湖南省衡阳市县岘山中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数,则= ( )
、 、 、 、
参考答案:
B
2. ( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
3. 在()n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式的常数项为( )
A.﹣7 B.7 C.﹣28 D.28
参考答案:
B
【考点】二项式系数的性质.
【分析】利用二项展开式的中间项的二项式系数最大,列出方程求出n;利用二项展开式的通项公式求出通项,令x的指数为0求出常数项.
【解答】解:依题意, +1=5,
∴n=8.
二项式为()8,其展开式的通项
令解得k=6
故常数项为C86()2(﹣)6=7.
故选B
4. 已知双曲线:的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2,则抛物线的方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
5. 将函数的图象向左平移个单位后,得到的图象可能为( )
参考答案:
D.
试题分析:将函数的图象向左平移个单位后,得到的函数解析式为,故选D.
考点:1.图象的平移变换;2.三角函数的图象与性质.
6. 已知函数f(x)=,若存在实数x1,x2,x3,x4满足x1<x2<x3<x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则x1x2(x3﹣1)(x4﹣1)的取值范围是( )
A.? B.(9,21) C.(21,25) D.(9,25)
参考答案:
B
【考点】分段函数的应用.
【专题】数形结合;函数思想;转化法;函数的性质及应用.
【分析】画出函数f(x)的图象,确定x1x2=1,x3+x4=12,2<x3<4,8<x4<10,利用一元二次函数的性质进行求解即可.
【解答】解:当2≤x≤10,时,f(x)=sinx,
则函数的图象如图,
则0<x1<1<x2<2<x3<x4,且x3,x4,关于x=6对称,
∵f(x1)=f(x2),
∴﹣log2x1=log2x2,
∴log2x1x2=0,
∴x1x2=1,
∵f(x3)=f(x4),
∴x3+x4=12,2<x3<x4<10
∴x1x2(x3﹣1)(x4﹣1)=(x3﹣1)(x4﹣1)=x3x4﹣(x3+x4)+1=x3x4﹣11,
∵2<x3<4,8<x4<10,x3+x4=12,
∴x3=﹣x4+12,
则x3x4=(12﹣x4)x4=﹣(x4)2+12x4=﹣(x4﹣6)2+36,
∵8<x4<10,
∴20<x3x4<32
则9<x3x4﹣11<21,
故选:B.
【点评】本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,难度较大.
7. 函数y=sin(πx+φ)(φ>0)的部分图象如图所示,设P是图象的最高点,A,B是图象与x轴的交点,则tan∠APB=( )
A.10 B.8 C. D.
参考答案:
B
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;两角和与差的正切函数.
【专题】计算题.
【分析】由解析式求出函数的周期与最值,做出辅助线过p作PD⊥x轴于D,根据周期的大小看出直角三角形中直角边的长度,解出∠APD与∠BPD的正切,利用两角和的正切函数求出tan∠APB.
【解答】解:函数y=sin(πx+φ)
∴T=,最大值为1,
过p作PD⊥x轴于D,则AD是四分之一个周期,有AD=,DB=,DP=1,
在直角三角形中有tan∠APD=与tan∠BPD=,
所以tan∠APB=tan(∠APD+∠BPD)==8.
故选B.
【点评】本题考查三角函数的图象的应用与两角和的正切函数公式的应用,本题解题的关键是看出函数的周期,把要求正弦的角放到直角三角形中,利用三角函数的定义得到结果,本题是一个中档题目.
8. 已知三个正数a,b,c满足,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
9. 已知复数,则z的虚部为( )
A.1 B.-1 C. i D. -i
参考答案:
A
10. (5分)(2011?安徽)若直线 3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心,则a的值为( )
A.
﹣1
B.
1
C.
3
D.
﹣3
参考答案:
B
圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为(﹣1,2),
代入直线3x+y+a=0得:﹣3+2+a=0,
∴a=1,
故选 B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若(2x+)dx=3+ln2(a>1),则a的值是 .
参考答案:
2
【考点】微积分基本定理.
【专题】计算题.
【分析】根据题意找出2x+的原函数,然后根据积分运算法则,两边进行计算,求出a值;
【解答】解: =(x2+lnx)=a2+lna﹣(1+ln1)=3+ln2,a>1,
∴a2+lna=4+ln2=22+ln2,解得a=2,
故答案为:2;
【点评】此题主要考查定积分的计算,解题的关键是找到被积函数的原函数,此题是一道基础题.
