2023年江西省九江市瑞昌乐山中学高二数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在下列四个选项中,是的必要不充分条件是( )
A B
C D
参考答案:
D
2. 已知,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
3. 设,则的值为( )
A. 1 B. 16 C. -15 D. 15
参考答案:
C
【分析】
令,可解得的值,再求出的系数的值,从而可得结果.
【详解】解:令,
可得,
即,
含有的项为,
所以,
所以,
故选C.
【点睛】本题考查了二项式定理的知识,赋值法是常见的解题方法.
4. 有以下命题:
①命题“使”的否定是“ ”;
②椭圆的离心率为,则越接近于1,椭圆越扁;越接近于0,椭圆越圆;
③不是奇函数的函数的图像不关于原点对称.
其中,错误的命题的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
参考答案:
D
略
5. 函数y=的定义域是( )
A.[4,+∞) B.(4,+∞) C.(﹣∞,4] D.(﹣∞,4)
参考答案:
C
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】函数y=的定义域是{x|4﹣x≥0},由此能求出结果.
【解答】解:函数y=的定义域是{x|4﹣x≥0},
解得{x|x≤4},
故选C.
6. 为了得到函数的图像,只需把函数的图像( )
A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位
参考答案:
B
略
7. 已知,分别为直线,的方向向量(,不重合),,分别为平面,的法向量(,不重合),则下列说法中:①;②;③;④,其中正确的有( )个
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
D
∵,分别为直线,的方向向量(,不重合),
∴,;
∵,分别为平面,的法向量(,不重合),
垂直同一平面的两直线平行
∴,
法向量夹角与二面角的平面角相等或互补
∴,
故选:D
8. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若﹣a2013<a1<﹣a2014,则必定有( )
A.S2013>0,且S2014<0 B.S2013<0,且S2014>0
C.a2013>0,且a2014<0 D.a2013<0,且a2014>0
参考答案:
A
【考点】等差数列的性质.
【分析】根据等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式即可得到结论.
【解答】解:∵﹣a2013<a1<﹣a2014,
∴a2013+a1>0,a1+a2014<0,
∴S2013=
S2014=<0,
故选:A.
9. 已知 △ABC 的顶点 B、C在椭圆 上,顶点 A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点在线段BC上,则 △ABC的周长是( )
(A) 8 (B) (C) 16 (D) 24
参考答案:
C
10. 已知点在平面内,并且对空间任一点, 则的值为
A. B. C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知x与y之间的一组数据:
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与x的线性回归方程=bx+a必过点 .
参考答案:
(1.5,4)
【考点】线性回归方程.
【分析】要求y与x的线性回归方程为y=bx+a必过的点,需要先求出这组数据的样本中心点,根据所给的表格中的数据,求出横标和纵标的平均值,得到样本中心点,得到结果.
【解答】解:∵,
=4,
∴本组数据的样本中心点是(1.5,4),
∴y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点(1.5,4)
故答案为:(1.5,4)
12. 已知双曲线C的右焦点为F,过F的直线l与双曲线C交于不同两点A、B,且A、B两点间的距离恰好等于焦距,若这样的直线l有且仅有两条,则双曲线C的离心率的取值范围为 .
参考答案:
(1,)∪(2,+∞)
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】讨论当A,B均在右支上,可得c>,当A,B在左右两支上,可得c>2a,运用离心率公式,解不等式即可得到所求范围.
【解答】解:当A,B均在右支上,可得c>,
即有2b2<ac,即2c2﹣ac﹣2a2<0,
即为2e2﹣e﹣2<0,
解得1<e<;
当A,B在左右两支上,可得c>2a,
即有e>2.
故答案为:(1,)∪(2,+∞)
13. 已知抛物线的顶点在原点,对称轴是轴,焦点在直线上,则该抛物线的方程为__________;
参考答案:
略
14. 函数的增区间是________.
参考答案:
略
15. 为了了解我校今年报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3,第2小组的频数为12,则报考飞行员的学生人数是 .
参考答案:
48
略
16. 右面框图表示的程序所输出的结果是_______ .
参考答案:
1320
略
17. 已知点A(λ+1,μ-1,3),B(2λ,μ,λ-2μ),C(λ+3,μ-3,9)三点共线,则实数λ+μ=________.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M、N分别为AB、SB的中点.
(Ⅰ)证明:AC⊥SB;
(Ⅱ)求二面角N-CM-B的大小;
(Ⅲ)求点B到平面CMN的距离.
参考答案:
解法一:(Ⅰ)取AC中点D,连结SD、DB.
∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SD且AC⊥BD,∴AC⊥平面SDB,又SB平面SDB,∴AC⊥SB.
