2023年河南省周口市平店职业技术中学高一数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若不等式的解集为R,则实数m的取值范围是( )
A. (2,+∞) B. (-∞,2)
C. (-∞,0)∪ (2,+∞) D. (0,2)
参考答案:
D
【分析】
利用不等式的解集是R,转化为二次函数的函数值大于0恒成立,利用判别式即可求实数m的取值范围.
【详解】由题意知不等式的解集为R
即的函数值在R上大于0恒成立
由二次函数开口向上可知,满足判别式R恒成立即可
即,即
解得
故选:D
【点睛】本题考查不等式恒成立条件的应用,将不等式转化为函数问题,考查转化思想以及计算能力,属于基础题.
2. 函数的图像恒经过点 .
参考答案:
(-1,1)
略
3. 若直线与曲线有两个公共点,则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
【分析】
由于曲线表示原点为圆心,半径为2的半圆,根据题意画出图形,找出两个特殊的位置:1.直线y=x+m与半圆相切;2.直线y=x+m过点(2,0),当直线与半圆相切时,利用点到直线的距离公式表示圆心到直线的距离d,让d等于半径列出关于m的方程,求出m的值,写出满足题意的m的范围即可.
【详解】由,得到,
如图,
当直线与圆相切时,
因此:若直线与圆有两个公共点,则实数的取值范围是:.
故选:B
【点睛】本题考查了直线和半圆的位置关系,考查了学生转化与划归,数形结合的能力,属于中档题.
4. 已知△ABC是边长为4的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小值是( )
A.﹣2 B. C.﹣3 D.﹣6
参考答案:
D
【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】建立平面直角坐标系,表示出点的坐标,利用坐标法结合平面向量数量积的定义,求最小值即可.
【解答】解:以BC中点为坐标原点,建立如图所示的坐标系,
则A(0,2),B(﹣2,0),C(2,0),
设P(x,y),则=(﹣x,2﹣y),
=(﹣2﹣x,﹣y),
=(2﹣x,﹣y),
所以?(+)=﹣x?(﹣2x)+(2﹣y)?(﹣2y)
=2x2﹣4y+2y2
=2[x2+2(y﹣)2﹣3];
所以当x=0,y=时, ?(+)取得最小值为2×(﹣3)=﹣6.
故选:D.
5. 在平行四边形中,点为中点,,则等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 设,,,则
A. B. C. D.
参考答案:
A
7. 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为( )
A. B.C. D.
参考答案:
D
略
8. 已知全集,集合,则为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 已知等比数列的通项公式为,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和
A. B. C. D. w.w.w.k.s
参考答案:
D
10. 集合A={a,b},B={0,1,2},则从A到B的映射共有( )个.
A.6 B.7 C.8 D.9
参考答案:
D
【考点】映射.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】由card(A)=2,card(B)=3,可得从A到B的映射的个数为9个.
【解答】解:∵card(A)=2,card(B)=3,
则从A到B的映射的个数为card(B)card(A)=32=9个,
故选:D
【点评】本题考查的知识点是映射,熟练掌握当非空集合A中有m个元素,B中有n个元素时,由A到B的映射共有nm个,是解答的关键.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某投资公司准备在2016年年底将1000万元投资到某“低碳”项目上,据市场调研,该项目的年投资回报率为20%.该投资公司计划长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资),若市场预期不变,大约在 年的年底总资产(利润+本金)可以翻一番.
(参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771)
参考答案:
2020
假设n年后总资产可以翻一番,依题意:1000(1+)n=2000,即1.2n=2,两边取对数得:n==≈3.8053,所以大约4年后,即在2020年的年底总资产可以翻一番.
12. 实数满足,则代数式的取值范围是
参考答案:
13. f (x)为偶函数且 则=_____________。
参考答案:
4
略
14. 如果全集,,,那么= ▲ .
参考答案:
15. 已知正数满足,则的最小值为 .
参考答案:
16. 若,则 .
参考答案:
∵
∴,
∴,
∴(舍去)或.
故填.
17. 不等式的解集为_____▲_____.
