山西省长治市第十九中学2023年高二数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f(x)=x+a,g(x)=x+,若?x1∈[1,3],?x2∈[1,4],使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围为( )
A.a≥1 B.a≥2 C.a≥3 D.a≥4
参考答案:
C
【考点】函数的最值及其几何意义.
【分析】若?x1∈[1,3],?x2∈[1,4],使得f(x1)≥g(x2),可得f(x)=x+a在x1∈[1,3]的最小值不小于g(x)=x+在x2∈[1,4]的最小值,构造关于a的不等式组,可得结论.
【解答】解:当x1∈[1,3]时,由f(x)=x+a递增,
f(1)=1+a是函数的最小值,
当x2∈[1,4]时,g(x)=x+,在[1,2)为减函数,在(2,4]为增函数,
∴g(2)=4是函数的最小值,
若?x1∈[1,3],?x2∈[1,4],使得f(x1)≥g(x2),
可得f(x)在x1∈[1,3]的最小值不小于g(x)在x2∈[1,4]的最小值,
即1+a≥4,
解得:a∈[3,+∞),
故选:C.
2. 执行如图的程序框图.输出的x的值是( )
A.2 B.14 C.11 D.8
参考答案:
B
【考点】程序框图.
【分析】根据已知中的程序框图可得,该程序的功能是计算并输出变量x的值,模拟程序的运行过程,可得答案.
【解答】解:当x=2,y=1时,满足进行循环的条件,x=5,y=2,n=2,
当x=5,y=2时,满足进行循环的条件,x=8,y=4,n=3,
当x=8,y=4时,满足进行循环的条件,x=11,y=9,n=4,
当x=11,y=9时,满足进行循环的条件,x=14,y=23,n=5,
当x=14,y=23时,不满足进行循环的条件,
故输出的x值为14,
故选:B
【点评】本题考查的知识点是程序框图,当程序的运行次数不多或有规律时,可采用模拟运行的办法解答.
3. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ,则f(2012)的值为( )
A.0 B.1 C.-1 D.2
参考答案:
C
略
4. △ABC中,若cos(2B+C)+2sinAsinB=0,则△ABC一定是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
参考答案:
C
略
5. 函数y=sin(2x+),的图象如图,则的值为( )
A.或 B. C. D.
参考答案:
B
6. 已知曲线的一条切线经过坐标原点,则此切线的斜率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
分析:设切点坐标,求出切线斜率,利用切线过原点求出切点坐标,从而得结论.
详解:设切点为,则由得,又切线过原点,∴,解得,∴.
故选D.
点睛:本题考查导数的几何意义,曲线在某点处的切线与过某点的切线方程的求法有区别:曲线在处的切线方程为,若求过点处的切线,则可设切点为,由切点得切线方程,再由切线过点,代入求得,从而得切线方程.
7. 过椭圆的一个焦点F作与椭圆长轴的夹角为arccos的直线,交椭圆于A、B两点。若
| AF | ? | BF | = 1 ? 3,那么椭圆的离心率等于( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
8. 知函数( )
A.-1 B. C. D.
参考答案:
D
9. 抛物线焦点坐标是
A.(,0) B.(,0) C. (0, ) D.(0, )
参考答案:
C
略
10. 已知定义在实数集R的函数f(x)满足f(1)=4,且f(x)导函数f′(x)<3,则不等式f(lnx)>3lnx+1的解集为( )
A.(1,+∞) B.(e,+∞) C.(0,1) D.(0,e)
参考答案:
D
【考点】导数的运算;其他不等式的解法.
【专题】导数的综合应用.
【分析】构造函数g(x)=f(x)﹣2x﹣1,求函数的导数,判断函数的单调性 即可得到结论
【解答】解:设t=lnx,
则不等式f(lnx)>3lnx+1等价为f(t)>3t+1,
设g(x)=f(x)﹣3x﹣1,
则g′(x)=f′(x)﹣3,
∵f(x)的导函数f′(x)<3,
∴g′(x)=f′(x)﹣3<0,此时函数单调递减,
∵f(1)=4,
∴g(1)=f(1)﹣3﹣1=0,
则当x>1时,g(x)<g(1)=0,
即g(x)<0,则此时g(x)=f(x)﹣3x﹣1<0,
即不等式f(x)>3x+1的解为x<1,
即f(t)>3t+1的解为t<1,
由lnx<1,解得0<x<e,
即不等式f(lnx)>3lnx+1的解集为(0,e),
故选:D.
【点评】本题主要考查不等式的求解,根据条件构造函数,利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键,属于中档题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 三棱柱共9条棱,共有___________对异面直线.
参考答案:
12
略
12. 已知数列{an}的前n项和,则an =__________.
参考答案:
13. 一条光线沿直线入射到直线 后反射则反射光线所在直线方程为______________.
