2022-2023学年湖南省邵阳市武冈秦桥乡中学高一数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设集合,则()
A.{-1,0} B.{-1} C.{0,1} D.{1}
参考答案:
D
由集合的交集运算可得,注意x>0,不能等于0。
2. 某单位在1~4 月份用电量(单位:千度)的数据如表:
月份x
1
2
3
4
用电量y
4.5
4
3
2.5
已知用电量y与月份x之间有较好的线性相关关系,其回归方程5.25,由此可预测5月份用电量(单位:千度)约为( )
A.1.9 B.1.8 C.1.75 D.1.7
参考答案:
C
【考点】线性回归方程.
【分析】首先求出x,y的平均数,根据所给的线性回归方程知道b的值,得到线性回归方程,x=5代入即可得出结论.
【解答】解:∵=2.5, =3.5,线性回归方程是5.25,
∴3.5=2.5b+5.25,
∴b=﹣0.7,
∴y=﹣0.7x+5.25,
x=5时,y=﹣3.5+5.25=1.75,
故选:C.
3. 已知,则
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
直接利用二倍角公式求出结果.
【详解】依题意,故选B.
【点睛】本小题主要考查余弦的二倍角公式的应用,考查运算求解能力,属于基础题.
4. 定义:称为n个正数p1,p2,…,pn的“均倒数”,若数列{an}的前n项的“均倒数”为,则数列{an}的通项公式为( )
A.2n-1 B.4n-3 C. 4n-1 D.4n-5
参考答案:
B
5. 已知f(x﹣1)=2x,则f(3)=( )
A.2 B.4 C.6 D.8
参考答案:
D
【考点】函数的值.
【专题】计算题;函数思想;同一法;函数的性质及应用.
【分析】令x﹣1=3,求出x的值,代入可得答案.
【解答】解:∵f(x﹣1)=2x,
令x﹣1=3,则x=4,
∴f(3)=2×4=8,
故选:D
【点评】本题考查的知识点是函数的值,难度不大,属于基础题.
6. 集合A={3,|a|},B={a,1},若A∩B={2},则A∪B=( )
A.{0,1,3} B.{1,2,3} C.{0,1,2,3} D.{1,2,3,﹣2}
参考答案:
B
【考点】并集及其运算.
【专题】计算题;定义法;集合.
【分析】根据A,B,以及两集合的交集确定出a的值,进而确定出A,求出A与B的并集即可.
【解答】解:∵A={3,|a|},B={a,1},且A∩B={2},
∴|a|=2,即a=2或﹣2,
当a=﹣2时,A={2,3},B={1,﹣2},不合题意,舍去,
∴a=2,即A={2,3},B={1,2},
则A∪B={1,2,3},
故选:B.
【点评】此题考查了并集及其运算,交集及其运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
7. 下列五个写法:①;②;③{0,1,2};④;⑤,其中错误写法的个数为( )
A. 1 B. 2 C . 3 D. 4
参考答案:
C
8. 已知函数f(x)=x2﹣kx﹣1在[5,+∞)上单调递增,则k的取值范围是( )
A.(﹣∞,10) B.(﹣∞,10] C.[10,+∞) D.(10,+∞)
参考答案:
B
【考点】集合的含义;二次函数的性质.
【分析】根据二次函数的性质建立不等式关系即可.
【解答】解:∵f(x)=x2﹣kx﹣1在[5,+∞)上为增函数,
∴对称轴x=﹣=≤5,解得k≤10,
即k的取值范围是{k|k≤10},
故选:B.
9. 如果变量满足条件上,则的最大值( ▲ )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
10. 若非零向量满足,,则的夹角为( )
A.30° B.60 C.120° D.150°
参考答案:
C
【考点】数量积表示两个向量的夹角.
【专题】计算题.
【分析】由(2+)?=0,化简得到||2=﹣2?,结合条件||=||,将化简式变为||?||=﹣2?,再结合cosθ=,易求出与的夹角θ.
【解答】解:∵(2+)?=0
∴(2+)?=2+2?=0
即||2=﹣2?
又∵||=||
∴||2=||?||=﹣2?
又由cosθ=
易得:cosθ=﹣
则θ=120°
故选:C
【点评】若θ为与的夹角,则cosθ=,这是利用向量求角的唯一方法,要求大家熟练掌握.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若其面积S=(b2+c2-a2),则A= ;
参考答案:
12. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,﹣2是它的一个零点,且在(0,+∞)上是增函数,则该函数所有零点的和等于 .
参考答案:
0
【考点】根的存在性及根的个数判断;奇偶性与单调性的综合.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】先利用函数是奇函数得到2也是函数的一个零点,由于函数在(0,+∞)上是增函数,所以函数在(0,+∞)上的零点只有一个2,所以得到函数只有2个零点,从而可以求出所有零点之和.
解:因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,所以函数f(x)在R上为增函数.
因为﹣2是它的一个零点,所以f(﹣2)=0,即f(﹣2)=﹣f(2)=0,即2也是函数的一个零点.
