第二只也是好的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 已知抛物线x2=4y上一点M到焦点的距离为3,则点M到x轴的距离为( )
A. B.1 C.2 D.4
参考答案:
C
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程,进而根据抛物线的定义可知点p到焦点的距离与到准线的距离相等,进而推断出yM+1=2,求得yM,可得点M到x轴的距离.
【解答】解:根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1),准线方程为y=﹣1,
根据抛物线定义,
∴yM+1=3,
解得yM=2,
∴点M到x轴的距离为2,
故选:C,
3. 若圆的标准方程为 (x-1)2+(y+5)2=3,则此圆的圆心和半径分别为
A.(-1,5), B.(1,-5), C.(-1,5), 3 D.(1,-5), 3
参考答案:
B
略
4. 设集合A={x||x﹣a|<1,x∈R},B={x||x﹣b|>2,x∈R}.若A?B,则实数a,b必满足( )
A.|a+b|≤3 B.|a+b|≥3 C.|a﹣b|≤3 D.|a﹣b|≥3
参考答案:
D
【考点】18:集合的包含关系判断及应用;R5:绝对值不等式的解法.
【分析】先利用绝对值不等式的解法化简集合A、B,再结合A?B,观察集合区间的端点之间的关系得到不等式,由不等式即可得到结论.
【解答】解:∵A={x|a﹣1<x<a+1},B={x|x<b﹣2或x>b+2},
因为A?B,所以b﹣2≥a+1或b+2≤a﹣1,
即a﹣b≤﹣3或a﹣b≥3,
即|a﹣b|≥3.
故选D.
5. 设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点,则双曲线的离心率 为( ).
A. B. 5 C. D.
参考答案:
D
略
6. 当-1<m<1时,复数(1-i)+ m (1+i)在复平面内对应的点位于:
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
参考答案:
D
7. 函数f(x)=ax3﹣x2+5(a>0)在(0,2)上不单调,则a的取值范围是( )
A.0<a<1 B.0<a< C.<a<1 D.a>1
参考答案:
D
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】函数f(x)=ax3﹣x2+5(a>0)在(0,2)上不单调,即函数f(x)在(0,2)内有极值点,结合图象可得到a的限制条件,从而可求出a的范围.
【解答】解:f′(x)=ax2﹣2x,函数f(x)=ax3﹣x2+5(a>0)在(0,2)上不单调,即函数f(x)在(0,2)内有极值点,
因为a>0,且f′(0)=0,所以有f′(2)>0,即4a﹣4>0,解得a>1.
故选D.
8. 与原点及点的距离都是1的直线共有
A.4条 B. 3条 C. 2 条 D. 1条
参考答案:
A
9. 一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是( )
A.30 B.40 C.50 D.60
参考答案:
A
10. 直线如图,在正方体中,分别为,,,的中点,则异面直线与所成的角等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下列命题:
①对立事件一定是互斥事件;
②为两个事件,则;
③若事件两两互斥,则;
④事件满足,则是对立事件。
其中错误的是
参考答案:
②③④
①正确;②不互斥时不成立;③两两互斥,并不代表为必然事件④可以同时发生
12. 已知m,n是不重合的两条直线,α,β是不重合的两个平面.下列命题:
①若α⊥β,m⊥α,则m∥β; ②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;
③若m∥α,m⊥n,则n⊥α; ④若m∥α,m?β,则α∥β.
其中所有真命题的序号是 .
参考答案:
②
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】由面面垂直和线面垂直的性质即可判断①;由垂直于同一直线的两平面平行,可判断②;由线面平行的性质和线面垂直的判定,即可判断③;由线面平行的性质和面面平行的判定,即可判断④.
【解答】解:①若α⊥β,m⊥α,则m∥β或m?β,故①错;
②若m⊥α,m⊥β,由面面平行的判定定理得α∥β,故②正确;
③若m∥α,m⊥n,则n∥α或n?α或n⊥α,故③错;
④若m∥α,m?β,则α∥β或α,β相交,故④错.
故答案为:②.
13. 设数列满足,且对任意的,满足,,则
参考答案:
14. 已知矩阵,则矩阵A的逆矩阵为_________.
参考答案:
分析:根据逆矩阵公式得结果.
详解:因为的逆矩阵为,
所以矩阵A的逆矩阵为
点睛:求逆矩阵方法:(1)公式法:的逆矩阵为,(2)定义法:.
15. 从某班抽取5名学生测量身高(单位:cm),得到的数据为160,162,159,160,159,则该组数据的方差s2=______ .
参考答案:
16. 在中,角所对应的边分别为,且,则角 .