12.
直线过点,若可行域的外接圆直径为.则实数的值是.
参考答案:
答案:
13. 一个圆柱的轴截面是正方形,其侧面积与一个球的表面积相等,那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_____.
参考答案:
试题分析:设圆柱的高为2,由题意圆柱的侧面积为2×2π=4π,圆柱的体积为,则球的表面积为4π,故球的半径为1;球的体积为,∴这个圆柱的体积与这个球的体积之比为,故填
考点:本题考查了球与圆柱的体积、表面积公式
点评:此类问题主要考查学生的计算能力,正确利用题目条件,面积相等关系,挖掘题设中的条件,解题才能得心应手
14. 已知x5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+a4(x+1)4+a5(x+1)5,则a4= .
参考答案:
﹣5
【考点】二项式系数的性质.
【分析】将x5转化[(x+1)﹣1]5,利用二项式定理展开,使之与f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5进行比较可得所求.
【解答】解:x5=[(x+1)﹣1]5
=(x+1)5+(x+1)4(﹣1)+(x+1)3(﹣1)2
+(x+1)2(﹣1)3+(x+1)1(﹣1)4+(﹣1)5
而x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,
所以a4=×(﹣1)=﹣5.
故答案为:﹣5.
【点评】本题主要考查了二项式定理的应用,解题的关键是利用x5=[(x+1)﹣1]5展开,是基础题目.
15. 某同学在求方程的近似解(精确到0.1)时,设,发现,,他用“二分法”又取了4个值,通过计算得到方程的近似解为,那么他所取的4个值中的第二个值为____▲___.
参考答案:
1.75
16. 某工厂生产某种产品固定成本为2000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元,又知总收入k是单位产品数Q的函数,k(Q)=40Q-Q2,则总利润L(Q)的最大值是________.
参考答案:
2500万元
17. 已知椭圆:,点与的焦点不重合,若关于的两焦点的对称点分别为,,线段的中点在上,则 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,点F是椭圆的左焦点,定点P的坐标为(-8,0).线段为椭圆的长轴,已知,且该椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点P的直线与椭圆相交于两点A、B.证明:直线FA与FB的斜率之和为0;
(3)记的面积为,求的最大值.
参考答案:
【知识点】椭圆及其几何性质H5
【答案解析】(1)(2)略(3)
解法一:
(1) 又离心率,
所求椭圆的标准方程为:
(2)设直线FA、FB、斜率分别为、、
当AB的斜率为0时,显然有命题成立,
当AB的斜率不为0时,可设AB的方程为
代入椭圆方程整理得:
判别式
而
(3)
当且仅当,即(此时判别式)时取等号,
的面积的最大值为.
解法二:
(1) 又离心率,
所求椭圆的标准方程为:
(2)设直线FA、FB、AB的斜率分别为、、
当时,显然有命题成立,
当时,可设AB的方程为
代入椭圆方程整理得:
判别式
,
而
(3)
当且仅当,即(此时判别式)时取等号,
的面积的最大值为.
【思路点拨】利用椭圆中a b c 的关系求出方程,直线和椭圆方程联立求出最大值。
19. (本小题满分12分)
在中,角所对应的边分别为,为锐角且,
.
(Ⅰ)求角的值;
(Ⅱ)若,求的值.
参考答案:
解:(Ⅰ)∵为锐角, ∴ --------------2分
∵,,∴ --------------3分
∵,∴
∴, --------------4分
∴ --------------6分
(Ⅱ)由正弦定理 --------------8分
∴,解得 --------------10分
∴ --------------12分
略
20. (本小题满分12分)为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似的表示为:,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?
参考答案:
(1)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为:
,
当且仅当,即时,
才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为元.
(2)设该单位每月获利为,
则
,
因为,所以当时,有最大值.
故该单位不获利,需要国家每月至少补贴元,才能不亏损.
21. 已知函数.
(1)若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)若函数f(x)在处的切线平行于x轴,是否存在整数k,使不等式在时恒成立?若存在,求出k的最大值;若不存在,请说明理由.
参考答案:
(1)a;(2)不存在,理由见解析.
【分析】
(1)对原函数求导,根据导数和函数的单调性的关系即可求出的取值范围;
(2)问题转化为即在时恒成立,令,求导后分和求函数的单调区间,进一步求得函数的最值得答案.
【详解