因为函数f(x)在R上为增函数,所以函数f(x)只有两个零点2和﹣2.
所以2+(﹣2)=0.
即函数所有零点的和等于0.
故答案为:0.
【点评】本题考查函数零点以及与函数单调性的关系.同时也考查了函数的奇偶性和单调性的性质.
13. 已知,则的大小关系为_____.
参考答案:
略
14. 300°用弧度制可表示为 .
参考答案:
【考点】弧度与角度的互化.
【分析】由180°=π,得1°=,则答案可求.
【解答】解:∵180°=π,
∴1°=,则300°=300×.
故答案为:.
15. cos(﹣π)+sin(﹣π)的值是 .
参考答案:
0
【考点】运用诱导公式化简求值.
【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子,可得结果.
【解答】解:cos(﹣π)+sin(﹣π)=cos(﹣)+sin(﹣)=cos﹣sin=﹣=0,
故答案为:0.
16. 若是幂函数,则该函数的值域是__________;
参考答案:
17. 设a为常数且a<0,y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x+﹣2,若f(x)≥a2﹣1对一切x≥0都成立,则a的取值范围为 .
参考答案:
[﹣1,0)
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】通过讨论x的范围,得到不等式,解出即可求出a的范围.
【解答】解:当x=0时,f(x)=0,则0≥a2﹣1,解得﹣1≤a≤1,所以﹣1≤a<0
当x>0时,﹣x<0,,则
由对勾函数的图象可知,当时,有f(x)min=﹣2a+2
所以﹣2a+2≥a2﹣1,即a2+2a﹣3≤0,解得﹣3≤a≤1,又a<0
所以﹣3≤a<0,综上所述:﹣1≤a<0,
故答案为:[﹣1,0).
【点评】本题考查了函数的奇偶性问题,考查了对勾函数的单调性,是一道基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知直线与圆相交于A,B两点.
(1)若,求k;
(2)在x轴上是否存在点M,使得当k变化时,总有直线MA、MB的斜率之和为0,若存在,求出点M的坐标:若不存在,说明理由.
参考答案:
(1);(2)存在.
【分析】
(1)由题得到距离为,即得,解方程即得解;(2)设,,存在点满足题意,即,把韦达定理代入方程化简即得解.
【详解】(1)因为圆,所以圆心坐标为,半径为2,
因为,所以到的距离为,
由点到直线的距离公式可得:,
解得.
(2)设,,
则得,因为,
所以,,
设存在点满足题意,即,
所以,
因为,所以,
所以,解得.
所以存在点符合题意.
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系,考查直线和圆的探究性问题的解答,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力,属于中档题.
19. 锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB+bcosA=csinC.
(1)求cosC;
(2)若a=6,b=8,求边c的长.
参考答案:
【考点】HP:正弦定理.
【分析】(1)利用正弦定理和两角和的正弦公式化简已知的等式,由锐角的范围和平方关系求出cosC;
(2)根据条件和余弦定理求出边c的长.
【解答】解:(1)∵acosB+bcosA=csinC,
∴由正弦定理得sinAcosB+cosAsinB=sinCsinC,
则sin(A+B)=sinCsinC,
由sin(A+B)=sinC>0得,sinC=,
∵C是锐角,∴cosC==;
(2)∵a=6,b=8,cosC=,
∴由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC
=36+64﹣2×6×=36,
解得c=6.
20. 已知集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0},函数y=ln(x2﹣4)的定义域为B.
(Ⅰ)求A∩B;
(Ⅱ)若C={x|x≤a﹣1},且A∪(?RB)?C,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】18:集合的包含关系判断及应用;1E:交集及其运算.
【分析】(Ⅰ)求解x2﹣4x﹣5≤0可得集合A,求解x2﹣4>0可得集合B,根据集合的基本运算即可得A∩B.
(Ⅱ)求出?RB,在求出A∪(?RB),A∪(?RB)?C,建立条件关系即可求实数a的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)由x2﹣4x﹣5≤0,
得:﹣1≤x≤5.
∴集合A={x|﹣1≤x≤5}.
由x2﹣4>0,
得:x>2或x<﹣2.
∴集合B={x|x>2或x<﹣2}.
那么:A∩B={x|2<x≤5}.
(Ⅱ)∵集合B={x|x>2或x<﹣2}.
∴?RB={x|﹣2≤x≤2}.
∴A∪(?RB)={x﹣|2<x≤5}.
∵C={x|x≤a﹣1},A∪(?RB)?C,
∴a﹣1≥5,
得:a≥6
故得a的取值范围为[6,+∞).
21. (本小题满分10分)
(1)解不等式;
(2)已知, 且, 求的最小值;
参考答案:
解(1)或,解集为……5分
(2),
取等号当且仅当……10分。
22. 已知集合,.
(1)求:,;
(2)已知,若,求实数的取值集合.
参考答案:
(1)
(2)
略