福建省漳州市何坊中学2022-2023学年高二数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 某数学老师在分析上期末考试成绩时发现:本班的数学成绩(x)与总成绩(y)之间满足线性回归方程:,则下列说法中正确的是( )
A.某同学数学成绩好,则总成绩一定也好
B.若该班的数学平均分为110分,则总成绩平均分一定为530分
C.若某同学的数学成绩为110分,则他的总成绩一定为530分
D.本次统计中的相关系数为1.8
参考答案:
B
【考点】BK:线性回归方程.
【分析】根据两个变量之间线性回归方程的定义与性质,对选项中的命题判断正误即可.
【解答】解:对于A,某同学数学成绩好,根据回归方程预测他的总成绩可能也好,∴A错误;
对于B,根据回归直线过样本中心点,当=110时, =1.8×110+332=530,∴B正确;
对于C,某同学的数学成绩为110分时,预测他的总成绩可能为530分,∴C正确;
对于D,在线性回归方程中,相关系数r∈(0,1),不是1.8,∴D错误.
故选:B.
【点评】本题考查了线性回归方程的定义与应用问题,是基础题.
2. 若中心在原点, 焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18, 且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
3. 从装有3个红球,2个白球的袋中任取3个球,则所取3个球中至多有1个白球的概率是( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
A
4. 函数的单调递增区间是( )
A、 B、(0,3) C、(1,4) D、
参考答案:
D
略
5. 已知函数,则 ( )
(A)在(2,+)上是增函数 (B)在(2,+)上是减函数
(C)在(2,+)上是增函数 (D)在(2,+)上是减函数
参考答案:
D
6. 双曲线的渐近线方程为( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
B
略
7. 下列框图中,属于工序流程图的是
参考答案:
C
略
8. 已知双曲线的左、右焦点分别是、,其一条渐近线方程为,点在双曲线上.则·= ( )
A. -12 B. -2 C. 0 D. 4
参考答案:
C
略
9. 函数f(x)=的单调增区间是( )
A.(﹣∞,1) B.(1,+∞) C.(﹣∞,1),(1,+∞) D.(﹣∞,﹣1),(1,+∞)
参考答案:
C
【考点】3D:函数的单调性及单调区间.
【分析】分离常数可以得到,从而根据反比例函数的单调性便可得出f(x)的单调增区间.
【解答】解:;
∴f(x)的图象是由y=的图象沿x轴向右平移1个单位,然后沿y轴向下平移一个单位得到;
而y=的单调增区间为(﹣∞,0),(0,+∞);
∴f(x)的单调增区间是(﹣∞,1),(1,+∞).
故选C.
10. 设集合,则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )
A B C D
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设f″(x)是函数y=f(x)的导函数f′(x)的导数,定义:若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),且方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的对称中心.有同学发现“任何一个三次函数都有对称中心”,请你运用这一发现处理下列问题:
设,则= .
参考答案:
2015
【考点】导数的运算;函数的值.
【专题】整体思想;综合法;导数的概念及应用.
【分析】求出g(x)的对称中心,根据函数的中心对称特点将2015的函数值两两组合求出.
【解答】解:g″(x)=2x﹣1,令g″(x)=0得x=,g()=1.
∴g(x)的对称中心为(,1).
∴g()+g()=g()+g()=g()+g()=…=g()+g()=2,
∴=1007×2+g()=1007×2+g()=2014+1=2015.
故答案为2015.
【点评】本题考查了导数的运算,函数求值,属于中档题.
12. 命题“对任意的x∈R,x3﹣x2+1≤0”的否定是 .
参考答案:
存在x∈R,x3﹣x2+1>0
【考点】命题的否定.
【专题】简易逻辑.
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.
【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,
所以命题“对任意的x∈R,x3﹣x2+1≤0”的否定是:存在x∈R,x3﹣x2+1>0.
故答案为:存在x∈R,x3﹣x2+1>0.
【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系.
13. 曲线在点处的切线方程为 .
参考答案:
C
略
14. 连掷两次骰子分别得到的点数为m和n,记向量与向量的夹角为,则的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
15. △ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,已知,a=2b,则b的值为 .
参考答案:
考点:解三角形.
专题:计算题.
分析:由c,cosC的值及a=2b,利用余弦定理即可列出关于b的方程,求出方程的解即可得到b的值.
解答: 解:由c=3,cosC=,a=2b,
根据余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得:
5b2﹣2b2=9,即b2=3,
所以b=.
故答案为:
点评:此题考查学生灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值,是一道基础题.
16. 椭圆 (a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.
若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______.