参考答案:
略
14. 4月16日摩拜单车进驻大连市旅顺口区,绿色出行引领时尚,旅顺口区进行了“经常使用共享单车与年龄关系”的调查,得下列2×2列联表:
年轻人
非年轻人
合计
经常使用单车用户
100
20
120
不常使用单车用户
60
20
80
合计
160
40
200
则得到的 .(小数点后保留一位)
(附:)
参考答案:
2.1
15. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中,A1A=AB=2,若棱AB上存在一点P,使得D1P⊥PC,则棱AD的长的取值范围是______________.
参考答案:
略
16. 若直线与圆有公共点,则实数a的取值范围是__________。
参考答案:
略
17. 不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分14分)函数,过曲线上的点的切线方程为.
(1)若在时有极值,求的表达式;
(2)若函数在区间[-2,1]上单调递增,求实数b的取值范围.
参考答案:
19. 春节期间,“厉行节约,反对浪费”之风悄然吹开,某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动,得到如下的列联表: 表(一)
做不到“光盘”
能做到“光盘”
男
45
10
女
30
15
表(二)
P()
0.10
0.05
0.025
2.706
3.841
5.024
附:
(1)估计该市居民中,能做到“光盘”行动的居民比例;
(2)判断是否有90%以上的把握认为“该市居民能否做到”光盘”与性别有关?
参考答案:
(1)25%;(2)3.030>2.706,所以有90%的把握认为.
20. 某品牌餐饮公司准备在10个规模相当的地区开设加盟店,为合理安排各地区加盟店的个数,先在其中5个地区试点,得到试点地区加盟店个数分别为1,2,3,4,5时,单店日平均营业额y(万元)的数据如下:
加盟店个数x(个)
1
2
3
4
5
单店日平均营业额y(万元)
10.9
10.2
9
7.8
7.1
(1)求单店日平均营业额y(万元)与所在地区加盟店个数x(个)的线性回归方程;
(2)根据试点调研结果,为保证规模和效益,在其他5个地区,该公司要求同一地区所有加盟店的日平均营业额预计值总和不低于35万元,求一个地区开设加盟店个数m的所有可能取值;
(3)小赵与小王都准备加入该公司的加盟店,根据公司规定,他们只能分别从其他五个地区(加盟店都不少于2个)中随机选一个地区加入,求他们选取的地区相同的概率.
(参考数据及公式:,,线性回归方程,其中,.)
参考答案:
(1) (2) 5,6,7 (3)
【分析】
(1)利用最小二乘法求线性回归方程;(2)解不等式得一个地区开设加盟店个数的所有可能取值;(3)利用古典概型的概率求选取的地区相同的概率.
【详解】(1)由题可得,,,设所求线性回归方程为,
则,
将,代入,得,
故所求线性回归方程为.
(2)根据题意,,解得:,又,所以的所有可能取值为5,6,7.
(3)设其他5个地区分别为,他们选择结果共有25种,具体如下:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
其中他们在同一个地区的有5种,所以他们选取的地区相同的概率.
21. 设椭圆:的离心率,右焦点到直线的距离,为坐标原点
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线斜率存在且与椭圆交于两点,以为直径的圆过原点,求到直线的距离
参考答案:
(1),(2)
试题解析:(1),右焦点到直线的距离,则,且,所以,
所以椭圆的的方程是:——————————4分
(2)设直线:,那么:,
则,
又因为直线与椭圆交于两点,以为直径的圆过原点,
,
,化简得,即,所以到直线的距离为. ————-12分
22. 设直线l的方程为y=kx+b(其中k的值与b无关),圆M的方程为x2+y2﹣2x﹣4=0.
(1)如果不论k取何值,直线l与圆M总有两个不同的交点,求b的取值范围;
(2)b=1,l与圆交于A,B两点,求|AB|的最大值和最小值.
参考答案:
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】(1)若不论k取何值,直线l与圆M总有两个不同的交点,则(0,b)点在圆M:x2+y2﹣2x﹣4=0的内部,进而得到b的取值范围;
(2)b=1时,l必过(0,1)点,当l过圆心时,|AB|取最大值,当l和过(0,1)的直径垂直时,|AB|取最小值.
【解答】解:(1)若不论k取何值,直线l与圆M总有两个不同的交点,
则(0,b)点在圆M:x2+y2﹣2x﹣4=0的内部,
即b2﹣4<0,
解得:﹣2<b<2;
(2)当b=1时,l必过(0,1)点,
当l过圆心时,|AB|取最大值,即圆的直径,
由M:x2+y2﹣2x﹣4=0的半径r=,
故|AB|的最大值为2,
当l和过(0,1)的直径垂直时,|AB|取最小值.
此时圆心M(1,0)到(0,1)的距离d=,
|AB|=2=2,
故|AB|的最小值为2.