山西省太原市十六中学高二数学文月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. “三角函数是周期函数,y=tan x,x∈是三角函数,所以y=tan x,
x∈是周期函数.”在以上演绎推理中,下列说法正确的是( ).
A.推理完全正确 B.大前提不正确
C.小前提不正确 D.推理形式不正确
参考答案:
C
2. 设△ABC的三内角A、B、C成等差数列,sinA、sinB、sinC成等比数列,则这个三角形的形状是( )
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
参考答案:
D
【考点】数列与三角函数的综合;三角形的形状判断.
【分析】先由△ABC的三内角A、B、C成等差数列,求得∠B=60°,∠A+∠C=120°①;再由sinA、sinB、sinC成等比数列,得sin2B=sinA?sinC,②,①②结合即可判断这个三角形的形状.
【解答】解:∵△ABC的三内角A、B、C成等差数列,
∴∠B=60°,∠A+∠C=120°①;
又sinA、sinB、sinC成等比数列,
∴sin2B=sinA?sinC=,②
由①②得:sinA?sin(120°﹣A)
=sinA?(sin120°cosA﹣cos120°sinA)
=sin2A+?
=sin2A﹣cos2A+
=sin(2A﹣30°)+
=,
∴sin(2A﹣30°)=1,又0°<∠A<120°
∴∠A=60°.
故选D.
【点评】本题考查数列与三角函数的综合,关键在于求得∠B=60°,∠A+∠C=120°,再利用三角公式转化,着重考查分析与转化的能力,属于中档题.
3. 已知角的终边经过点,则( )
A. -4 B. -3 C. D.
参考答案:
B
【分析】
根据角的终边上一点的坐标,求得的值,对所求表达式分子分母同时除以,转化为只含的形式,由此求得表达式的值.
【详解】依题意可知,.故选B.
【点睛】本小题主要考查三角函数的定义,考查齐次方程的计算,属于基础题.
4. 抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A、B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=,设线段AB的中点M在l上的投影为N,则的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
A
【考点】抛物线的简单性质.
【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】设|AF|=a,|BF|=b,连接AF、BF.由抛物线定义得2|MN|=a+b,由余弦定理可得|AB|2=(a+b)2﹣3ab,进而根据基本不等式,求得|AB|的取值范围,从而得到本题答案.
【解答】解:设|AF|=a,|BF|=b,连接AF、BF,
由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|,
在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.
由余弦定理得,
|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab,
配方得,|AB|2=(a+b)2﹣3ab,
又∵ab≤,
∴(a+b)2﹣3ab≥(a+b)2﹣(a+b)2=(a+b)2
得到|AB|≥(a+b).
∴≤1,
即的最大值为1.
故选:A.
【点评】本题在抛物线中,利用定义和余弦定理求的最大值,着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识,属于中档题.
5. 在△ABC中,如果,那么cosC等于 ( )
参考答案:
D
6. 若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,其中左视图是一个边长为2的正三角形,则这个几何体的体积是( )
A.2cm2 B. cm3 C.3cm3 D.3cm3
参考答案:
B
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高,进而得到该几何体的体积.
【解答】解:由几何体的三视图可知,该几何体为底面是直角梯形,高为的四棱锥,
其中直角梯形两底长分别为1和2,高是2.
故这个几何体的体积是×[(1+2)×2]×=(cm3).
故选:B.
7. 设f(x)是一个三次函数,f′(x)为其导函数,如图所示的是y=x·f′(x)的图象的一部分,则f(x)的极大值与极小值分别是 ( )
A.f(1)与f(-1) B.f(-1)与f(1)
C.f(-2)与f(2) D.f(2)与f(-2)
参考答案:
C
8. 以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是
A.或 B.
C.或 D.或
参考答案:
D
略
9. 定义方程f(x)=f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”,若函数g(x)=x,h(x)=ln(x+1),φ(x)=x3﹣1的“新驻点”分别为α,β,γ,则α,β,γ的大小关系为( )
A.α>β>γ B.β>α>γ C.γ>α>β D.β>γ>α
参考答案:
C
【考点】63:导数的运算.
【分析】分别对g(x),h(x),φ(x)求导,令g′(x)=g(x),h′(x)=h(x),φ′(x)=φ(x),则它们的根分别为α,β,γ,即α=1,ln(β+1)=,γ3﹣1=3γ2,然后分别讨论β、γ的取值范围即可.
【解答】解:∵g′(x)=1,h′(x)=,φ′(x)=3x2,
由题意得:
α=1,ln(β+1)=,γ3﹣1=3γ2,
①∵ln(β+1)=,
∴(β+1)β+1=e,
当β≥1时,β+1≥2,
∴β+1≤<2,
∴β<1,这与β≥1矛盾,
∴﹣1<β<1;
②∵γ3﹣1=3γ2,且γ=0时等式不成立,
∴3γ2>0
∴γ3>1,
∴γ>1.
