山西省忻州市东峪口中学高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知条件p:k=;条件q:直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】由直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,可得: =1,解得k即可判断出结论.
【解答】解:由直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,可得: =1,解得k=.
∴p是q的充分不必要条件.
故选:A.
2. 抛物线:的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. 已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y﹣4)2=1上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】抛物线的应用.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标,根据圆的方程求得圆心坐标,根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离,进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值,根据图象可知当P,Q,F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小,为圆心到焦点F的距离减去圆的半径.
【解答】解:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆x2+(y﹣4)2=1的圆心为C(0,4),
根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,
进而推断出当P,Q,F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为:,
故选C.
【点评】本题主要考查了抛物线的应用.考查了学生转化和化归,数形结合等数学思想.
4. 已知空间四边形O-ABC,其对角线为 OB,AC,M,N 分别是OA,CB 的中点,点 G 在线段 MN 上,且使 MG=3GN,用向量,,表示向量 ,则
A.
B.
C.
D.
参考答案:
D
5. 设集合, ,则“x∈A”是“x∈B”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案:
A
求解不等式可得:,,
据此可得“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件.
本题选择A选项.
6. 有一段演绎推理是这样的:“幂函数在(0,+∞)上是增函数;已知是幂函数;则在(0,+∞)上是增函数”,其结论显然是错误的,这是因为( )
A. 大前提错误 B. 小前提错误
C. 推理形式错误 D. 非以上错误
参考答案:
A
【分析】
分别判断大前提、小前提、以及推理形式是否正确即可.
【详解】因为“幂函数在上是增函数”是错误的,
所以得到结论错误,结论错误的原因是大前提错误,故选A.
【点睛】本题主要考查三段论的定义,意在考查对基础知识的掌握情况,属于基础题.
7. “直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分不必要条件
参考答案:
B
8. 执行如图所示的程序框图输出的结果是( )
A. 8 B. 6 C. 5 D. 3
参考答案:
A
【分析】
根据程序框图循环结构运算,依次代入求解即可。
【详解】根据程序框图和循环结构算法原理,计算过程如下:
所以选A
【点睛】本题考查了程序框图的基本结构和运算,主要是掌握循环结构在何时退出循环结构,属于基础题。
9. 已知An2=132,则n=( )
A.11 B.12 C.13 D.14
参考答案:
B
【考点】排列及排列数公式.
【分析】根据排列数的公式,列出方程,求出n的值即可.
【解答】解:∵ =132,
∴n(n﹣1)=132,
整理,得,
n2﹣n﹣132=0;
解得n=12,或n=﹣11(不合题意,舍去);
∴n的值为12.
故选:B.
10. 凸n边形有条对角线,则凸n+l边形的对角线的条数)为 ( )
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若角满足,则 =_____;
参考答案:
【分析】
由,得tanα=-2,由二倍角的正切公式化简后,把tanα的值代入即可.
【详解】∵sina+2cosa=0,得,即tanα=-2,∴tan2α= .
故答案为:
【点睛】本题考查了二倍角的正切公式,以及同角三角函数间的基本关系,属于基础题.
12. 函数的最大值为,则的最小值为 .
参考答案:
13. 在中,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,若角A、B、C依次成等差数列,且=
参考答案:
14. 若实数满足条件则的最大值是________
参考答案:
-1
15. 已知流程图符号,写出对应名称.
(1) ;(2) ;(3) .
参考答案:
起止框 处理框 判断框
无
16. 已知下列几个命题: ①已知F1、F2为两定点,=4,动点M满足,则动点M的轨迹是椭圆。 ②一个焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线标准方程是 ③“若=b,则a2=ab”的否命题。④若一个动圆的圆心在抛物线上,且动圆恒与直线相切,则动圆必过定点。
其中真命题有____________
参考答案:
②④
略
17. 在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为F(-2,0),右顶点为D(4,0). 设点A的坐标是(2,1),过原点O的直线交椭圆于点B、C,则△ABC面积的最大值是 .
参考答案:
4
解析:由已知得椭圆的半长轴a=4,半焦距c=2,则半短轴b=2. 又椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程为
当直线BC垂直于x轴时,BC=4,因此,△ABC的面积
当直线BC不垂直于x轴时,设该直线方程为y=kx. 由 解得
所以,,又点A到直线BC的距离,
所以,△ABC的面积
由,其中,当等号成立.