参考答案:
17. 容器中有A,B,C3种粒子,若相同种类的两颗粒子发生碰撞,则变成一颗B粒子;不同种类的两颗粒子发生碰撞,会变成另外一种粒子. 例如,一颗A粒子和一颗B粒子发生碰撞则变成一颗C粒子.现有A粒子10颗,B粒子8颗,C粒子9颗,如果经过各种两两碰撞后,只剩1颗粒子. 给出下列结论:
① 最后一颗粒子可能是A粒子
② 最后一颗粒子一定是C粒子
③ 最后一颗粒子一定不是B粒子
④ 以上都不正确
其中正确结论的序号是________.(写出所有正确结论的序号)
参考答案:
①③
【分析】
分析每一次碰撞粒子数量的变化规律,根据规律求解.
【详解】1、最后剩下的可能是A粒子
10颗A粒子两两碰撞,形成5颗B粒子;
9颗C粒子中的8个两两碰撞,形成4颗B粒子;
所有的17颗B粒子两两碰撞,剩下一颗B粒子;
这个B粒子与剩下的一颗C粒子碰撞形成A粒子。
2、最后剩下的可能是C粒子
10颗A粒子中的9颗与9颗C粒子两两碰撞,形成9颗B粒子;
所有的17颗B粒子两两碰撞,最后剩一颗B粒子;
这个B粒子与剩下的一颗A粒子碰撞形成C粒子。
3、最后剩下的不可能是B粒子
A、B、C三种粒子每一次碰撞有以下6种可能的情况:
A与A碰撞,会产生一颗B粒子,减少两颗A粒子;(B多1个,AC共减少两个)
B与B碰撞,会产生一颗B粒子,减少两颗B粒子;(B少1个,AC总数不变)
C与C碰撞,会产生一颗B粒子,减少两颗C粒子;(B多1个,AC共减少两个)
A与B碰撞,会产生一颗C粒子,减少A、B各一颗粒子。(B少1个,AC总数不变)
A与C碰撞,会产生一颗B粒子,减少A、C各一颗粒子。(B多1个,AC共减少两个)
B与C碰撞,会产生一颗A粒子,减少B、C各一颗粒子。(B少1个,AC总数不变)
可以发现如下规律:
(1)从B粒子的角度看:每碰撞一次,B粒子的数量增多一个或减少一个。题目中共有27颗粒子,经过26次碰撞剩一颗粒子,整个过程变化了偶数次,由于开始B粒子共有8颗,所以26次碰撞之后,剩余的B粒子个数必为偶数,不可能是1个。所以,最后剩下的不可能是B粒子。
(2)从A、C粒子的角度看:每次碰撞之后,A、C粒子总数或者不变、或者减少两个。题目中A、C粒子之和为19个,无论碰撞多少次,A、C粒子都没了是不可能的。所以,剩下的最后一颗粒子一定是A或C.
【点睛】本题考查逻辑推理,考查分析问题解决问题的能力,属于中档题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 一只口袋装有形状、大小都相同的6只球,其中有3只白球、2只红球和1只黄球.从中一次性随机摸出2只球,试求:
(1)2只球为“1红1黄”的概率;
(2)“恰有1只球是白球”的概率是“2只球都是白球”的概率的多少倍?
参考答案:
给三只白球编号为:1,2,3,;两只红球编号为:4,5;黄球编号为:6.
则从中一次性随机摸出2只球有:
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15种结果, ………………………2分
(1)记 “1红1黄”为事件A,则A发生的事件有:(4,6),(5,6)共2种结果,
所以. ……………………………6分
(2)记“恰有1只球是白球”为事件B,则B发生的事件有:(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)共9种结果,
所以. ……………………………10分
记“2只球都是白球”为事件C,则C发生的事件有:(1,2),(1,3),(2,3)共3种结果,
所以,
故“恰有1只球是白球”的概率是“2只球都是白球”的概率的3倍. ………14分
19. 如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,AC=BC,D、E、F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.
(1)证明:EF∥平面A1CD;
(2)证明:平面A1CD⊥平面ABB1A1.
参考答案:
【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
【分析】(1)根据线面平行的判定定理证明EF∥A1D即可证明EF∥平面A1CD;
(2)根据面面垂直的判定定理即可证明平面A1CD⊥平面ABB1A1.
【解答】证明:(1)连结DE,
∵D,E分别是AB,BC的中点
∴DE∥AC,DE=AC,
∵F为棱A1C1的中点.
∴A1F=A1C1,
∴A1F∥AC,
即DE∥A1F,DE=A1F,
∴四边形A1DEF为平行四边形,
∴A1D∥EF
又∵EF?平面A1CD,A1D?平面A1CD,
∴EF∥平面A1CD.
(2)∵A1A⊥平面ABC,CD?平面ABC,
∴AA1⊥CD,
∵AC=BC,D为AB的中点,
∴AB⊥CD,
∵A1A∩AB=A
∴CD⊥平面ABB1A1
∵CD?平面A1CD,