∴γ>α>β.
故选C.
10. 参数方程(为参数)表示的平面曲线是( )
A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一支田径运动队有男运动员48人,女运动员36人. 现用分层抽样的方法抽取一个容量为35的样本,则抽取的女运动员有 人.
参考答案:
15
略
12. 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D为BB1的中点,则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为__________.
参考答案:
略
13. 若关于的不等式的解集,则的值为_________.
参考答案:
-3
14. 已知函数f(x)=ax+bex图象上在点P(-1,2)处的切线与直线y=-3x平行,则函数f(x)的解析式是____________.
参考答案:
略
15. 若命题“?x∈R,使得x2+(a﹣1)x+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是__________.
参考答案:
(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞)
考点:二次函数的性质.
专题:计算题.
分析:因为不等式对应的是二次函数,其开口向上,若“?x∈R,使得x2+(a﹣1)x+1<0”,则相应二次方程有不等的实根.
解答:解:∵“?x∈R,使得x2+(a﹣1)x+1<0
∴x2+(a﹣1)x+1=0有两个不等实根
∴△=(a﹣1)2﹣4>0
∴a<﹣1或a>3
故答案为:(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞)
点评:本题主要考查一元二次不等式,二次函数,二次方程间的相互转化及相互应用,这是在函数中考查频率较高的题目,灵活多变,难度可大可小,是研究函数的重要方面
16. 在等比数列中,,,则=____________.
参考答案:
9
略
17. 下列说法中,正确的序号是
① 命题“若am21”是“x>2”的充分不必要条件
参考答案:
②
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数,且在处的切线方程为.
(1)求的解析式,并讨论其单调性.
(2)若函数,证明:.
参考答案:
(1)见解析(2)见解析
【分析】
(1)先求出切点的坐标,通过切线方程可以求出切线的斜率,对函数进行求导,
求出切线方程的斜率,这样得到一个等式,最后求出的值,这样就求出的解析式。求出定义域,讨论导函数的正负性,判断其单调性。
(2)研究的单调性,就要对进行求导,研究导函数的正负性,就要对进行求导,得到,研究的正负性,从而判断出的单调性,进而判断出的正负性,最后判断出的单调性,利用单调性就可以证明结论。
【详解】(1)由题切点为代入得:①
即②
解得,
∴,,
∴,即为上的增函数.
(2)由题,即证,
.
构造函数,,
,即为上增函数,
又,即
时,即在上单调递减,
时,,即在上单调递增,
∴得证.
【点睛】本题考查了函数的导数的几何意义、用导数研究函数单调性、利用二次求导证明恒成立问题。
19. 设等差数列{an}满足a3=5,a10=﹣9.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值.
参考答案:
【考点】等差数列的通项公式;等差数列的前n项和.
【分析】(1)设出首项和公差,根据a3=5,a10=﹣9,列出关于首项和公差的二元一次方程组,解方程组得到首项和公差,写出通项.
(2)由上面得到的首项和公差,写出数列{an}的前n项和,整理成关于n的一元二次函数,二次项为负数求出最值.
【解答】解:(1)由an=a1+(n﹣1)d及a3=5,a10=﹣9得
a1+9d=﹣9,a1+2d=5
解得d=﹣2,a1=9,
数列{an}的通项公式为an=11﹣2n
(2)由(1)知Sn=na1+d=10n﹣n2.
因为Sn=﹣(n﹣5)2+25.
所以n=5时,Sn取得最大值.
20. 设椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,且长轴长是短轴长的2倍.又点P(4,1)在椭圆上,求该椭圆的方程.
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】计算题;分类讨论;待定系数法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由椭圆的焦点在x轴上或在y轴上加以讨论,分别根据题意求出椭圆的长半轴a与短半轴b的值,由此写出椭圆的标准方程,可得答案
【解答】解:①当椭圆的焦点在x轴上时,设方程为+=1(a>b>0).
∵椭圆过点P(4,1),∴+=1,
∵长轴长是短轴长的2倍,∴2a=2?2b,即a=2b,
可得a=2,b=,
此时椭圆的方程为+=1;
②当椭圆的焦点在y轴上时,设方程为+=1(m>n>0).
∵椭圆过点P(4,1),∴+=1,
∵长轴长是短轴长的3倍,可得a=2b,
解得m=,n=,
此时椭圆的方程为=1.
综上所述,椭圆的标准方程为=1或=1.
【点评】本题给出椭圆的满足的条件,求椭圆的标准方程,着重考查了利用待定系数法求椭圆的标准方程的方法,属于基础题.
21. 已知椭圆C的对称中心为原点O,焦点在x轴上,左右焦点分别为F1和F2,且|F1F2|=2,点(1,)在该椭圆上
(1)求椭圆C的方程;
(