2023年吉林省四平市第五中学高二数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在等比数列{an}中,若a3a6=9,a2a4a5=27,则a2的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.9
参考答案:
B
【考点】等比数列的通项公式.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】设公比为q,可得=9,=27,两式相除可得答案.
【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,
由题意可得a3a6===9,①
a2a4a5===27,②
可得a2=3
故选B
【点评】本题考查等比数列的通项公式,属基础题.
2. 根据右边程序框图,当输入10时,输出的是( )
A.12 B.14.1 C.19 D.-30
参考答案:
B
略
3. 若函数y=是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且,
则使<0的x的取值范围是( )
A.(-∞,-2) B.(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,2)
参考答案:
D
略
4. 关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是
A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(-1,3)
C.(1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞)
参考答案:
A
5. 已知正四棱柱中,为中点,则异面直线与所成的角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
解析:令则,连∥ 异面直线与所成的角即与所成的角。在中由余弦定理易得。
6. 在中,( )
A.可以确定为正数 B、可以确定为负数
C、可以确定为0 D、无法确定
参考答案:
B
7. 我们把离心率为e=的双曲线
(a>0,b>0)称为黄金双曲线.如图,是双曲线
的实轴顶点,是虚轴的顶点,是左右焦点,
在双曲线上且过右焦点,并且轴,
给出以下几个说法:
①双曲线x2-=1是黄金双曲线;
②若b2=ac,则该双曲线是黄金双曲线;
③如图,若∠F1B1A2=90°,则该双曲线是黄金双曲线;
④如图,若∠MON=90°,则该双曲线是黄金双曲线.
其中正确的是( )
A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①②③④
参考答案:
D
8. 双曲线﹣=1(mn≠0)的离心率为2,有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则mn的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】圆锥曲线的共同特征;抛物线的简单性质;双曲线的简单性质.
【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点,进而可知双曲线的焦距,根据双曲线的离心率求得m,最后根据m+n=1求得n,则答案可得.
【解答】解:抛物线y2=4x的焦点为(1,0),则双曲线的焦距为2,
则有解得m=,n=
∴mn=
故选A
【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特这.解题的关键是对圆锥曲线的基本性质能熟练掌握.
9. 极坐标方程ρ=cos(﹣θ)表示的曲线是( )
A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆
参考答案:
D
【考点】极坐标系和平面直角坐标系的区别.
【分析】分析根据极坐标系与直角坐标系的关系,把极坐标方程方程转化为直角坐标系下的方程,再分析其所表示的曲线是什么.
【解答】解:原坐标方程可化简为
即
又有公式
所以可化为一般方程.
是圆的方程
故答案选择D.
10. 某大学的8名同学准备拼车去旅游,其中大一、大二、
大三、大四每个年级各两名,分乘甲、乙两辆汽车。每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有
A、24种 B、18种 C、48种 D、36种( )
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 双曲线4x2﹣y2+64=0上一点P到它的一个焦点的距离等于1,则点P到另一个焦点的距离等于 .
参考答案:
17
【考点】双曲线的定义.
【分析】首先将双曲线方程化成标准方程,从而得出参数a、b的值,然后根据双曲线的定义得出|PF1﹣PF2|=2a,根据题中的已知数据,可以求出点P到另一个焦点的距离.
【解答】解:将双曲线4x2﹣y2+64=0化成标准形式:
∴a2=64,b2=16
P到它的一个焦点的距离等于1,设PF1=1
∵|PF1﹣PF2|=2a=16
∴PF2=PF1±16=17(舍负)
故答案为:17
【点评】本题考查了双曲线的定义与标准方程,属于基础题.利用圆锥曲线的第一定义解题,是近几年考查的常用方式,请同学们注意这个特点.
12. 已知x2+y2﹣2ax+4y﹣6=0的圆心在直线x+2y+1=0上,那么实数a等于 .
参考答案:
3
【考点】圆的一般方程.
【专题】计算题.
【分析】根据所给的圆的一般式方程,看出圆的圆心,根据圆心在一条直线上,把圆心的坐标代入直线的方程,得到关于a的方程,解方程即可.
