湖南省衡阳市衡东县蓬源中学高二数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知某几何体的正(主)视图,侧(左)视图和俯视图均为斜边长为的等腰直角三角形(如图),若该几何体的顶点都在同一球面上,则此球的表面积为( )
A.4π B.3π C.2π D.π
参考答案:
B
【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;L7:简单空间图形的三视图;LR:球内接多面体.
【分析】由已知可得,该几何体为三棱锥,其外接球等同于棱长为1的正方体的外接球,进而得到答案.
【解答】解:由已知可得,该几何体为三棱锥,
其外接球等同于棱长为1的正方体的外接球,
故球半径R满足2R=,
故球的表面积S=4πR2=3π,
故选:B.
2. 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是( ).
A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱
参考答案:
D
3. 将正奇数1,3,5,7,排成五列(如表),按此表的排列规律,89所在的位置是 ( )
A.第一列 B.第二列 C.第三列 D.第四列
参考答案:
D
略
4. 已知直线l1:3x+4y+1=0与直线l2:4x﹣3y+2=0,则直线l1与直线l2的位置关系是( )
A.平行 B.垂直 C.重合 D.无法确定
参考答案:
B
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【专题】计算题;规律型;直线与圆.
【分析】求出直线的斜率,判断两条直线的位置关系.
【解答】解:直线l1:3x+4y+1=0的斜率为:﹣,直线l2:4x﹣3y+2=0的斜率为:,
显然有=﹣1,
直线l1与直线l2的位置关系是垂直.
故选:B.
【点评】本题考查直线的垂直条件的应用,考查计算能力.
5. 某程序框图如下左图所示,该程序运行后的的值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
6. 直线交抛物线于A、B两点,且,则直线过定点( )
A.(1,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)
参考答案:
B
略
7. 已知 函数 ,那么 的值为
A. 9 B. C. D.
参考答案:
B
8. 过点,且与有相同渐近线的双曲线方程是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
9. 利用随机数表法对一个容量为500编号为000,001,002,…,499的产品进行抽样检验,抽取一个容量为10的样本,若选定从第12行第5列的数开始向右读数,(下面摘取了随机数表中的第11行至第15行),根据下表,读出的第3个数是( )
A.841 B.114 C.014 D.146
参考答案:
B
10. 给出命题:
(1)在空间里,垂直于同一平面的两个平面平行;
(2)设l,m是不同的直线,α是一个平面,若l⊥α,l∥m,则m⊥α;
(3)已知α,β表示两个不同平面,m为平面α内的一条直线,若m⊥β,则α⊥β;
(4)a,b是两条异面直线,P为空间一点,过P总可以作一个平面与a,b之一垂直,与另一个平行。
其中正确命题个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区活动,则选中的2人都是女同学的概率__________.
参考答案:
;
【分析】
利用古典概型的概率公式求解.
【详解】由古典概型的概率公式得.
故答案为:
【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.
12. 以椭圆 中心为顶点,右顶点为焦点的抛物线的标准方程为_______.
参考答案:
13. 某旅游公司年初以98万元购进一辆豪华旅游车,第一年各种费用为12万元,以后每年都增加4万元,该车每年的旅游效益为50万元,设第n年开始获利,列出关于n的不等关系.
参考答案:
98+12+(12+4)+(12+4×2)+…+[12+(n-1)×4]<50n
14. 抛物线x=y2的焦点到双曲线﹣=1(a>0,b>0)的渐近线的距离为,则该双曲线的离心率为 .
参考答案:
考点:双曲线的简单性质.
专题:计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:求出抛物线的焦点坐标,双曲线的渐近线方程,由点到直线的距离公式,可得a,b的关系,再由离心率公式,计算即可得到.
解答: 解:抛物线x=y2的焦点为(1,0),
双曲线﹣=1(a>b>0)的一条渐近线为bx+ay=0,
则焦点到渐近线的距离d==,
即有b=a,
则c==a,
即有双曲线的离心率为.
故答案为:.
点评:本题考查抛物线和双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的运用,考查点到直线的距离公式,考查离心率的求法,属于基础题.
15. 定义函数(K为给定常数),已知函数,若对于任意的,恒有,则实数K的取值范围为 .
参考答案:
略
16. 二项式(x﹣)6的展开式中第5项的二项式系数为 _________ .(用数字作答)
参考答案:
略
17. 在数列中,,猜想这个数列的通项公式为_______
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,底面,四边形为长方形,,点、分别是线段、的中点.
(1)证明:平面;
(2)在线段上是否存在一点,使得平面,若存在,请指出点的位置,并证明 平面;若不存在,请说明理由.
参考答案:
(1)平面;(2)线段上存在一点,使得平面(点为线段的四等分点)
试题分析:(1)利用平行的传递性证明,再结合线面平行的判定定理,可得平面;
(2)在线段AD上存在靠A点较近的一个四等分点O,使得平面,先在长方体ABCD中,证出△∽△,利用角互余的关系得到,再利用线面垂直的判定定理,可证明,结合PA,AC是平面PAC内的相交直线,最终得到平面
试题解析:
证明:(1)∵,,∴,
又∵平面,平面,
∴平面. ……………………6分
(2) 在线段上存在一点,使得平面,
此时点为线段的四等分点,且, ……………… 8分
∵底面,∴,
又∵长方形中,△∽△,∴, 10分
又∵,∴平面. 12分
考点:1.相似的判定及性质;2.直线与平面垂直的判定及性质;3.直线与平面平行的判定及性质
19. (本小题满分10分)已知函数f(x)=x2+ln x.
(1)求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;
(2)求证:当x∈(1,+∞)时,函数f(x)的图象在g(x)=x3+x2的下方.
参考答案:
∴当x∈(1,+∞)时,函数f(x)的图象总在g(x)的图象的下方.
20. 任意投掷两枚质地均匀的骰子,计算:
(1)出现向上的点数相同的概率;
(2)出现向上的点数之和为奇数的概率.
参考答案:
(1)(2)
略
21. 若f(x)为二次函数,﹣1和3是方程f(x)﹣x﹣4=0的两根,f(0)=1
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在区间[﹣1,1]上,不等式f(x)>2x+m有解,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】函数解析式的求解及常用方法.
【分析】(1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c,(a≠0),由题意和韦达定理待定系数可得;
(2)问题转化为m<x2﹣3x+1在区间[﹣1,1]上有解,只需m小于函数g(x)=x2﹣3x+1在区间[﹣1,1]上的最大值,由二次函数区间的最值可得.
【解答】解:(1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c,(a≠0),
由f(0)=1可得c=1,
故方程f(x)﹣x﹣4=0可化为ax2+(b﹣1)x﹣3=0,
∵﹣1和3是方程f(x)﹣x﹣4=0的两根,
∴由韦达定理可得﹣1+3=﹣,﹣1×3=,
解得a=1,b=﹣1,故f(x)的解析式为f(x)=x2﹣x+1;
(2)∵在区间[﹣1,1]上,不等式f(x)>2x+m有解,
∴m<x2﹣3x+1在区间[﹣1,1]上有解,
故只需m小于函数g(x)=x2﹣3x+1在区间[﹣1,1]上的最大值,
由二次函数可知当x=﹣1时,函数g(x)取最大值5,
∴实数m的取值范围为(﹣∞,5)
22. (本小题满分10分)在中,角的对边分别为且满足
(1)求角的大小;
(2)若,求.
参考答案:
(1)由正弦定理可得:
-------------------------2分
-------5分
------------------------------8分
-------------------------10分