(Ⅱ)∵AC⊥平面SDB,AC平面ABC,∴平面SDB⊥平面ABC.过N作NE⊥BD于E,NE⊥平面ABC,过E作EF⊥CM于F,连结NF,则NF⊥CM.∴∠NFE为二面角
N-CM-B的平面角.∵平面SAC⊥平面ABC,SD⊥AC,∴
SD⊥平面ABC.又∵NE⊥平面ABC,∴NE∥SD.
∵SN=NB,∴NE=SD===,
且ED=EB.在正△ABC中,由平几知识可求得EF=MB=,在Rt△NEF中,tan∠NFE==2,∴二面角N-CM-B的大小是arctan2.
(Ⅲ)在Rt△NEF中,NF==,∴S△CMN=CM·NF=,S△CMB=BM·CM=2.
设点B到平面CMN的距离为h,∵VB-CMN=VN-CMB,NE⊥平面CMB,∴S△CMN·h=S△CMB·NE,
∴h==.即点B到平面CMN的距离为.
解法二:(Ⅰ)取AC中点O,连结OS、OB.∵
SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO且AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=
AC∴SO⊥面ABC,∴SO⊥BO.
如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.则A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),S(0,0,2),M(1,,0),N(0,,).∴=(-4,0,0),=(0,2,2),∵·=(-4,0,0)·(0,2,2)=0,∴AC⊥SB.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得=(3,,0),=(-1,0,).设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,则
·n=3x+y=0,
取z=1,则x=,y=-,∴n=(,-,1),
·n=-x+z=0,
又=(0,0,2)为平面ABC的一个法向量, ∴cos(n,)==.
∴二面角N-CM-B的大小为arccos.
(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)得=(-1,,0),n=(,-,1)为平面CMN的一个法向量,
∴点B到平面CMN的距离d==.
19. 斜棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥面ABC,侧面AA1C1C为菱形,,E,F分别为A1C1和AB的中点。
(1)求证:平面CEF⊥平面ABC;
(2)若三棱柱的所有棱长为2,求三棱柱F-ECB的体积;
(3)D为棱BC上一点,若C1D∥EF,请确定点D位置,并证明你的结论.
参考答案:
解:(1)
;
(2)∵,∴CE为三棱锥的高,
在中,可得,
又∵,
∴;
(3)∵,∴,,,共面,
.
20. 如图,在△ABC中,∠B=45°,D是BC边上一点,AB=,AC=5,AD=5,∠ADB为锐角.
(1)求角∠ADC的大小;
(2)求CD的长.
参考答案:
【考点】解三角形.
【分析】(1)在三角形ADB中,利用正弦定理表示出sin∠ADB,求出∠ADB,确定出∠ADC的度数;
(2)在△ADC中,设CD=x,由余弦定理可得,AC2=AD2+CD2﹣2AD?CD?cos∠ADC即可求出CD的长.
【解答】解:(1)在△ABC中,∵,
∴由正弦定理可得, QUOTE,即,…
E∴,∵∠ADB为锐角,∴∠ADB=60°.…∴∠ADC=120°.…
(2)在△ADC中,设CD=x,由余弦定理可得,AC2=AD2+CD2﹣2AD?CD?cos∠ADC…
∴,即x2+5x﹣50=0,…
(x+10)(x﹣5)=0,∴x=5,即CD=5.…
21. 解下列不等式:
(1)﹣2x2+x<﹣3
(2)x2﹣x+>0.
参考答案:
【考点】一元二次不等式的解法.
【专题】计算题;方程思想;综合法;不等式的解法及应用.
【分析】由已知条件利用一元二次不等式的解题方法、步骤求解.
【解答】解:(1)∵﹣2x2+x<﹣3,
∴2x2﹣x﹣3>0,
解方程2x2﹣x﹣3=0,得x1=﹣1或x=,
∴原不等式的解集为{x|x<﹣1或x>}.
(2)∵x2﹣x+=(x﹣)2>0,
∴原不等式的解集为.
【点评】本题考查一元二次不等式的解集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意一元二次不等式的解题方法、步骤的合理运用.
22. 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(1)求证:AA1⊥平面ABC;
(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;
参考答案:
(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
试题分析:(Ⅰ)先利用正方形得到线线垂直,再利用面面垂直的性质定理进行证明;(Ⅱ)利用勾股定理证明线线垂直,合理建立空间直角坐标系,写出出相关点的坐标,求出相关平面的法向量,再通过空间向量的夹角公式进行求解.
试题解析:(I)证明:∵AA1C1C是正方形,∴AA1⊥AC.又∵平面ABC⊥平面AA1C1C,平面ABC∩平面AA1C1C=AC,
∴AA1⊥平面ABC.
(II)由AC=4,BC=5,AB=3.
∴AC2+AB2=BC2,∴AB⊥AC.
建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(0,0,4),B(0,3,0),B1(0,3,4),C1(4,0,4),∴,,.
设平面A1BC1的法向量为,平面B1BC1的法向量为=.
则,令,解得,∴.
,令,解得,∴.
===.
∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为.