【解答】解:∵x2+y2﹣2ax+4y﹣6=0的圆心是(a,﹣2),
圆心在直线x+2y+1=0上,
∴a+2(﹣2)+1=0,
∴a=3
故答案为:3
【点评】本题考查圆的一般方程与点与直线的位置关系,本题解题的关键是表示出圆心,根据圆心的位置,写出符合条件的方程,本题是一个基础题.
13. 已知命题p:?x∈R,ex<0,则?p是 .
参考答案:
?x∈R,ex≥0
【考点】2J:命题的否定.
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论.
【解答】解:∵命题p:?x∈R,ex<0是特称命题,
∴¬p:?x∈R,ex≥0,
故答案为:?x∈R,ex≥0
14. 已知 ,则 的值为 _________.
参考答案:
15. 命题“”的否定是 __。
参考答案:
16. 给出下列四个命题:①若a>b>0,则 > ;②若a>b>0,则a- >b- ;③若
a>b>0,则 > ;④若a>0,b>0,且2a+b=1,则 + 的最小值为9.
其中正确命题的序号是______.(把你认为正确命题的序号都填上)
参考答案:
②④
略
17. 若圆与圆相交,则m的取值范围是 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (2016春?宁德期末)已知集合A={m|方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根},集合B={x|log2x>a}.
(Ⅰ)求集合A;
(Ⅱ)若x∈B是x∈A的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【专题】对应思想;综合法;集合;简易逻辑.
【分析】(Ⅰ)根据二次函数的性质得到△>0,解出m的范围即可;
(Ⅱ)求出集合B,结合充分必要条件的定义求出a的范围即可.
【解答】解:(Ⅰ)由方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根,
∴△=m2﹣4>0,解得:m>2或m<﹣2,
∴A={m|m<﹣2或m>2};
(Ⅱ)B={x|log2x>a}={x|x>2a},
由x∈B是x∈A的充分不必要条件,
∴2a≥2,解得:a≥1,
∴实数a的取值范围为[1,+∞).
【点评】本题主要考查简易逻辑、不等式解法等基础知识.考查运算求解能力、推理论证能力以及化归与转化的思想.
19. (本小题满分12分)已知三点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)。
(1)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程;
(2)设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为、、,求以、为焦点且过 点的双曲线的标准方程。
参考答案:
(1)由题意,可设所求椭圆的标准方程为,其半焦距,
故所求椭圆的标准方程为;
(2)点P(5,2)、(-6,0)、(6,0)关于直线y=x的对称点分别为:
(2,5)、(0,-6)、(0,6)
设所求双曲线的标准方程为,由题意知半焦距C=6,
∴,
故所求双曲线的标准方程为。
20. 如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面四边形ABCD平行四边形,AD⊥平面SAB.
(1)若SA=3,AB=4,SB=5,求证:SA⊥平面ABCD
(2)若点E是SB的中点,求证:SD∥平面ACE.
参考答案:
【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.
【分析】(1)由线面垂直的性质可证SA⊥AD,利用已知及勾股定理可证SA⊥AB,即可证明SA⊥平面ABCD,
(2)连接BD,设AC∩BD=O,连接OE,可得BO=OD,BE=ES,可证SD∥OE,即可证明SD∥平面ACE.
【解答】证明:(1)∵AD⊥平面SAB,SA?平面SAB,
∴SA⊥AD,
∵SA=3,AB=4,SB=5,
∴SA2+AB2=SB2,即SA⊥AB,又AB∩AD=A,
∴SA⊥平面ABCD.
(2)连接BD,设AC∩BD=O,连接OE,
∵BO=OD,BE=ES,
∴SD∥OE,又SD?平面ACE,OE?平面ACE,
∴SD∥平面ACE.
21. 已知A(﹣2,0),B(2,0),点C,D依次满足|=2,.求点D的轨迹.
参考答案:
【考点】轨迹方程.
【分析】求出向量的坐标,利用|=2,得轨迹方程,即可求点D的轨迹.
【解答】解:设.
=(x0+6,y0)=(x+2,y),∴x0=2x﹣2,y0=2y,
代入|=2,得x2+y2=1.
所以,点D的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆.
22.
已知直线
(1)当变化时,直线恒过一定点,求点的坐标;
(2)若直线交轴负半轴于点,交轴正半轴于点,为坐标原点,设的面积为,求的最小值.
参考答案: