2022-2023学年湖南省邵阳市高岭中学高一数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的最小正周期为π,若将函数的图像向右平移个单位,得到函数的图像,则的解析式为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
【分析】
根据三角函数的周期求出ω=2,结合三角函数的平移关系进行求解即可.
【详解】∵函数(ω>0)的图象中,最小正周期为π,
∴即周期T,则ω=2,
则f(x)=sin(2x),
将函数f(x)的图象向右平移个单位,得到函数g(x),
则g(x)=sin[2(x)]=sin(2x)=sin2x,
故选:D.
【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解,根据周期公式求出ω的值,以及利用三角函数的平移法则是解决本题的关键.
2. 若集合则集合B不可能是
A. B.
C. D.
参考答案:
B
3. 用秦九韶算法计算多项式f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1,当x=0.4时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是( )
A. 6,6 B. 5,6 C. 5,5 D. 6,5
参考答案:
A
4. 下列关于函数的单调性的叙述,正确的是
A.在上是增函数,在[0,π]上是减函数
B.在上是增函数,在和上是减函数
C.在[0,π]上是增函数,在[-π,0]上是减函数
D.在上是增函数,在上是减函数
参考答案:
B
5. 将函数的图像上各点向左平移个单位,再把横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标保持不变),则所得到的图像的函数解析式是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
6. 设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(11.5)等于( )
A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5
参考答案:
B
略
7. 定义集合运算:A⊙B={z︳z = xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合A={0,1},B={2,3},则集合A⊙B的所有元素之和为( )
A.0 B.6 C.12 D.18
参考答案:
D
略
8. △ABC的三内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,若,则角B的大小为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】HP:正弦定理.
【分析】利用正弦定理化为三边关系,再由余弦定理求出cosB的值,从而求出角B的大小.
【解答】解:△ABC中,,
由正弦定理得,
=;
∴b2﹣a2=ac+c2,
即c2+a2﹣b2=﹣ac;
由余弦定理得,
cosB===﹣;
又B∈(0,π),
∴角B的大小为.
故选:B.
【点评】本题考查了正弦、余弦定理的灵活应用问题,是基础题.
9. 命题“若且,则”的否命题是:
A.若且,则 B.若且,则
C.若或,则 D.若或,则
参考答案:
C
10. 三个不相等的实数a,b,c成等差数列,且a,c,b成等比数列,则等于( )
A. B. C.2 D.4
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设,则= .
参考答案:
略
12. 函数的定义域为
参考答案:
略
13. 在平面直角坐标系xOy中,300°角终边上一点P的坐标为(1,m),则实数m的值为 .
参考答案:
﹣
【考点】任意角的三角函数的定义.
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义、诱导公式,可得tan300°=﹣=,从而求得m的值.
【解答】解:在平面直角坐标系xOy中,∵300°角终边上一点P的坐标为(1,m),
∴tan300°=tan=﹣tan60°=﹣=,∴m=﹣,
故答案为:﹣.
14. 在平行四边形ABCD中,已知向量,,则__.
参考答案:
(3,5)
【分析】
根据向量加法的平行四边形法则知,利用向量的坐标运算即可.
【详解】因为在平行四边形ABCD中,
所以,
又因为,,
所以,
故答案为:
【点睛】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则,向量的坐标运算,属于容易题.
15. 已知{Sn}为数列{an}的前n项和,,若关于正整数n的不等式的解集中的整数解有两个,则正实数t的取值范围为 ▲ .
参考答案:
[1,]
,,
因此,由得,
因为关于正整数的解集中的整数解有两个,因此
16. 关于x的方程|x2﹣1|=a有三个不等的实数解,则实数a的值是 .
参考答案:
1
【考点】函数的零点与方程根的关系.
【专题】数形结合.
【分析】构造函数y1=|x2﹣1|,y2=a,画出函数的图形,即可得关于x的方程|x2﹣1|=a有三个不等的实数解时,a的值.
