山西省忻州市赤泥洼中学高二数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在100个产品中,一等品20个,二等品30个,三等品50个,用分层抽样的方法抽取一个容量20的样本,则二等品中A被抽取到的概率为( )
A. B. C. D.不确定
参考答案:
C
略
2. 一个蜂巢里有1只蜜蜂.第1天,它飞出去找回了5个伙伴;第2天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴…如果这个找伙伴的过程继续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有( )只蜜蜂.
A.
55986
B.
46656
C.
216
D.
36
参考答案:
B
略
3. 方程的实根个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
参考答案:
C
略
4. 已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2),B(4,-3,7),C(0,5,1),则BC边上的中线长为 ( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
参考答案:
B
5. x,y∈R,若|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|≤2,则x+y的取值范围为( )
A.[﹣2,0] B.[0,2] C.[﹣2,2] D.(0,2)
参考答案:
B
【考点】绝对值三角不等式.
【分析】根据绝对值的意义,|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|的最小值为2,再根据条件可得只有|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|=2,此时,0≤x≤1,0≤y≤1,从而求得x+y的范围.
【解答】解:解:根据绝对值的意义可得|x|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到0、1对应点的距离之和,其最小值为1;
|y|+|y﹣1|表示数轴上的y对应点到0、1对应点的距离之和,其最小值为1;
故|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|的最小值为2.
再根据|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|≤2,可得 只有|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|=2,
此时,0≤x≤1,0≤y≤1,∴0≤x+y≤2,
故选:B.
6. 设函数,则函数的零点的个数为( )
A. 4 B.7 C. 6 D.无穷多个
参考答案:
C
略
7. 曲线在点处的切线与轴交点的纵坐标为( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
C
8. 已知双曲线的右焦点F(3,0),则此双曲线的离心率为( )
A.6 B. C. D.
参考答案:
C
略
9. 两个变量y与x的回归模型中,分别选择了4个不同模型,它们的相关指数R2如下,其中拟合效果最好的模型是( )
A. 模型3的相关指数R2为0.50 B. 模型2的相关指数R2为0.80
C. 模型1的相关指数R2为0.98 D. 模型4的相关指数R2为0.25
参考答案:
C
【分析】
利用相关指数R2的意义判断得解.
【详解】相关指数R2越接近1,则模型的拟合效果更好,
所以模型1的相关指数R2为0.98时,拟合效果最好.
故选:C
【点睛】本题主要考查相关指数的意义性质,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10. 如果椭圆上一点到焦点的距离等于,那么点到另一个焦点的距离是( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. .
参考答案:
略
12. 若关于的方程组有实数解,则的取值范围是 .
参考答案:
[- ,]
13. ( 1) 下面算法的功能是 。
(2) 下列算法输出的结果是(写式子)
(3)下图为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为
参考答案:
( 1)统计x1到x10十个数据中负数的个数。
(2)
(3)i>20
14. 已知点在直线上,则的最小值为
参考答案:
解析:的最小值为原点到直线的距离:
15. 若中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆过点,且长轴长是短轴长的倍,
则其标准方程为 .
参考答案:
或
16. 幂函数的图像经过点,则的解析式为 。
参考答案:
略
17. 如图,设是图中边长为4的正方形区域,是内函数
图象下方的点构成的区域.在内随机取一点,则该点落在中的概率为 。
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设是由个有序实数构成的一个数组,记作:.其中 称为数组的“元”,称为的下标. 如果数组中的每个“元”都是来自 数组中不同下标的“元”,则称为的子数组. 定义两个数组,的关系数为.
(Ⅰ)若,,设是的含有两个“元”的子数组,求的最大值;
(Ⅱ)若,,且,为的含有三个“元”的子数组,求的最大值.
参考答案:
(Ⅰ)依据题意,当时,取得最大值为2.
(Ⅱ)①当是中的“元”时,由于的三个“元”都相等,
及中三个“元”的对称性,可以只计算
的最大值,其中.
由,
得 .
当且仅当,且时,达到最大值,
于是.
②当不是中的“元”时,计算的最大值,
由于,
所以.
,
当且仅当时,等号成立.
即当时,取得最大值,此时.
综上所述,的最大值为1.
略
19. 已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的最大值;
(2)当x>0时,f(x)>,求正实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;3H:函数的最值及其几何意义;6E:利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】(1)令分母xex+1=g(x),利用导数研究其单调性可得:x=﹣1时函数g(x)取得极小值,g(﹣1)>0.可得函数f(x)的定义域为R.f′(x)=,利用导数研究其单调性可得:x=0时,函数f(x)取得极大值即最大值.
(2)当x>0时,f(x)>,a>0,?(ax2﹣x+1)ex﹣1>0.x>0,a>0.令h(x)=(ax2﹣x+1)ex﹣1,x>0,a>0.h(0)=0.h′(x)=ax(x﹣)ex.对a分类讨论利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出.
【解答】解:(1)令分母xex+1=g(x),可得:g′(x)=ex(1+x),可得x=﹣1时函数g(x)取得极小值,g(﹣1)=1﹣>0.
∴函数f(x)的定义域为R.
f′(x)=,可得x<0时,f′(x)>0,此时函数f(x)单调递增;x>0时,f′(x)<0,此时函数f(x)单调递减.
∴x=0时,函数f(x)取得极大值即最大值,f(0)=1.
(2)当x>0时,f(x)>,a>0,?(ax2﹣x+1)ex﹣1>0.x>0,a>0.
令h(x)=(ax2﹣x+1)ex﹣1,x>0,a>0.h(0)=0.
则h′(x)=ax(x﹣)ex.
①a≥时,h′(x)=ax2ex>0,函数h(x)在x>0时单调递增,∴h(x)>h(0)=0,满足条件.
②0<a<时,函数h(x)在x=处取得极小值即最小值,x∈时单调递减,∴h(x)<h(0)=0,不满足条件,舍去.
综上可得:正实数a的取值范围是.
20. 已知直线经过直线与的交点,且它的倾斜角是直线的倾斜角的两倍,求直线的方程.
参考答案:
略
21. 已知直线l的参数方程为 (t为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求.
参考答案:
(1),;(2)2
【分析】
(1)消去参数即可确定普通方程,将极坐标方程两边乘以整理计算即可确定直角坐标方程;(2)联立直线参数方程的标准形式和圆的方程,结合参数的几何意义即可求得弦长.
【详解】(1)直线 (为参数),消去得:
即:
曲线,即
又,.
故曲线
(2)直线的参数方程为 (为参数)
直线的参数方程为 (为参数)
代入曲线,消去得:
由参数的几何意义知,
【点睛】本题考查直线的参数方程,圆的极坐标方程与普通方程的互化等,重点考查学生对基础概念的理解和计算能力,属于中等题.
22. 如图,在矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.
(1)求证:AE⊥平面BCE;
(2)求证:AE∥平面BFD.
参考答案:
证明:(1)∵AD⊥平面ABE,AD∥BC,
∴BC⊥平面ABE,则AE⊥BC.
又∵BF⊥平面ACE,则AE⊥BF.
∴AE⊥平面BCE.
(2)依题意可知:G是AC的中点.
∵BF⊥平面ACE,∴CE⊥BF.
又BC=BE,∴F是EC的中点.
在△AEC中,连结FG,则FG∥AE.
又AE?平面BFD,FG?平面BFD,∴AE∥平面BFD.