2023年河北省衡水市同华中学高一数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 等差数列的前项和为,,,则的值为
A . B. C. D.
参考答案:
C
2. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,若将f(x)图象上所有点的横坐标缩短来原来的倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则g(x)的解析式为( )
A.y=sin(4x+) B.y=sin(4x+) C.y=sin(x+) D.y=sin(x+)
参考答案:
A
【考点】正弦函数的图象.
【分析】首先根据函数的图象确定确定A,ω,?的值,进一步利用函数图象的平移变换求出结果.
【解答】解:根据函数的图象:A=1,
则:T=π
利用
解得:?=k(k∈Z)
由于|?|<
所以:?=
求得:f(x)=
将f(x)图象上所有点的横坐标缩短来原来的倍(纵标不变)
g(x)=
故选:A
3. 在正方体ABCD- A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
由题,连接,设其交平面于点易知平面,即(或其补角)为与平面所成的角,再利用等体积法求得AO的长度,即可求得的长度,可得结果.
【详解】设正方体的边长为1,如图,连接,设其交平面于点,则易知,,又,所以平面,即得平面.在三棱锥中,由等体积法知,,即,解得,所以.
连接,则(或其补角)为与平面所成的角.在中,.故选C.
【点睛】本题考查了立体几何中线面角的求法,作出线面角是解题的关键,求高的长度会用到等体积法,属于中档题.
4. 的值是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
5. 下列三数的大小关系正确的是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
解析: 因为 ,
。
令,则。又因为,所以 。
再令,则,而,所以 。
综上所述,有 。 因此 选 (C)
6. 的图象大致是
参考答案:
B
7. 函数的值域是
A. B. C. D.
参考答案:
A
8. 函数f(x)=的零点所在区间为( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
参考答案:
C
略
9. 已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
10. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数,对于下列命题:
①若,则; ②若,则;
③,则; ④.
其中正确的命题的序号是 (写出所有正确命题的序号).
参考答案:
①②
略
12. 方程的实数解的个数是___________.
参考答案:
2
13. 设集合满足,则实数的取值范围是 。
参考答案:
14. 已知是等比数列,,,则公比______________.
参考答案:
15. 如果角θ的终边经过点(﹣),则cosθ= .
参考答案:
略
16. 如果数集{0,1,x+2}中有3个元素,那么x不能取的值是________.
参考答案:
-2,-1
17. 若球的半径为,则这个球的内接正方体的表面积是 ;
参考答案:
72
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知:向量
(1)若tanαtanβ=16,求证:;
(2)若垂直,求tan(α+β)的值;
(3)求的最大值.
参考答案:
解:(1)∵tanαtanβ=16,∴sinαsinβ=16cosαcosβ,
∵,
∴4cosα?4cosβ=sinα?sinβ,
∴;
(2)∵垂直,∴,
即4cosαsinβ+4sinαcosβ﹣2(4cosαcosβ﹣4sinαsinβ)=0,
∴4sin(α+β)﹣8cos(α+β)=0,
∴tan(α+β)=2;
(3)=(sinβ+cosβ,4cosβ﹣4sinβ),
∴=(sinβ+cosβ)2+(4cosβ﹣4sinβ)2
=17﹣30sinβcosβ=17﹣15sin2β
∴当sin2β=﹣1时,取最大值=
略
19. (本题满分12分)已知指数函数满足:,又定义域为的函数是奇函数.
(1)确定的解析式;
(2)求的值;
(3)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(1) 设 ,则,
a=2, , -------------------------------2分
(2)由(1)知:,
因为是奇函数,所以=0,即 ,
∴, 又,
; ………………6分
(3)由(2)知,
易知在R上为减函数. 又因是奇函数,从而不等式:
ks5u
等价于=,
因为减函数,由上式得:,………………10分
即对一切有:,
从而判别式 …………12分
20. (本题15分)已知奇函数的定义域为R,当.
(1)求函数的解析式,并判断函数在R上的单调性(不需证明,只需给出结论);
(2)对于函数是否存在实数m,使对所有都成立?若存在,求出符合条件的所有实数m的范围;若不存在,说明理由.
参考答案:
(1)
(2)
,
恒成立
令
,
21. (1)化简;
(2)已知且,求的值.
参考答案:
22. (本小题满分12分)
我舰在敌岛A处南偏西50°的B处,发现敌舰正离开A岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行,我舰要用2小时的时间追赶敌舰,设图中的处是我舰追上敌舰的地点,且已知AB距离为12海里.
(1)求我舰追赶敌舰的速度;
(2)求∠ABC的正弦值.[来源
参考答案:
(1)在△ABC中,由已知,AC=10×2=20(海里),AB=12(海里),
∠BAC=180°-50°-10°=120°. ………………………………………………1分
由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 120°=784, ………………4分
∴BC=28海里, ……………………………………………………………5分
∴v=14海里/小时. …………………………………………………………6分
(2)在△ABC中,根据正弦定理,得
……………………………………9分
所以.…………………11分
故∠ABC的正弦值是.…………………………………………………12分