辽宁省沈阳市第八十二高级中学高二数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件=“取到的2个数之和为偶数”,事件
=“取到的2个数均为偶数”,则=
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
2. 执行下面的程序框图,如果输入的n是4,则输出的p是( )
A.8 B.5
C.3 D.2
参考答案:
C
3. 已知:,求z=x2+y2最小值为( )
A.13 B. C.1 D.
参考答案:
B
【考点】简单线性规划.
【专题】数形结合;数形结合法;不等式的解法及应用.
【分析】作出可行域,则Z表示可行域内得点到原点的距离的平方.
【解答】解:作出约束条件表示的可行域如图:
由图可知原点到可行域内点的最小距离为原点到直线2x+y﹣2=0的距离d=.
∴z=x2+y2最小值为()2=.
故选:B.
【点评】本题考查了简单的线性规划,根据z的几何意义寻找最小距离是关键.
4. ABCD为正方形,P为平面ABCD外一点,PD⊥AD,PD=AD=2,二面角P-AD-C的大小为60°,则P到AB的距离是 ( )
A. B. C. 2 D.
参考答案:
D
略
5. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )
A. 乙可以知道四人的成绩 B. 丁可以知道四人的成绩
C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩
参考答案:
D
【分析】
根据四人所知只有自己看到,老师所说及最后甲说话,继而可以推出正确答案
【详解】解:四人所知只有自己看到,老师所说及最后甲说话,
甲不知自己的成绩
→乙丙必有一优一良,(若为两优,甲会知道自己的成绩;若是两良,甲也会知道自己的成绩)
→乙看到了丙的成绩,知自己的成绩
→丁看到甲、丁也为一优一良,丁知自己的成绩,
给甲看乙丙成绩,甲不知道自已的成绩,说明乙丙一优一良,假定乙丙都是优,则甲是良,假定乙丙都是良,则甲是优,那么甲就知道自已的成绩了.给乙看丙成绩,乙没有说不知道自已的成绩,假定丙是优,则乙是良,乙就知道自己成绩.给丁看甲成绩,因为甲不知道自己成绩,乙丙是一优一良,则甲丁也是一优一良,丁看到甲成绩,假定甲是优,则丁是良,丁肯定知道自已的成绩了
故选:D.
【点睛】本题考查了合情推理的问题,关键掌握四人所知只有自己看到,老师所说及最后甲说话,属于中档题.
6. 某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是( )
A. 抽签法 B. 系统抽样法 C. 分层抽样法 D. 随机数法
参考答案:
C
按照各种抽样方法的适用范围可知,应使用分层抽样.选C
考点:本题考查几种抽样方法的概念、适用范围的判断,考查应用数学方法解决实际问题的能力.
7. 在中,,,,则解的情况( )
A.无解 B.有一解 C.有两解 D.不能确定
参考答案:
A
8. 下列命题中,正确的个数是
(1), (2)存在一个四边形没有外接圆
(3)每个对数函数都是单调函数 (4)任意素数都是奇数
A.2 B.1 C. 4 D. 3
参考答案:
A
9. 若直角坐标平面内的两个不同的点M、N满足条件
①M、N都在函数y=f(x)的图象上;
②M、N关于原点对称.
则称点对[M,N]为函数y=f(x)的一对“友好点对”(注:点对[M,N]与[N,M]为同一“友好点对”).已知函数f(x)=,此函数的“友好点对”有( )
A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
参考答案:
C
【考点】进行简单的合情推理.
【分析】根据题意:“友好点对”,可知,欲求f(x)的“友好点对”,只须作出函数y=﹣x2﹣4x(x≤0)的图象关于原点对称的图象,看它与函数f(x)=log3x(x>0)交点个数即可.
【解答】解:根据题意:当x>0时,﹣x<0,
则f(﹣x)=﹣(﹣x)2﹣4(﹣x)=﹣x2+4x,
则函数y=﹣x2﹣4x(x≤0)的图象关于原点对称的函数是y=x2﹣4x(x≥0)
由题意知,作出函数y=x2﹣4x(x≥0)的图象及函数f(x)=log3x(x>0)的图象如下图所示
由图可得两个函数图象共有两个交点
即f(x)的“友好点对”有:2个.