所以的最大值是.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 2013年将举办的第十二届中国?东海国际水晶节,主题为“水晶之都?福如东海”,于9月28日在国内唯一水晶博物馆正式开幕.为方便顾客,在休息区200m2的矩形区域内布置了如图所示的休闲区域(阴影部分),已知下方是两个相同的矩形.在休闲区域四周各留下1m宽的小路,若上面矩形部分与下方矩形部分高度之比为1:2.问如何设计休息区域,可使总休闲区域面积最大.
参考答案:
解:设整个休息区域的宽为xm,则高为m.
下方矩形宽为,高为;
上方矩形宽为x﹣2,高为.
则休闲区域面积=m2.
当且仅当,即m时,上式取等号.
答:当矩形的宽为m,高为15m时,休闲区域面积最大.
考点: 基本不等式在最值问题中的应用.
专题: 应用题.
分析: 设整个休息区域的宽为xm,建立休闲区域面积对应的函数关系式,利用基本不等式进行求解即可.
解答: 解:设整个休息区域的宽为xm,则高为m.
下方矩形宽为,高为;
上方矩形宽为x﹣2,高为.
则休闲区域面积=m2.
当且仅当,即m时,上式取等号.
答:当矩形的宽为m,高为15m时,休闲区域面积最大.
点评: 本题主要考查函数的应用题,利用基本不等式进行求解是解决本题的关键.考查学生的运算能力.
19. 如图,在三棱锥B-ACD中,,,,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求直线BD与面ABC所成角的正弦值.
参考答案:
…………6分
……8分
20. 在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=4sin(θ+).现以点O为原点,极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).
(I)写出直线l和曲线C的普通方程;
(Ⅱ)设直线l和曲线C交于A,B两点,定点P(﹣2,﹣3),求|PA|?|PB|的值.
参考答案:
【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.
【分析】(Ⅰ)把直线的参数方程、曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程.
(Ⅱ)把直线l的参数方程带入到圆C,利用韦达定理以及直线标准参数方程下t的几何意义求得|PA|?|PB|的值
【解答】(Ⅰ)曲线C的极坐标方程即,
所以ρ2=4ρsinθ+4ρcosθ,所以x2+y2﹣4x﹣4y=0,即(x﹣2)2+(y﹣2)2=8.
把直线l的参数方程为(t为参数)消去参数,
化为普通方程为:.
(Ⅱ)把直线l的参数方程带入到圆C:x2+y2﹣4x﹣4y=0,
得,∴,∴t1t2=33.
因为点P(﹣2,﹣3)显然在直线l上,由直线标准参数方程下t的几何意义知|PA||PB|=|t1t2|=33,
所以|PA||PB|=33.
21. (本小题满分8分)在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了120人,其中女性65人,男性55人。女性中有40人主要的休闲方式是看电视,另外25人主要的休闲方式是运动;男性中有20人主要的休闲方式是看电视,另外35人主要的休闲方式是运动。
(Ⅰ)根据以上数据建立一个2×2的列联表;
(Ⅱ)能够以多大的把握认为性别与休闲方式有关系,为什么?
参考公式:,其中为样本容量。
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考答案:
(Ⅰ)列联表
看电视
运动
总计
男
20
35
55
女
40
25
65
总计
60
60
120
5分
(Ⅱ)解:因=7.552>6.635,故有99%的把握认为性别与休闲方式有关系。 8分
22. (本题满分13分) 已知函数f(x)=(k为常数,e=2.718 28…是自然对数的底数),
曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求k的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)设g(x)=(x2+x),其中f′(x)为f(x)的导函数,
证明:对任意x>0,g(x)<1+e-2.
参考答案:
(1)解 由得,x∈(0,+∞).
由于曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与x轴平行,所以f′(1)=0,因此k=1.………(3分)
(2)解 由(1)得f′(x)= (1-x-xln x),x∈(0,+∞).令h(x)=1-x-xln x,x∈(0,+∞),
当x∈(0,1)时,h(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h(x)<0.又ex>0,所以当x∈(0,1)时,f′(x)>0;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).……(7分)
(3)证明 因为g(x)=(x2+x) ,所以g(x)= (1-x-xln x),x∈(0,+∞).
因此,对任意x>0,g(x)<1+e-2等价于1-x-xln x< (1+e-2).由(2)知h(x)=1-x-xln x,x∈(0,+∞),所以h′(x)=-ln x-2