参考答案:
(-2,1]
不等式等价于,根据一元二次不等式的解集的特征,可以断定原不等式的解集为.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 化简或求值:
(1)()﹣()0.5+(0.008)×
(2)计算.
参考答案:
【考点】对数的运算性质.
【分析】(1)化小数为分数,化负指数为正指数,然后利用有理指数幂的运算性质化简求值;
(2)直接利用对数的运算性质化简求值.
【解答】解:(1)()﹣()0.5+(0.008)×
=
=;
(2)=
==
==.
19. 设集合A={x|2≤x≤4},B={x|x>3,或x<1},C={x|t+1<x<2t},t∈R.
(Ⅰ)求A∪?UB;
(Ⅱ)若A∩C=C,求t的取值范围.
参考答案:
【考点】1E:交集及其运算;1H:交、并、补集的混合运算.
【分析】(Ⅰ)由B与全集U,求出B的补集,找出A与B补集的并集即可;
(Ⅱ)由A与C的交集为C,得到C为A的子集,确定出t的范围即可.
【解答】解:(Ⅰ)∵B={x|x>3,或x<1},
∴?UB={x|1≤x≤3},
∵A={x|2≤x≤4},
∴A∪?UB={x|1≤x≤4};
(Ⅱ)∵A∩C=C,∴C?A,
当C=?时,则有2t≤t+1,即t≤1;
当C≠?时,则,即1<t≤2,
综上所述,t的范围是t≤2.
20. 已知数列满足,是数列的前n项和,且有
(1)若数列为等差数列,求通项;
(2)若对于任意恒成立,求的取值范围。
参考答案:
(1),,即,又,
数列为等差数列,,解得=1,,
(2),
两式作差得
所以
可求得
若任意恒成立,所以且<<<
,解得
所以的取值范围为
略
21. 如图,在三棱椎P﹣ABC中,D,E,F分别是棱PC、AC、AB的中点,且PA⊥面ABC.
(1)求证:PA∥面DEF;
(2)求证:面BDE⊥面ABC.
参考答案:
【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
【分析】(1)由线面平行的判定定理可知,只须证PA与平面DEF内的某一条直线平行即可,由已知及图形可知应选择DE,由三角形的中位线的性质易知:DE∥PA,从而问题得证;
(2)由面面垂直的判定定理可知,只须证两平中的某一直线与另一个平面垂直即可,注意题中已知了线段的长度,那就要注意利用勾股定理的逆定理来证明直线与直线的垂直;通过观察可知:应选择证DE垂直平面ABC较好,由(1)可知:DE⊥AC,再就只须证DE⊥EF即可;这样就能得到DE⊥平面ABC,又DE?平面BDE,从面而有平面BDE⊥平面ABC.
【解答】证明:(1)因为D,E分别为PC,AC的中点,所以DE∥PA.
又因为PA?平面DEF,DE?平面DEF,所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D,E,F分别人棱PC,AC,AB的中点,PA=6,BC=8,所以DE∥PA,DE=PA=3,EF=BC=4.
又因为DF=5,故DF2=DE2+EF2,所以∠DEF=90.,即DE⊥EF.又PA⊥AC,DE∥PA,所以DE⊥AC.
因为AC∩EF=E,AC?平面ABC,EF?平面ABC,所以DE⊥平面ABC.
又DE?平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC.
【点评】本题考查线面平行的判定,考查平面与平面垂直的判定,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
22. 已知数列{an}满足:
(1)设数列{bn}满足,求{bn}的前n项和Tn:
(2)证明数列{an}是等差数列,并求其通项公式;
参考答案:
(1)(2)证明见解析,
【分析】
(1)令n=1,即可求出,计算出,利用错位相减求出。
(2)利用公式 化简即可得证再利用,求出公差,即可写出通项公式。
【详解】解:(1)在中,令,得,所以
,①
,②
①②得
化简得
(2)由得:,两式相减整理得:
从而有,相减得:
即
故数列为等差数列,又,故公差
【点睛】本题主要考查利用错位相减法求等差乘等比数列的前n项的和,属于基础题。