广东省梅州市兴宁四望嶂第二高级中学2022-2023学年高一数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 集合A={a2,a+1,-1},B={2a-1,| a-2 |, 3a2+4},A∩B={-1},则a的值是( )
A.-1 B.0 或1 C.2 D.0
参考答案:
D
2. “直线a与平面M没有公共点”是“直线a与平面M平行”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
参考答案:
C
3. 设P={﹣1,0,1},Q={x|﹣1<x<2},则P∩Q=( )
A.{x|﹣1<x<1} B.{x|﹣1<x<2} C.{﹣1,0} D.{0,1}
参考答案:
D
【考点】交集及其运算.
【分析】根据交集的定义写出P∩Q.
【解答】解:P={﹣1,0,1},Q={x|﹣1<x<2},
则P∩Q={0,1}.
故选:D.
4. 已知 是定义在R上的函数,求的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
5. PM2.5是空气质量的一个重要指标,我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级,在35μg/m3~75μg/m3之间空气质量为二级,在75μg/m3以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值(单位:μg/m3)的统计数据,则下列叙述不正确的是( )
A. 这10天中有4天空气质量为一级 B. 这10天中PM2.5日均值最高的是11月5日
C. 从5日到9日,PM2.5日均值逐渐降低 D. 这10天的PM2.5日均值的中位数是45
参考答案:
D
【分析】
由折线图逐一判断各选项即可.
【详解】由图易知:第3,8,9,10天空气质量为一级,故A正确,11月5日日均值为82,显然最大,故B正确,从日到日,日均值分别为:82,73,58,34,30,逐渐降到,故C正确,中位数是,所以D不正确,故选D.
【点睛】本题考查了频数折线图,考查读图,识图,用图的能力,考查中位数的概念,属于基础题.
6. 已知函数,则的值是( )
A.6 B.5 C. D.
参考答案:
A
=,则的值是6
故选A
7. 由单位正方体(棱长为1的正方体)叠成的积木堆的正视图与侧视图均为下图所示,则该积木堆中单位正方体的最少个数为
A.5个 B.4个 C.6个 D.7个
参考答案:
B
略
8. 一艘船上午在A处,测得灯塔S在它的北偏东300处,且与它相距海里,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东750,此船的航速是( )
参考答案:
D
9. 已知函数,对任意的两个实数,都有成立,且,则的值是( )
A. 0 B. 1 C. 2006 D. 20062
参考答案:
B
10. 若函数是上的减函数,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 右图茎叶图表示的是甲乙两人在5次总和测评中的成绩,其中一个数字被无损,则乙的平均成绩超过甲的概率为
参考答案:
1/10
12. 把已知正整数表示为若干个正整数(至少3个,且可以相等)之和的形式,若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列,则称这些数为的一个等差分拆.将这些正整数的不同排列视为相同的分拆.如:(1,4,7)与(7,4,1)为12的相同等差分拆.问正整数30的不同等差分拆有 ▲ 个.
参考答案:
19
13. 对实数a和b,定义运算“?”:a?b=设函数f(x)=(x2﹣2)?(x﹣x2),x∈R,若函数y=f(x)﹣c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是 .
参考答案:
c≤﹣2,或﹣1<c<﹣
考点: 函数的图象.
专题: 计算题;压轴题.
分析: 化简函数f(x)的解析式,作出函数y=f(x)的图象,由题意可得,函数y=f(x)与y=c的图象有2个交点,结合图象求得结果.
解答: 解:由题意可得f(x)==,
函数y=f(x)的图象如右图所示:
函数y=f(x)﹣c的图象与x轴恰有两个公共点,即函数y=f(x)与y=c的图象有2个交点.
由图象可得 c≤﹣2,或﹣1<c<﹣.
故答案为c≤﹣2,或﹣1<c<﹣.
点评: 本题主要考查根据函数的解析式作出函数的图象,体现了化归与转化、数形结合的数学思想,属于基础题.
14. 对于正项数列,定义为的“给力”值,现知某数列的“给力”值为,则数列的通项公式为=
参考答案:
15. 观察如图列数表:
第1行 1
第2行 1 3 1
第3行 1 3 9 3 1
第4行 1 3 9 27 9 3 1
根据如图列数表,数表中第n行中有2n﹣1个数,第n行所有数的和为 .
参考答案:
2×3n﹣1﹣1
考点:归纳推理.
专题:等差数列与等比数列;推理和证明.
分析:设以1为首项,以3为公比的等比数列的前n项和为:Sn,数表中第n行中所有数的和为Tn,分析已知中的图表,可得Tn=Sn+Sn﹣1,代入等比数列前n项和公式,可得答案.
解答: 解:由已知可得:
第1行有1个数;
第2行有3个数;
第3行有5个数;
…
归纳可得:第n行有2n﹣1个数;
设以1为首项,以3为公比的等比数列的前n项和为:Sn,
数表中第n行中所有数的和为Tn,
则T2=S2+S1,
T3=S3+S2,
T4=S4+S3,
…
故Tn=Sn+Sn﹣1=+=2×3n﹣1﹣1,
即数表中第n行中有2n﹣1个数,第n行所有数的和为2×3n﹣1﹣1,
故答案为:2n﹣1,2×3n﹣1﹣1
点评:归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).
16. 设等比数列{an}的公比q,前n项和为Sn.若S3,S2,S4成等差数列,则实数q的值为 .
参考答案:
﹣2
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】S3,S2,S4成等差数列,可得2S2=S3+S4,化为2a3+a4=0,即可得出.
【解答】解:∵S3,S2,S4成等差数列,∴2S2=S3+S4,∴2a3+a4=0,
可得q=﹣2.
故答案为:﹣2.
17. 若函数定义域为R,则实数a的取值范围_________.
参考答案:
【分析】
利用函数的定义域为,转化为恒成立,然后通过分类讨论和两种情况分别求得a的取值范围,可得解.
【详解】的定义域为是使在实数集上恒成立.
若时,要使恒成立,则有 且,即,解得.
若时,化,恒成立,所以满足题意,
所以
综上,即实数a的取值范围是.
故填: .
【点睛】本题主要考查函数恒成立问题,将恒成立转化为不等式恒成立,然后利用一元二次不等式的知识求解是解决本题的关键,同时要注意对二次项系数进行讨论,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分16分)
如图所示,为美化环境,拟在四边形ABCD空地上修建两条道路EA和ED,将四边形分成三个区域,种植不同品种的花草,其中点E在边BC的三等分处(靠近B点),BC=3百米,BC⊥CD,,百米,.
(1)求△ABE区域的面积;
(2)为便于花草种植,现拟过C点铺设一条水管CH至道路ED上,求当水管CH最短时的长.
参考答案:
由题
在中,由即
所以百米………………………………………………………………………………………分
所以平方百米………………………………分
记,在中,,即,
所以…………………………………………………分
当时,水管长最短
在中,
=百米………分
19. (本小题满分12分)已知关于的方程:
(1)当为何值时,方程表示圆
(2)若圆与直线:相交于,且,求的值
参考答案:
解:(1)方程可化为,显然当即时,方程表示圆 ……………5分
(2)由(1)得圆方程为,圆心,半径
则圆心到直线:得距离为……………8分
,则,有 ……………………10分
,解得 ……………………12分
略
20. 已知函数f(x)=(log2x﹣2)(log4x﹣)
(1)当x∈[2,4]时,求该函数的值域;
(2)若f(x)>mlog2x对于x∈[4,16]恒成立,求m的取值范围.
参考答案:
【考点】对数函数图象与性质的综合应用.
【分析】(1)f(x)=(log2x﹣2)(log4x﹣)=(log2x)2﹣log2x+1,2≤x≤4,令t=log2x,则y=t2﹣t+1=(t﹣)2﹣,由此能求出函数的值域.
(2)令t=log2x,得t2﹣t+1>mt对于2≤t≤4恒成立,从而得到m<t+﹣对于t∈[2,4]恒成立,构造函数g(t)=t+﹣,t∈[2,4],能求出m的取值范围.
【解答】解:(1)f(x)=(log2x﹣2)(log4x﹣)
=(log2x)2﹣log2x+1,2≤x≤4
令t=log2x,则y=t2﹣t+1=(t﹣)2﹣,
∵2≤x≤4,
∴1≤t≤2.
当t=时,ymin=﹣,当t=1,或t=2时,ymax=0.
∴函数的值域是[﹣,0].
(2)令t=log2x,得t2﹣t+1>mt对于2≤t≤4恒成立.
∴m<t+﹣对于t∈[2,4]恒成立,
设g(t)=t+﹣,t∈[2,4],
∴g(t)=t+﹣=(t+)﹣,
∵g(t)=t+﹣在[2,4]上为增函数,
∴当t=2时,g(t)min=g(2)=0,
∴m<0.
21. 记函数f(x)=log2(2x﹣3)的定义域为集合M,函数g(x)=的定义域为集合N.求:
(Ⅰ)集合M,N;
(Ⅱ)集合M∩N,?R(M∪N).
参考答案:
【考点】对数函数的定义域;交、并、补集的混合运算.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】(1)求函数f(x)的定义域求得M,求函数g(x)的定义域求得N.
(2)根据两个集合的交集的定义求得 M∩N,再根据两个集合的并集的定义求得M∪N,再根据补集的定义求得CR(M∪N).
【解答】解:(1)由2x﹣3>0 得 x>,∴M={x|x>}.
由(x﹣3)(x﹣1)>0 得 x<1 或x>3,∴N={x|x<1,或 x>3}.
(2)M∩N=(3,+∞),M∪N={x|x<1,或 x>3},
∴CR(M∪N)=[1].
【点评】本题主要考查求函数的定义域,两个集合的交集、并集、补集的定义和运算,属于基础题.
22. 计算:(Ⅰ);
(Ⅱ).
参考答案:
(Ⅰ)----5分
(得分分解:4项中每项算对各得1分,最后结果10再得1分)
(Ⅱ)--------------7分
-------------------------------9分
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