山西省朔州市平鲁区第三中学高二数学文联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f(x)的定义域为R,且x3f(x)+x3f(﹣x)=0,若对任意x∈[0,+∞)都有3xf(x)+x2f'(x)<2,则不等式x3f(x)﹣8f(2)<x2﹣4的解集为( )
A.(﹣2,2) B.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) C.(﹣4,4) D.(﹣∞,﹣4)∪(4,+∞)
参考答案:
B
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】构造函数h(x)=x3f(x)﹣2x,根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集即可.
【解答】解:令h(x)=x3f(x)﹣2x,
则h′(x)=x[3xf(x)+x2f'(x)﹣2],
若对任意x∈[0,+∞)都有3xf(x)+x2f'(x)<2,
则h′(x)≤0在[0,+∞)恒成立,
故h(x)在[0,+∞)递减,
若x3f(x)+x3f(﹣x)=0,
则h(x)=h(﹣x),
则h(x)在R是偶函数,h(x)在(﹣∞,0)递增,
不等式x3f(x)﹣8f(2)<x2﹣4,
即不等式x3f(x)﹣x2<8f(2)﹣4,
即h(x)<h(2),
故|x|>2,解得:x>2或x<﹣2,
故不等式的解集是(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞),
故选:B.
【点评】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题,考查转化思想,构造函数g(x)是解题的关键,本题是一道中档题.
2. 函数的定义域为 ( )
参考答案:
C
3. 已知三个函数,,的零点依次为 则的大小关系为
参考答案:
C
4. 复数在复平面上的对应点的坐标是( )
A.(1,1) B. (﹣1,1) C. (﹣1,﹣1) D. (1,﹣1)
参考答案:
A
5. 甲、乙、丙、丁四人排成一队,其中甲、乙相邻且丙、丁不相邻的不同排法种数为( )
A、24 B、12 C、4 D、8
参考答案:
C
6. 下列抛物线中,焦点到准线的距离最小的是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
7. 已知集合,若,则-------( )
A. B. C. D.不能确定
参考答案:
C
略
8. 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )
A.所有不能被2整除的整数都是偶数
B.所有能被2整除的整数都不是偶数
C.存在一个不能被2整除的整数是偶数
D.存在一个能被2整除的整数不是偶数
参考答案:
D
【考点】命题的否定.
【分析】根据已知我们可得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应该是一个特称命题,根据全称命题的否定方法,我们易得到结论.
【解答】解:命题“所有能被2整除的数都是偶数”是一个全称命题
其否定一定是一个特称命题,故排除A,B
结合全称命题的否定方法,我们易得
命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应为
“存在一个能被2整除的整数不是偶数”
故选:D
9. 已知命题p:,总有,则¬p为( )
A、,使得 B、,使得
C、,总有 D、,总有
参考答案:
B
10. 曲线与坐标轴围成的面积是
A. 4 B. C. 3 D. 2
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知实数满足线性约束条件,则的取值范围是 .
参考答案:
略
12. 定义在上的偶函数满足:,且在上是增函数,下面关于的判断:
①是周期函数; ②的图象关于直线对称; ③在上是增函数; ④在上是减函数; ⑤.
其中正确的判断是__________________ (把你认为正确的判断的序号都填上).
参考答案:
①②⑤
13. (理)数列的前n项和+1,则=___________
参考答案:
-2
略
14. 设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=___________。
参考答案:
35
15. 有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 .
参考答案:
1和3
【考点】F4:进行简单的合情推理.
【答案】
【解析】
【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2,或1和3,分别讨论这两种情况,根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字,这样便可判断出甲卡片上的数字是多少.
【解答】解:根据丙的说法知,丙的卡片上写着1和2,或1和3;
(1)若丙的卡片上写着1和2,根据乙的说法知,乙的卡片上写着2和3;
∴根据甲的说法知,甲的卡片上写着1和3;
(2)若丙的卡片上写着1和3,根据乙的说法知,乙的卡片上写着2和3;
又甲说,“我与乙的卡片上相同的数字不是2”;
∴甲的卡片上写的数字不是1和2,这与已知矛盾;
∴甲的卡片上的数字是1和3.
故答案为:1和3.
【点评】考查进行简单的合情推理的能力,以及分类讨论得到解题思想,做这类题注意找出解题的突破口.
16. 已知点P(0,1)及抛物线y=x2+2,Q是抛物线上的动点,则|PQ|的最小值为 .
参考答案:
1
【考点】抛物线的简单性质.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】设点Q的坐标为(a,a2+2),则|PQ|2=a4+3a2+1,显然当a=0时,|PQ|的最小值为1.
【解答】解:设点Q的坐标为(a,a2+2),则|PQ|2=a2+(a2+1)2=a4+3a2+1,[来源:学科网]
故当a2=0,即a=0时,|PQ|2有最小值为1,故|PQ|的最小值为1,
故答案为 1.
【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,属于中档题.
17. 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知f(x)=x3-3x2+2x+1,写出任意一个x的值对应的函数值f(x)的求法程序.
参考答案:
(方法一)INPUT “请输入自变量x的值:”;x
A=x∧3
B=3*x∧2
C=2*x
D=A-B+C+1
PRINT “x=”;x
PRINT “f(x)=”;D
END
(方法二)INPUT “请输入自变量x的值:”;x
m=x*(x-3)
n=x*(m+2)
y=n+1
PRINT “x=”;x
PRINT “f(x)=”;y
END
19. 在直角坐标系xOy中,曲线C1: (t为参数,且t≠0),其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:, C3:.
(I)求C2与C3交点的直角坐标;
(II)若C1与 C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|最大值.
参考答案:
20. 已知函数.
(Ⅰ)若函数存在单调递减区间,求实数a的取值范围;(5分)
(Ⅱ)若,证明: ,总有.(7分)
参考答案:
(Ⅰ)由题意得,…………………………(1分)
若函数存在单调减区间,则………………(2分)
即存在取值区间,即存在取值区间………(4分)
所以.…………………………………………………………………………(5分)
(Ⅱ)当时,
…………………(6分)
由有,从而,
要证原不等式成立,只要证对恒成立(7分)首先令,由,可知,
当时单调递增,当时单调递减,
所以,有………………………(9分)
构造函数,,
因为,
可见,在时,,即在上是减函数,
在时,,即在上是增函数,
所以,在上,,所以.
所以,,等号成立当且仅当时,……………………(11分)
综上:,由于取等条件不同,
故,所以原不等式成立. ………………………………(12分)
21. 在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线l的方程为ρsin(θ﹣)=5.
(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;
(2)求圆心C到直线l的距离.
参考答案:
【考点】QH:参数方程化成普通方程;Q4:简单曲线的极坐标方程.
【分析】(1)消去参数t,求出圆C的普通方程即可;根据x=ρcosθ,y=ρsinθ,求出直线l的直角坐标方程即可;
(2)根据点到直线的距离计算即可.
【解答】解:(1)消去参数t,得到圆C的普通方程为:
(x﹣1)2+(y+2)2=9,
由ρsin(θ﹣)=5,
得:﹣ρcosθ+ρsinθ﹣5=0,
∴直线l的直角坐标方程是:x﹣y+5=0;
(2)依题意,圆心C坐标是(1,﹣2)到直线l的距离是:
=4.
【点评】本题考查了参数方程、极坐标方程转化为普通方程,考查点到直线的距离,是一道中档题.
22. (本小题6分)
如图,已知—正三棱锥P- ABC的底面棱长AB=3,
高PO= ,求这个正三棱锥的表面积.
参考答案: