湖南省衡阳市耒阳竹市中学高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,在空间四边形ABCD中,设E,F分别是BC,CD的中点,则+(-)等于
A.
B.
C.
D.
参考答案:
C
【分析】
由向量的线性运算的法则计算.
【详解】-=,,
∴+(-).
故选C.
【点睛】本题考查空间向量的线性运算,掌握线性运算的法则是解题基础.
2. 如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,设甲、乙两人在这几场比赛中的平均得分分别为,得分的方差分别为、,则( )
A., B.,
C., D.,
参考答案:
A
略
3. 不等式2x2﹣x﹣1>0的解集是( )
A.B.{x|x>1} C.{x|x<1或x>2} D.
参考答案:
D
【考点】一元二次不等式的解法.
【分析】把不等式的左边分解因式后,即可得到原不等式的解集.
【解答】解:不等式2x2﹣x﹣1>0,
因式分解得:(2x+1)(x﹣1)>0,
解得:x>1或x<﹣,
则原不等式的解集为,
故选:D.
【点评】此题考查了一元二次不等式的解法,利用了转化的思想,是高考中常考的基本题型.
4. 样本中共有五个个体,其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1,则样本方差为( )
A. B. C. D.2
参考答案:
D
【考点】BC:极差、方差与标准差.
【分析】由样本平均值的计算公式列出关于a的方程,解出a,再利用样本方差的计算公式求解即可.
【解答】解:由题意知(a+0+1+2+3)=1,解得a=﹣1,
∴样本方差为S2= [(﹣1﹣1)2+(0﹣1)2+(1﹣1)2+(2﹣1)2+(3﹣1)2]=2,
故选:D.
【点评】本题考查用样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差,属基础题,熟记样本的平均数、方差公式是解答好本题的关键.
5. 对两个变量与进行回归分析,分别选择不同的模型,它们的相关系数如下,其中拟合效果最好的模型是( )
.模型Ⅰ的相关系数为 .模型Ⅱ的相关系数为
.模型Ⅲ的相关系数为 .模型Ⅳ的相关系数为
参考答案:
A
6. 下列四个正方体图形中,为正方体的两个顶点,分别为其所在棱的中点,能得出平面的图形的序号是( )
A. ①、③ B. ①、④ C. ②、③ D. ②、④
参考答案:
B
7. 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于,两点,如果,那么( )
A. 10 B. 9 C. 6 D. 4
参考答案:
B
【分析】
依据抛物线的定义,可以求出点A,B到准线距离,即可求得的长。
【详解】抛物线的准线方程是,所以,
,,故选B。
【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用以及过焦点弦的弦长求法。
8. 已知集合A={1,a},B={x|x2﹣5x+4<0,x∈Z},若A∩B≠?,则a等于( )
A.2 B.3 C.2或4 D.2或3
参考答案:
D
【考点】交集及其运算.
【分析】解不等式求出集合B,进而根据A∩B≠?,可得b值.
【解答】解:∵B={x|x2﹣5x+4<0,x∈Z}={2,3},集合A={1,a},
若A∩B≠?,则a=2或a=3,
故选:D.
【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算,难度不大,属于基础题.
9. 某等比数列中,,则 ( )
A. 64 B. 81 C . 128 D. 243
参考答案:
A
10. 函数的定义域为( )
A.[0,+∞) B.(-∞,0] C.(-∞,0) D.(0,+∞)
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在点(1,1)处的切线方程
参考答案:
12. 两个等差数列和,其前项和分别为, 且
则= .
参考答案:
略
13. 若二项式的展开式的第三项是常数项,则=_______.
参考答案:
6;
略
14. 在△ABC中,∠A=60°,点M为边AC的中点,BM=,则AB+AC的最大值为 .
参考答案:
【考点】HQ:正弦定理的应用.
【分析】依题意,利用正弦定理可求得△ABM的外接圆直径,从而可用角表示出AB,AC,利用三角函数间的关系式即可求得AB+AC的最大值.
【解答】解:∵在△ABC中,∠A=60°,点M为边AC的中点,BM=,
∴在△ABM中,设∠AMB=θ,则∠ABM=120°﹣θ,0<θ<120°,
由正弦定理得: ====4,
∴|AB|=4sinθ,|AM|=4sin(120°﹣θ),又点M为边AC的中点,
∴|AC|=2|AM|=8sin(120°﹣θ),
∴|AB|+|AC|=4sinθ+8sin(120°﹣θ)
=4sinθ+8×cosθ﹣8×(﹣)sinθ
=8sinθ+4cosθ
=4sin(θ+φ),(其中tanφ=).
∴当sin(θ+φ)=1时,|AB|+|AC|取得最大值.
∴|AB|+|AC|的最大值为4.
故答案为:4.
【点评】本题考查正弦定理的应用,考查三角函数间的关系式及辅助角公式的应用,能用三角关系式表示出AB+AC是关键,也是难点,属于中档题.
15. 对于椭圆和双曲线有下列命题:
①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点;
③双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同.
其中正确命题的序号是 。
参考答案:
略
16. 已知,若存在,当时,有,则的最小值为__________.
参考答案:
【分析】
先作出函数的图像,由题意令,则与有两不同交点,求出的范围,再由,求出,将化为,即可求出结果.
【详解】作出函数图像如下:
因为存在,当时,有,
令,则与有两不同交点,
由图像可得,
由得,解得;
所以,
因为,所以当时,取最小值,
即的最小值为
【点睛】本题主要考查函数零点问题,以及二次函数最值问题,通过数形结合与转化的思想,将问题转化为求二次函数最值的问题,即可求解,属于常考题型.
17. 若,则常数的值为_______.
参考答案:
3
【分析】
利用微积分基本定理即可求得.
【详解】==9,解得T=3,
故答案为:3.
【点睛】用微积分基本定理求定积分,关键是求出被积函数的原函数.此外,如果被积函数是绝对值函数或分段函数,那么可以利用定积分对积分区间的可加性,将积分区间分解,代入相应的解析式,分别求出积分值相加
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别,公司准备了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中的3杯为A饮料,另外的2杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对,测评为优秀;若3杯选对2杯测评为良好;否测评为合格.假设此人对A和B饮料没有鉴别能力
(1)求此人被评为优秀的概率
(2)求此人被评为良好及以上的概率.
参考答案:
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;古典概型及其概率计算公式.
【分析】根据题意,首先将饮料编号,进而可得从5杯饮料中选出3杯的所有可能的情况,即所有的基本事件;再记“此人被评为优秀”为事件D,记“此人被评为良好及以上”为事件E,
(1)分析查找可得,D包括的基本事件数目,由古典概型公式,计算可得答案;
(2)分析查找可得,E包括的基本事件数目,由古典概型公式,计算可得答案.
【解答】解:将5杯饮料编号为1、2、3、4、5,编号1、2、3表示A饮料,编号4、5表示B饮料;
则从5杯饮料中选出3杯的所有可能的情况为:(123),(124),(125),(134),(135),(145),(234),(235),(245),(345);共10个基本事件;
记“此人被评为优秀”为事件D,记“此人被评为良好及以上”为事件E,
(1)分析可得,D包括(123)1个基本事件,
则P(D)=;
(2)E包括(123),(124),(125),(134),(135),(234),(235)7个基本事件;
则P(E)=.
【点评】本题考查列举法计算概率,注意列举时按一定的规律、顺序,一定做到不重不漏,还有助于查找基本事件的数目.
19. 已知圆C的半径为2,圆心在轴正半轴上,直线与圆C相切
(1)求圆C的方程
(2)过点的直线与圆C交于不同的两点且为时
求:的面积
参考答案:
(I)设圆心为,则圆C的方程为
因为圆C与相切 所以 解得:(舍)
所以圆C的方程为: …………………………4分
(II)依题意:设直线l的方程为:
由得
∵l与圆C相交于不同两点
∴
又∵ ∴
整理得: 解得(舍)
∴直线l的方程为: ……………………………………8分
圆心C到l的距离 在△ABC中,|AB|=
原点O到直线l的距离,即△AOB底边AB边上的高
∴ …………………………12分
20.
参考答案:
证明 由题意知EH BD FG BD ∴EHFG
∴四边形是平行四边形
略
21. 已知点为椭圆的右焦点,过的直线与椭圆交于两点.
(1)若点为椭圆的上顶点,满足,且椭圆的右准线方程为,求椭圆的标准方程;
(2)若点在椭圆的右准线上的射影分别为(如图所示),求证: 为锐角.
参考答案:
(1)由题意可知,,.………………………………1分
设,则,
因为,所以.…………………………………………………3分
即
所以 解得 …………………………………………………5分
又因为点B在椭圆上,所以,解得.
所以.
因此椭圆的标准方程为.…………………………………………………7分
(2)设直线,(设斜率但不讨论不存在扣1分)……………………9分
设,
由,联立得,
所以,……………………………………………………………11分
所以
, ………………………………………………………………14分
又因为,……………………………………………15分
所以为锐角. ………………………………………………………………16分
22. 徐州、苏州两地相距500千米,一辆货车从徐州匀速行驶到苏州,规定速度不得超过100千米/小时.已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为0.01;固定部分为a元(a>0).
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;
(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
参考答案:
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;函数模型的选择与应用;基本不等式在最值问题中的应用.
【专题】综合题.
【分析】(1)求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间,根据货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可得全程运输成本,及函数的定义域;
(2)利用基本不等式可得,当且仅当,即v=10时,等