福建省泉州市德化县第五中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设函数的反函数为则( )
A.0 B.1 D.2
参考答案:
A
略
2. 已知为虚数单位,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
3. 已知命题p:?x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)≥0,则¬p是( )
A.?x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)≤0 B.?x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)≤0
C.?x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)<0 D.?x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)<0
参考答案:
C
【考点】命题的否定.
【分析】由题意,命题p是一个全称命题,把条件中的全称量词改为存在量词,结论的否定作结论即可得到它的否定,由此规则写出其否定,对照选项即可得出正确选项
【解答】解:命题p:?x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)≥0是一个全称命题,其否定是一个特称命题,
故?p:?x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)<0.
故选:C.
【点评】本题考查命题否定,解题的关键是熟练掌握全称命题的否定的书写规则,本题易因为没有将全称量词改为存在量词而导致错误,学习时要注意准确把握规律.
4. 函数的图象大致是( )
参考答案:
C
略
5. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数, 且当x<0时, f(x)=3x, 则f()的值为
A.-2 B. C. D. 2
参考答案:
B
略
6. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1,F2,点P是两曲线的一个公共点,又分别是两曲线的离心率,若PF1PF2,则的最小值为 ( )
A. B.4 C. D.9
参考答案:
A
7. 已知集合,则 ( )
A.(0,1) B.(1,2) C.( ∞,l)U(0,+∞) D.(∞,-l)U(l,+∞)
参考答案:
B
略
8. 已知,则数列是 ( )
A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列
参考答案:
A
9. 抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
10. 已知是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列命题:
①若; ②若;
③如果相交;
④若
其中正确的命题是 ( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 直线l:x+λy+2﹣3λ=0(λ∈R)恒过定点 ,P(1,1)到该直线的距离最大值为 .
参考答案:
(﹣2,3),.
【考点】过两条直线交点的直线系方程.
【分析】直线l:x+λy+2﹣3λ=0(λ∈R)即λ(y﹣3)+x+2=0,令,解出可得直线l恒过定点Q(﹣2,3),P(1,1)到该直线的距离最大值=|PQ|.
【解答】解:直线l:x+λy+2﹣3λ=0(λ∈R)即λ(y﹣3)+x+2=0,
令,解得x=﹣2,y=3.
∴直线l恒过定点Q(﹣2,3),
P(1,1)到该直线的距离最大值=|PQ|==.
故答案为:(﹣2,3),.
【点评】本题考查了直线系方程的应用、两点之间的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
12. 由曲线,直线轴所围成的图形的面积为 ▲ .
参考答案:
略
13. 已知函数则=_______________.
参考答案:
略
14. 已知函数,则 .
参考答案:
略
15. 已知点是的重心,( , ),若,,则的最小值是 .
参考答案:
16. 如果对于任意实数表示不小于的最小整数,例如,那么是的 条件.
参考答案:
必要不充分条件
略
17. 设全集U=R,集合M=,N=,则(M)∩N=__________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)已知函数.
(1)若;
(2)若;
(3)证明.
参考答案:
(1),
若
若
当
综上得:…………6分
(2)由(1)知,
………………………………………………………………… 9分
(3)由(2)可知,当
,
…………………… 12分
,
…………… 14分
19. 在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)已知射线,若m与圆C交于点A(异于点O),m与直线l交于点B,求的最大值.
参考答案:
(1);(2)3
【分析】
(1)先由参数方程消去参数,得到普通方程,再由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式,即可求出结果;
(2)将分别代入圆的极坐标方程,和直线的极坐标方程,得到,,根据三角函数的性质,即可求出结果.
【详解】(1)由圆的参数方程为消去参数,
得到圆普通方程为,即,
所以其极坐标方程为,即;
(2)由题意,将代入圆的极坐标方程得;
将代入线的极坐标方程,得,
所以
,
因为,
所以,
因此,当,即时,取得最大值3.
【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化,以及直角坐标方程与极坐标方程的互化,熟记公式即可,属于常考题型.
20. 某批发市场对某种商品的日销售量(单位:)进行统计,最近50天的统计结果如下:
日销售量
1
1.5
2
频数
10
25
15
频率
0.2
(1)求表中的的值;(2)若以上表频率作为概率,且每天的销售量相互独立.求:
① 5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5的概率;
② 已知每吨该商品的销售利润为2千元,表示该种商品两天销售利润的和(单位:千元)求的分布列和期望.
参考答案:
(1)由题意知: -------------2分
(2)①依题意,随机选取一天,销售量为1.5的概率,设5天中该种商品有天的销售量为1.5,则, -------------5分
②的可能取值为,则:
,
,的分布列为:
4
5
6
7
8
0.04
0.2
0.37
0.3
0.09
-------------10分
所以:
-------------12分
略
21. (本小题满分10分)已知对任意恒成立(其中,求的最大值.
参考答案:
法二(导数)
令 则即求函数的导数,椭圆的上半部分
(法三、柯西不等式)由柯西不等式可知:
,当且仅当,即及时等号成立.即当时,a+b最大值为2.
综上可知.
22. 在平面直角坐标系中,以O为极点,x轴为正半轴建立极坐标系,取相同的长度单位,若曲线C1的极坐标方程为ρsin(θ﹣)=3,曲线C2的参数方程为(θ为参数).
(1)将曲线C1的极坐标方程化为直角方程,C2的参数方程化为普通方程;
(2)设P是曲线C1上任一点,Q是曲线C2上任一点,求|PQ|的最小值.
参考答案:
【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.
【分析】(1)由曲线C1的极坐标方程为=3,能求出曲线C1的直角坐标方程,由cos2θ+sin2θ=1,能求出曲线C2的普通方程.
(2)曲线C2:x2+(y+2)2=4是以(0,﹣2)为圆心,以2为半径的圆,求出圆心(0,2)到曲线C1的距离d,由|PQ|的最小值为:d﹣r,能求出结果.
【解答】解:∵曲线C1的极坐标方程为ρsin(θ﹣)=3,
∴=3,
∴曲线C1的直角坐标方程为.
∵曲线C2的参数方程为(θ为参数),
∴曲线C2的普通方程为:x2+(y+2)2=4.
(2)∵曲线C2:x2+(y+2)2=4是以(0,﹣2)为圆心,以2为半径的圆,
圆心(0,2)到曲线C1:的距离d==4,
P是曲线C1上任一点,Q是曲线C2上任一点,
∴|PQ|的最小值为:d﹣r=4﹣2=2.
【点评】本题考查曲线的极坐标方程、直角坐标方程、参数方程、普通方程的互化,考查两点间距离的最小值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意点到直线距离公式的合理运用.