福建省宁德市柘荣第三中学高三数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知f满足f(ab)=f(a)+ f(b),且f(2)=,那么等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
2. 对于空间的一条直线m和两个平面,下列命题中的真命题是
A.若则 B. .若则
C.若则 D. 若则
参考答案:
【答案解析】C 解析:若则平面可能平行可能相交,所以A,B是假命题;显然若则成立,故选C.
【思路点拨】根据线面平行的性质,线面垂直的性质得结论.
3. 已知,,则的值为
(A). (B). (C). (D).
参考答案:
C
略
4. 在等比数列{an}中,若,则( )
A. B. C. 2 D. 4
参考答案:
D
【分析】
由等比数列性质得q,即可求解
【详解】,则
故选:D
【点睛】本题考查等比数列的运算及基本性质,熟记公式是关键,是基础题
5. 函数的最大值与最小值之和为( )。
(A) (B) 0
(C) (D)
参考答案:
A
6. 已知椭圆(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x﹣y+5=0,弦的中点坐标是M(﹣4,1),则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】设出以M为中点的弦的两个端点的坐标,代入椭圆的方程相减,把中点公式代入,可得弦的斜率与a,b的关系式,从而求得椭圆的离心率.
【解答】解:设直线x﹣y+5=0与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2),
由x1+x2=﹣8,y1+y2=2,
直线AB的斜率k==1,
由,两式相减得: +=0,
∴=﹣×=1,
∴=,
由椭圆的离心率e===,
故选:D.
7. 函数f(x)在定义域R上不是常函数,且f(x)满足条件,对任何x∈R,都有f(x+2)=f(2﹣x),f(1+x)=﹣f(x),则f(x)是( )
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数
参考答案:
B
【考点】3K:函数奇偶性的判断.
【分析】根据对任意x∈R,都有f(2+x)=f(2﹣x),f(1+x)=﹣f(x),知f(2+x)=f[1+(1+x)]=﹣f(1+x)=f(x),f(2﹣x)=f[1+(1﹣x)]=﹣f(1﹣x)=﹣f[1+(﹣x)]=f(﹣x),故f(x)为偶函数,由函数f(x)在定义域R上不是常函数易得函数f(x)不可能为奇函数,即可得答案.
【解答】解:∵对任意x∈R,都有f(1+x)=﹣f(x)
∴f(2+x)=f[1+(1+x)]=﹣f(1+x)=f(x),f(2﹣x)=f[1+(1﹣x)]=﹣f(1﹣x)=﹣f[1+(﹣x)]=f(﹣x)
又∵对任意x∈R,都有f(2+x)=f(2﹣x)
∴f(x)=f(﹣x)
故f(x)为偶函数
又∵既是奇函数又是偶函数只有常数函数,函数f(x)在定义域R上不是常函数
∴函数f(x)不可能为奇函数
故选B
【点评】本题考查了函数奇偶性的判断以及变量整体代入法,属于基础题.
8. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω>0,0<φ<),若f()=﹣f(0),则ω的最小值为( )
A. B.1 C.2 D.
参考答案:
A
【考点】正弦函数的图象.
【分析】根据f()=﹣f(0),代入f(x)建立关系,0<φ<,可得,﹣<﹣φ<0,那么令π≤ω+φ,即可求解ω范围.可得ω的最小值.
【解答】解:函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω>0,0<φ<),
∵f()=﹣f(0),即sin(﹣φ)=sin(ω×+φ),
∵0<φ<,
∴﹣<﹣φ<0,
那么令π<ω×+φ,
可得:φ.
令,解得:ω=.
故选:A.
9. 如图,一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截,截面是一个椭圆,则该椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】平面与圆柱面的截线.
【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】利用已知条件,求出题意的长半轴,短半轴,然后求出半焦距,即可求出题意的离心率.
【解答】解:因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截,其截口是一个椭圆,
则这个椭圆的短半轴为:R,长半轴为: =,
∵a2=b2+c2,∴c=,
∴椭圆的离心率为:e==.
故选:A.
【点评】本题考查椭圆离心率的求法,注意椭圆的几何量关系的正确应用,考查计算能力.
10. 集合,,若,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
【知识点】集合的运算A1
D因为 ,,所以,即,故选D.
【思路点拨】由集合的运算直接计算即可.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫做格点.若函数的图象恰好经过k个格点,则称函数为k阶格点函数. 已知下列函数:①;②;③;④.则其中为一阶格点函数的序号为 .(写出所有正确命题的序号)
参考答案:
②④
12.
为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区100名年龄为17岁~18岁的男生体重(kg),得到频率分布直方图如图所示. 据图可得这100名学生中体重在范围[58.5,74.5]内的学生人数是 .
参考答案:
答案:89
13. 如图,在Rt△ADE中,是斜边AE的中点,以为直径的圆O与边DE相切于点C,若 AB=3,则线段CD的长为 .
参考答案:
14. 已知是虚数单位,则▲.
参考答案:
【知识点】复数的基本运算.L4
解析:,故答案为。
【思路点拨】在分式的分子分母同时乘以即可。
15. 【题文】已知以为周期的函数,其中。若方程恰有5个实数解,则的取值范围为 .
参考答案:
16. 设为定义在上的奇函数,当时,(为常数),则 ;
参考答案:
-3
17. 不等式的解集是
参考答案:
原不等式等价为,即,所以不等式的解集为。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 求圆被直线(是参数)截得的弦长.
参考答案:
将极坐标方程转化成直角坐标方程:
即:,即; ……2分
即: , ………………………….4分
, ……………………………………6分
即直线经过圆心,所以圆被直线截得的弦长为 ………………7分
19. 已知椭圆的离心率为,短轴长为2.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若圆O:x2+y2=1的切线l与曲线E相交于A、B两点,线段AB的中点为M,求|OM|的最大值.
参考答案:
【考点】K5:椭圆的应用.
【分析】(I)根据条件列方程组解出a,b即可得出椭圆的方程;
(II)设直线l方程为x=my+t,联立方程组消元,利用根与系数的关系求出M的坐标,根据距离公式求出|OM|的最值.
【解答】解:( I)由题意得,解得a=2,b=1.
∴椭圆C的标准方程.
( II)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
若直线l的斜率为0,则l方程为y=±1,此时直线l与椭圆只有1个交点,不符合题意;
设直线l:x=my+t.
∵l与圆O相切,∴,即t2=m2+1;
联立方程组,消去x,得(m2+4)y2+2mty+t2﹣4=0,
则△=4m2t2﹣4(t2﹣4)(m2+4)=16(m2﹣t2+4)=48>0,
∴,∴,,即,
∴,
设x=m2+4,则x≥4,,
∴当x=8时等号成立,|OM|取得最大值=.
20. (本小题满分13分)
已知函数.
(1)若a=l,求在上的最大值;
(2)利用(1)的结论证明:对任意的正整数n,不等式都成立:
(3)是否存在实数a(a>0),使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根?若存在,请求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
参考答案:
略
21. 已知四边形ABCD是等腰梯形,AB=3,DC=1,∠BAD=45°,DE⊥AB(如图1).现将△ADE沿DE折起,使得AE⊥EB(如图2),连接AC,AB,设M是AB的中点.
(1)求证:BC⊥平面AEC;
(2)判断直线EM是否平行于平面ACD,并说明理由.
参考答案:
【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
【分析】(1)在图1中,过C作CF⊥EB,连接CE,证明BC⊥CE,在图2中,利用AE⊥EB,AE⊥ED,可证AE⊥平面BCDE,从而可得AE⊥BC,即可证明BC⊥平面AEC
(2)用反证法.假设EM∥平面ACD,从而可证面AEB∥面AC,而A∈平面AEB,A∈平面ACD,与平面AEB∥平面ACD矛盾,故可得结论.
【解答】(1)证明:在图1中,过C作CF⊥EB
∵DE⊥EB,∴四边形CDEF是矩形,
∵CD=1,∴EF=1.
∵四边形ABCD是等腰梯形,AB=3,∴AE=BF=1.
∵∠BAD=45°,∴DE=CF=1.
连接CE,则CE=CB=,
∵EB=2,∴∠BCE=90°,
∴BC⊥CE.
在图2中,∵AE⊥EB,AE⊥ED,EB∩ED=E,
∴AE⊥平面BCDE.
∵BC?平面BCDE,∴AE⊥BC.
∵AE∩CE=E,∴BC⊥平面AEC.
(2)解:用反证法.假设EM∥平面ACD.
∵EB∥CD,CD平面ACD,EB平面ACD,
∴EB∥平面ACD.∵EB∩EM=E,∴面AEB∥面ACD
而A∈平面AEB,A∈平面ACD,与平面AEB∥平面ACD矛盾.
∴假设不成立,∴EM与平面ACD不平行.
22. (本小题满分12分)在中,内角的对边分别为,已知
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求的面积.
参考答案:
略