参考答案:
17. m,n是空间两条不同直线,α,β是两个不同平面,下面有四个命题:
①m⊥α,n∥β,α∥β?m⊥n
②m⊥n,α∥β,m⊥α?n∥β
③m⊥n,α∥β,m∥α?n⊥β
④m⊥α,m∥n,α∥β?n⊥β
其中真命题的编号是 ;(写出所有真命题的编号)
参考答案:
①、④
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系.
【解答】解:①为真命题,因n∥β,α∥β,所以在α内有n与平行的直线,又m⊥α,则m⊥n;
②为假命题,α∥β,m⊥α?m⊥β,因为m⊥n,则可能n?β;
③为假命题,因m⊥n,α∥β,m∥α,则可能n?β且m?β;
④为真命题,m⊥α,α∥β,得m⊥β,因m∥n,则n⊥β;
故答案是:①、④.
【点评】本题考查了线面、面面垂直和平行的定理,来确定线线、线面垂直和平行的关系;是基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)在甲、乙两个盒子中分别装有编号为1,2,3,4的四个形状相同的小球,现从甲、乙两个盒子中各取出1个小球,每个小球被取出的可能性相等.
(Ⅰ)求取出的两个球上的编号都为奇数的概率;
(Ⅱ)求取出的两个球上的编号之和为3的倍数的概率;
(III)求取出的两个球上的编号之和大于6的概率.
参考答案:
由题意可知,从甲、乙两个盒子中各取1个小球的基本事件总数为16. 3分
(Ⅰ)记“取出的两个球上的编号都为奇数”为事件A,则事件A的基本事件有:
(1,1),(1,3),(3,1),(3,3)共4个. . 6分
(Ⅱ) 记“取出的两个球上的编号之和为3的倍数”为事件B,则事件B包含:
(1,2),(2,1),(2,4),(3,3)(4,2)共5个基本事件. 9分
(III)记“取出的两个球上的编号之和大于6”为事件C,则事件C包含的基本事件为:
(3,4),(4,3)(4,4),共3个基本事件. . 12分
19. 已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为,右顶点为,设点.
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过原点的直线交椭圆于点,求面积的最大值.
参考答案:
(Ⅰ)由已知得椭圆的半长轴,半焦距,则半短轴.
又椭圆的焦点在轴上,∴椭圆的标准方程为.……… 4分
(Ⅱ)当直线垂直于轴时,,因此的面积.
当直线不垂直于轴时,该直线方程为,代入,
解得B(,),C(-,-),
则,又点A到直线的距离,
∴△ABC的面积.
于是.
由,得,其中当时,等号成立.
∴的最大值是. ……… 10分
20. 为了调查大学生对吸烟是否影响学习的看法,询问了大学一、二年级的200个大学生,询问的结果记录如下:其中大学一年级110名学生中有45人认为不会影响学习,有65人认为会影响学习,大学二年级90名学生中有55人认为不会影响学习,有35人认为会影响学习;
(1) 根据以上数据绘制一个的列联表;
(2) 据此回答,能否有99%的把握断定大学生因年级不同对吸烟问题所持态度也不同?
附表:
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.789
10.828
参考答案:
解:(1)2*2列联表为:
有影响
无影响
合计
大一
45
65
110
大二
55
35
90
合计
100
100
200
由K2统计量的数学公式得:
>6.635
∴有99%的把握说:大学生因年级不同对吸烟问题所持态度也不同.
略
21. 如图,四棱锥的底面是正方形,,点E在棱PB上.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)当且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.
参考答案:
解法1本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.
(Ⅰ)∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,
∵,
∴PD⊥AC,∴AC⊥平面PDB,
∴平面.
(Ⅱ)设AC∩BD=O,连接OE,
由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O,
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角,
∴O,E分别为DB、PB的中点,
∴OE//PD,,又∵,
∴OE⊥底面ABCD,OE⊥AO,
在Rt△AOE中,,
∴,即AE与平面PDB所成的角的大小为.
22. 如图用茎叶图记录了同班的甲、乙两名学生4次数学考试成绩,其中甲的一次成绩模糊不清,用x标记.
(1)若甲、乙这4次的平均成绩相同,确定甲、乙中谁的成绩更稳定,并说明理由;
(2)若甲这4次获得的最高分正好是班上第一名(满分100,且分数为整数),且班上这次数学的第二名是91分,求甲这4次成绩的平均分高于乙这4次成绩的平均分的概率.
参考答案:
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;茎叶图.
【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计.
【分析】(1)由甲、乙这4次的平均成绩相同,先求出x=3和平均数,然后求出甲、乙的方差,由此得到乙的成绩更稳定.
(2)由已知得x的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,再由甲这4次成绩的平均分高于乙这4次成绩的平均分,得到x的可能取值为4,5,6,7,8,9,由此能求出甲这4次成绩的平均分高于乙这4次成绩的平均分的概率.
【解答】解:(1)∵甲、乙这4次的平均成绩相同,
∴90+x+81+82+84=90+80+85+