2023年湖北省荆门市沙洋县后港中学高三数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 我们把可表示为两个连续正奇数的平方差的正整数称为“和谐数”,则在集合中,共有“和谐数”的个数是 ( )
A.502 B.503 C.251 D.252
参考答案:
C
2. 设函数,其中为已知实常数,,则下列命题中错误的是( )
.若,则对任意实数恒成立;
.若,则函数为奇函数;
.若,则函数为偶函数;
.当时,若,则.
参考答案:
3. 设,若和的等差中项是0,则的最小值是 ( )
A.1 B.2 C.4 D.
参考答案:
B
略
4. 设,满足线性约束条件若目标函数()取得最大值的最优解有无数个,则的最小值为( )
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
参考答案:
B
由题可知约束区域如图所示:
由得
∵
∴平移直线,由图像可知当直线和直线平行时,此时目标函数取得最大值的最优解有无数个,此时
∴
∴当经过点(3,0)时,z取最小值-3
故选B
5. 已知三棱锥P—ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,且AB=2,PA=PB=PC=2,则该三棱锥的外接球的表面积为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
6. 已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn(),,则的值为( ).
A.11 B.12 C.20 D.22
参考答案:
D
结合等差数列的性质,可得,而因为该数列为正项数列,可得
,所以结合,可得,故选D。
7. 若变量满足约束条件,则的最大值为
A. B. C. D.
参考答案:
C
8. 如图所示,等边△ABC的边长为2,D为AC中点,且△ADE也是等边三角形,让△ADE以点A为中心向下转动到稳定位置的过程中,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
9. 执行如图所示的程序框图,若输入的值为8,则输出的值为( )
(A)4 (B)8 (C)10 (D)12
参考答案:
B
略
10. 已知i为虚数单位,则复数ii对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
A
,其对应的点为,位于第一象限
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)=的图象上的两点(可以重合),点M在直线x=上,且.则y1+y2的值为 ___________.
参考答案:
-2
略
12. 函数在区间上的最大值是 .
参考答案:
2
13. 已知函数,若的定义域中的、满足,则 .
参考答案:
-3
【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.
【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.
【参考答案】-3
【试题分析】函数的定义域需满足,即,,
,
则,所以是奇函数,在其定义域内有
又因为,则.
故答案为-3.
14. 已知双曲线C:(a>0,b>0)的一条渐近线与直线l:垂直,C的一个焦点到l的距离为1,则C的方程为__________________.
参考答案:
15. 已知,则的展开式中x的系数为 .
参考答案:
150
16. 在展开式中含的项的系数为 .(结果用数值表示)
参考答案:
略
17. 过动点P作圆:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1的切线PQ,其中Q为切点,若|PQ|=|PO|(O为坐标原点),则|PQ|的最小值是 .
参考答案:
【考点】J3:轨迹方程;J7:圆的切线方程.
【分析】根据题意,设P的坐标为(m,n),圆(x﹣3)2+(y﹣4)2=1的圆心为N,由圆的切线的性质可得|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1,结合题意可得|PN|2=|PO|2+1,代入点的坐标可得(m﹣3)2+(n﹣4)2=m2+n2+1,变形可得:6m+8n=24,可得P的轨迹,分析可得|PQ|的最小值即点O到直线6x+8y=24的距离,由点到直线的距离公式计算可得答案.
【解答】解:根据题意,设P的坐标为(m,n),圆(x﹣3)2+(y﹣4)2=1的圆心为N,则N(3,4)
PQ为圆(x﹣3)2+(y﹣4)2=1的切线,则有|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1,
又由|PQ|=|PO|,
则有|PN|2=|PO|2+1,
即(m﹣3)2+(n﹣4)2=m2+n2+1,
变形可得:6m+8n=24,
即P在直线6x+8y=24上,
则|PQ|的最小值即点O到直线6x+8y=24的距离,
且d==;
即|PQ|的最小值是;
故答案为:.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知正四棱锥P-ABCD的侧棱和底面边长相等,在这个正四棱锥的8条棱中任取两条,按下列方式定义随机变量的值:
若这两条棱所在的直线相交,则的值是这两条棱所在直线的夹角大小(弧度制);
若这两条棱所在的直线平行,则;
若这两条棱所在的直线异面,则的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制).
(1)求的值;
(2)求随机变量的分布列及数学期望.
参考答案:
根据题意,该四棱锥的四个侧面均为等边三角形,底面为正方形,容易得到,为等腰直角三角形,的可能取值为:,,,共种情况,其中:时,有种;时,有种;时,有种;
(1);
(2),,
根据(1)的结论,随机变量的分布列如下表:
根据上表,.
19. 已知.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设为数列的前项和,求证:;
(Ⅲ)求证:.
参考答案:
解析:(Ⅰ),所以
(Ⅱ)由得即
所以当时,于是
所以
(Ⅲ)当时,结论成立
当时,有
所以
20. 如图,直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)ABC﹣A1B1C1中,点G是AC的中点.
(1)求证:B1C∥平面 A1BG;
(2)若AB=BC,AC=,求证:AC1⊥A1B.
参考答案:
【考点】直线与平面平行的判定;空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】(1)连结AB1,交A1B于点O,连结OG,由三角形中位线定理得OG∥B1C,由此能证明B1C∥平面 A1BG.
(2)由线面垂直得AA1⊥BG,由已知推导出tan∠AC1C=tan∠A1GA=,从而得到A1G⊥AC1,由此能证明AC1⊥A1B.
【解答】(1)证明:连结AB1,交A1B于点O,连结OG,
在△B1AC中,∵G、O分别为AC、AB1中点,∴OG∥B1C,
又∵OG?平面A1BG,B1C?平面A1BG,
∴B1C∥平面 A1BG.
(2)证明:∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,BG?平面ABC,
∴AA1⊥BG,
∵G为棱AC的中点,AB=BC,∴BG⊥AC,
∵AA1∩AC=A,∴BG⊥平面ACC1A1,∴BG⊥AC1,
∵G为棱AC中点,设AC=2,则AG=1,
∵,∴在Rt△ACC1和Rt△A1AG中,tan∠AC1C=tan∠A1GA=,
∴∠AC1C=∠A1GA=∠A1GA+∠C1AC=90°,
∴A1G⊥AC1,
∵BG∩A1G=G,∴AC1⊥平面A1BG,
∵A1B?平面A1BG,∴AC1⊥A1B.
21. (本小题满分12分)
如图,直线l :y=x+b与抛物线C :x2=4y相切于点A。
(1) 求实数b的值;
(11) 求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
参考答案:
(I)由得 ()
因为直线与抛物线C相切,所以,解得………………4分
(II)由(I)可知,故方程()即为,解得,将其代入,得y=1,故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆A的半径r,即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为………12分
22. (本小题满分12分)
已知向量,函数。
(1)求函数的单调递增区间;
(2)在中,角的对边分别为,若,求的值。
参考答案: