山东省济宁市东方中学高二数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若在上是减函数,则b的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
2. 已知圆的方程为,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0),且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点的轨迹方程为( )
A、(y≠0) B、(y≠0)
C、(x≠0) D、(x≠0)
参考答案:
B
略
3. 若是真命题,是假命题,则( )
A.是真命题 B.是假命题
C.是真命题 D.是真命题
参考答案:
D
4. 下列命题中的假命题是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
5. 已知随机变量服从正态分布即,且,若随机变量,则( )
A.0.3413 B.0.3174 C.0.1587 D.0.1586
参考答案:
C
6. 对于实数a和b,定义运算“*”:设
,且关于x的方程为恰有三个互不相等的实数根x1、x2、x3,则x1·x2·x3的取值范围是
A.(,0) B.(,0) C.(0, ) D.(0, )
参考答案:
A
7. 已知满足,记目标函数的最大值为,最小值为,则
A.1 B.2 C.7 D.8
参考答案:
D
8. 已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( )
A.3 B.2 C.1 D.
参考答案:
A
9. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成,其中4个数字互不相同的牌照号码共有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
参考答案:
A
10. 等比数列中,, ,则的值是( )
A.14 B.18 C.16 D.20
参考答案:
C
,在等比数列中构成等比数列,
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f(x)=x3+ax在R上有两个极值点,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
a<0
考点: 利用导数研究函数的极值;函数的单调性与导数的关系;函数在某点取得极值的条件.
专题: 计算题.
分析: 题目中条件:“在R上有两个极值点”,利用导数的意义.即导函数有两个零点.从而转化为二次函数f′(x)=0的根的问题,利用根的判别式大于零解决即可.
解答: 解:由题意,f′(x)=3x2+a,
∵f(x)=ax3+x恰有有两个极值点,
∴方程f′(x)=0必有两个不等根,
∴△>0,即0﹣12a>0,
∴a<0.
故答案为:a<0.
点评: 本题主要考查函数的导数、极值等基础知识,三次函数的单调性可借助于导函数(二次函数)来分析.
12. 函数,若恒成立,则实数a的取值范围是
参考答案:
13. 在平面直角坐标系中,椭圆内接矩形面积的最大值为 .
参考答案:
略
14. 已知复数z=x+yi(x,y∈R,x≠0)且|z﹣2|=,则的范围为 .
参考答案:
考点:复数求模.
专题:计算题.
分析:利用复数的运算法则和模的计算公式、直线与圆有公共点的充要条件即可得出.
解答: 解:∵|z﹣2|=|x﹣2+yi|,,
∴.
∴(x﹣2)2+y2=3.
设,则y=kx.
联立,化为(1+k2)x2﹣4x+1=0.
∵直线y=kx与圆有公共点,
∴△=16﹣4(1+k2)≥0,解得.
∴则的范围为.
故答案为.
点评:熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式、直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键.
15. 已知,则p是q的____▲____条件.(填充分不必要、必要不充分,充分必要,既不充分也不必要)
参考答案:
充分不必要
16. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=(|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2),若?x∈R,f(x﹣1)≤f(x),则实数a的取值范围为 .
参考答案:
【考点】3R:函数恒成立问题;3K:函数奇偶性的判断;5A:函数最值的应用.
【分析】把x≥0时的f(x)改写成分段函数,求出其最小值,由函数的奇偶性可得x<0时的函数的最大值,由对?x∈R,都有f(x﹣1)≤f(x),可得2a2﹣(﹣4a2)≤1,求解该不等式得答案.
【解答】解:当x≥0时,
f(x)=,
由f(x)=x﹣3a2,x>2a2,得f(x)>﹣a2;
当a2<x≤2a2时,f(x)=﹣a2;
由f(x)=﹣x,0≤x≤a2,得f(x)≥﹣a2.
∴当x>0时,.
∵函数f(x)为奇函数,
∴当x<0时,.
∵对?x∈R,都有f(x﹣1)≤f(x),
∴2a2﹣(﹣4a2)≤1,解得:.
故实数a的取值范围是.
17. 已知双曲线的一条渐近线为,一个焦点为,则__________;__________.
参考答案:
;
解:双曲线渐近线为,
∴,
即,
∵,,
∴,.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款,旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申请总额不超过6000元.某大学2010届毕业生王某在本科期间共申请了元助学贷款,并承诺在毕业后年内(按个月计)全部还清.签约的单位提供的工资标准为第一年内每月元,第个月开始,每月工资比前一个月增加直到元.王某计划前个月每个月还款额为,第个月开始,每月还款额比前一月多元.
(Ⅰ)用和表示王某第个月的还款额;
(Ⅱ)若王某恰好在第36个月(即毕业后三年)还清贷款,求的值;
(Ⅱ)当时,王某将在第几个月还清最后一笔贷款?他当月工资的余额是否能满足每月元的基本生活费?(参考数据:)
参考答案:
解:(Ⅰ) ……………………4分
(Ⅱ)依题意,从第13个月开始,每个月的还款额为构成等差数列,其中,公差为.
从而,到第个月,王某共还款 …………………… 6分
令,解之得(元).
即要使在三年全部还清,第13个月起每个月必须比上一个月多还元. ………………8分
(Ⅲ)设王某第个月还清,则应有
整理可得,解之得,取. …………10分
即王某工作个月就可以还清贷款.这个月王某的还款额为
(元)
第32个月王某的工资为元. ……………………11分
因此,王某的剩余工资为,能够满足当月的基本生活需求. ……… 12分
19. 如图,AB是圆O的直径,C是圆O上不同于A,B的一点,PA⊥平面ABC,E是PC的中点,,PA=AC=1.
(1)求证:AE⊥PB;
(2)求二面角A﹣PB﹣C的正弦值.
参考答案:
【考点】二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】(1)由线面垂直得PA⊥BC,由圆O的直径,得AC⊥BC,从而AE?平面PAC,进而BC⊥AE,由等腰三角形性质得AE⊥PC,由此能证明AE⊥PB.
(2)过A作AF⊥PB交PB于F,连接EF,推导出∠AFE是二面角A﹣PB﹣C的平面角,由此能求出二面角A﹣PB﹣C的正弦值.
【解答】证明:(1)∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC
∴PA⊥BC,
又AB是圆O的直径,C是圆O上不同于A,B的一点
∴∠ACB=90°,即AC⊥BC,又PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC,又AE?平面PAC
∴BC⊥AE…
∵PA=AC,E是PC的中点
∴AE⊥PC,又BC∩PC=C
∴AE⊥平面PBC,又PB?平面PBC
∴AE⊥PB. …
解:(2)过A作AF⊥PB交PB于F,连接EF
又由(1)得AE⊥PB,AE∩AF=A
∴PB⊥平面AEF,又EF?平面AEF
∴PB⊥EF,又AF⊥PB
∴∠AFE是二面角A﹣PB﹣C的平面角…
∵在Rt△PAC中,PA=AC=1,则,
在Rt△PAB中,PA=1,,同理得
∴在Rt△AEF中,
故二面角A﹣PB﹣C的正弦值为.…
20. (本小题满分12分)已知甲、乙、丙、丁、戊、己等6人.(以下问题用数字作答)
(1)邀请这6人去参加一项活动,必须有人去,去几人自行决定,共有多少种不同的情形?
(2)这6人同时加入6项不同的活动,每项活动限1人,其中甲不参加第一项活动,乙不参加第三项活动,共有多少种不同的安排方法?
(3)将这6人作为辅导员安排到3项不同的活动中,每项活动至少安排1名辅导员;求丁、戊、己恰好被安排在同一项活动中的概率.
参考答案:
(1)
故共有63种不同的去法 ……4分
(2)
故共有504种不同的安排方法 ……… 8分
(3)
故丙、戊恰好被安排在一项活动中的概率为 …… 12分
21. (本小题满分16分)设是定义在的可导函数,且不恒为0,记.若对定义域内的每一个,总有,则称为“阶负函数”;若对定义域内的每一个,总有,则称为“阶不减函数”(为函数的导函数).
(1)若既是“1阶负函数”,又是“1阶不减函数”,求实数的取值范围;
(2)对任给的“阶不减函数”,如果存在常数,使得恒成立,试判断是否为“阶负函数”?并说明理由.
参考答案:
22. (本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
动点与点的距离和它到直线的距离相等,记点的轨迹为曲线.
(1) 求曲线的方程;
(2) 设点2,动点在曲线上运动时,的最短距离为,求的值以及取到最小值时点的坐标;
(3) 设为曲线的任意两点,满足(为原点),试问直线是否恒过一个定点?如果是,求出定点坐标;如果不是,说明理由.
参考答案:
(1) 根据抛物线的定义可知, 动点的轨迹是抛物线
所以曲线C的方程为x2=4y;……………………………………………………………4分
(2) 设点T(x0, y0), x02=4y0 (y0≥0),
|AT|==,
a–2>0,则当y0=a–2时,|AT|取得最小值为2,
2=a–1, a2–6a+5=0,a=5或a=1 (舍去),
所以y0=a–2=3,x0=?2,所以T坐标为(?2, 3);……………………………10分
(3) 显然直线OP1、OP2的斜率都必须存在,记为k,,
,解之得P1(,),同理P2(–4k, 4k2),
直线P1P2的斜率为,直线P1P2方程为:
整理得:k(y–4)+(k2–1)x=0,所以直线P1P2恒过点(0, 4)………………………………16分