故选:C.
10. 数列是公差不为零的等差数列,并且是等比数列的相邻三项,若 ,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在空间直角坐标系中, 点P的坐标为(1, ),过点P作yOz平面的垂线PQ, 则垂足Q的坐标是________________.
参考答案:
(0, )
12. 设分别为椭圆的焦点,点在椭圆上,若;则点的坐标是 __________ .
参考答案:
(0. 1)或(0. -1)
13. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,……,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为4,抽到的32人中,编号落入区间[1,400]的人做问卷A,编号落入区间[401,720]的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为 .
参考答案:
8
∵960÷32=30,
∴由题意可得抽到的号码构成以4为首项、以30为公差的等差数列,
由1≤30n﹣26≤720,n为正整数可得1≤n≤24,
∴做问卷C的人数为32﹣24=8,
故答案为:8.
14. 若向量的夹角为,,则 .
参考答案:
2
略
15. 我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道:问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,…,欲知为田几何.意思是已知三角形沙田的三边长分别为13,14,15里,求三角形沙田的面积.请问此田面积为 平方里.
参考答案:
84
【考点】正弦定理.
【分析】由题意画出图象,并求出AB、BC、AC的长,由余弦定理求出cosB,由平方关系求出sinB的值,代入三角形的面积公式求出该沙田的面积.
【解答】解:由题意画出图象:
且AB=13里,BC=14里,AC=15里,
在△ABC中,由余弦定理得,
cosB===,
所以sinB==,
则该沙田的面积:即△ABC的面积S=AB?BC?sinB==84.
故答案为:84.
16. 已知O(0,0,0),A(﹣2,2,﹣2),B(1,4,﹣6),C(x,﹣8,8),若OC⊥AB,则x=__________;若O、A、B、C四点共面,则x=__________.
参考答案:
16; 8
考点:平面的基本性质及推论.
专题:空间位置关系与距离.
分析:(1)先求出,的坐标,根据?=0,得到3x﹣16﹣32=0,解出即可.(2)由于四点A,B,C,O共面,可得存在实数λ,μ使得,解出即可.
解答:解:(1)∵=(x,﹣8,8),=(3,2,﹣4),
若OC⊥AB,则?=0,
∴3x﹣16﹣32=0,解得:x=16,;
(2)∵O(0,0,0),A(﹣2,2,﹣2),B(1,4,﹣6),C(x,﹣8,8),
∴=(﹣2,2,﹣2),=(1,4,﹣6),=(x,﹣8,8),
∵四点A,B,C,O共面,
∴存在实数λ,μ使得,=λ+μ,
∴(x,﹣8,8)=λ(﹣2,2,﹣2)+μ(1,4,﹣6),
∴,解得x=8,
故答案为:16; 8
点评:本题考查了向量垂直的性质,考查向量共面问题,是一道基础题.
17. 过点P(5,4)作与双曲线有且只有一个
公共点的直线共有 条 .
参考答案:
3
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知等差数列中,
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列前项和,求的值。
参考答案:
解:(1)∵∴
∴
(2)
∴ ∴或(舍)
略
19. (本小题满分12分) 已知函数的图像与的图象交于点,且在点处有公共切线。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)对任意,试比较与的大小.
参考答案:
(Ⅰ)依题意得 ① ……2分
又且与在点(1,0)处有公共切线,
② ……4分
由①②锝 ……6分
(Ⅱ)令则……7分
上为减函数 ……9分
……12分
20. 从原点O引圆的切线,切点为P,当m变化时,(1)求切点P的轨迹方程。(2)记P的轨迹为曲线C,判断直线与曲线C的位置关系,若相交,求出相交弦的长度。
参考答案:
解:(1)设切点P的坐标为(x,y),因为切线过原点,则 () ,
的圆心M的坐标为(m,3),
则 由于圆M与直线相切,所以
①
可化为②
由①②可得P的轨迹方程为
(2)由(1)知,曲线C的圆心为C(0,0),半径,圆心到直线的距离
d=2
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