【解答】解:构造函数y1=|x2﹣1|,y2=a,画出函数的图形,如图所示
则可得关于x的方程|x2﹣1|=a有三个不等的实数解时,a=1
故答案为:1
【点评】本题考查方程的解,考查函数与方程思想,考查数形结合的数学思想,属于中档题.
17. 函数的定义域是___________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在△ABC中,D为边BC上一点,,.
(1)求的值;
(2)若,求△ABC的面积.
参考答案:
(1)(2)126
【分析】
(1)利用余弦定理直接求出cosC;(2)根据sin∠BAC=sin(B+C),可得sin∠BAC,利用正弦定理求出AB,再由三角形的面积公式可得答案.
【详解】(1)在中,由余弦定理得,
;
(2),
,
.
在中,由正弦定理,
得,解得
.
【点睛】本题考查正余弦定理和面积公式的应用,考查三角形的内角和定理和两角和的正弦公式,属基础题.
19. 已知圆C的方程为x2+y2﹣2x+4y﹣m=0.
(I)若点P(m,﹣2)在圆C的外部,求m的取值范围;
(II)当m=4时,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆C截得的弦AB为直径所作的圆过原点?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由.
参考答案:
【考点】统筹图的关键路求法及其重要性;直线与圆的位置关系;直线和圆的方程的应用.
【分析】(Ⅰ)x2+y2﹣2x+4y﹣m=0,整理得:(x﹣1)2+(y+2)2=m+5,根据点P(m,﹣2)在该圆的外部,建立不等式,即可求m的取值范围;
(Ⅱ)依题意假设直线l存在,其方程为x﹣y+p=0,N是弦AB的中点,利用|ON|=|AN|,从而得出结论.
【解答】解:(I)∵x2+y2﹣2x+4y﹣m=0,
∴整理得:(x﹣1)2+(y+2)2=m+5.
由m+5>0得:m>﹣5.…
∵点P(m,﹣2)在该圆的外部,
∴(m﹣1)2+(﹣2+2)2>m+5.
∴m2﹣3m﹣4>0.
∴m>4或m<﹣1.
又∵m>﹣5,
∴m的取值范围是(﹣5,﹣1)∪(4,+∞).…
(II)当m=4时,圆C的方程为(x﹣1)2+(y+2)2=9.…
如图:依题意假设直线l存在,其方程为x﹣y+p=0,N是弦AB的中点.…
∴CN的方程为y+2=﹣(x﹣1).
联立l的方程可解得N的坐标为.…
∵原点O在以AB为直径的圆上,
∴|ON|=|AN|.
∴.
化简得:p2+3p﹣4=0,解得:p=﹣4或1.…
∴l的方程为x﹣y﹣4=0或x﹣y+1=0.…
20. 已知函数(且)是奇函数.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)若,,且在上的最小值为1,求实数的值.
参考答案:
(Ⅰ) ∵是定义域为的奇函数,∴,
∴,∴。 …………4分
(Ⅱ)因为,所以
,
令,因为在是增函数,所.
令,
①若,,不合题意;
②若,,解得,因为,
所以;
③若,解得,舍去
综上:. …………10分
21. 已知集合A={x|log2(2x-4)≤1),B={y|y=()x,x≥},求A∩ B.
参考答案:
,且为增函数,
. . 5分
.又是减函数,故当时,
. . 9分
12分
22. 已知函数()在区间上有最大值和最小值.
设.
(1)求、的值;
(2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围;
(3)若有三个不同的实数解,求实数的取值范围.
参考答案:
(1),
因为,所以在区间上是增函数,故,解得.
(2)由已知可得,
所以可化为,
化为,令,则,因,故,
记,因为,故,
所以的取值范围是.
(3)原方程可化为,
令,则,有两个不同的实数解,,其中,,或,.
记,则 ① 或 ②
解不等组①,得,而不等式组②无实数解.所以实数的取值范围是.