广东省梅州市梅县华侨附属中学2023年高一数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的图象是 ( )
参考答案:
C
2. 与函数的图象相同的函数解析式是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
3. 下面的茎叶图记录了甲、乙两名同学在10次英语听力比赛中的成绩(单位:分),已知甲得分的中位数为76分,乙得分的平均数是75分,则下列结论正确的是( )
A. B.乙同学成绩较为稳定
C.甲数据中x=3,乙数据中y=6 D.甲数据中x=6,乙数据中y=3
参考答案:
D
【考点】茎叶图.
【分析】根据题意先求出x、y的值,再判断四个选项是否正确.
【解答】解:因为甲代表队的中位数为76,
其中已知高于76的有77,80,82,88,
低于76的有71,71,65,64,
所以x=6;
因为乙代表队的平均数为75,
其中超过75的差值为5,11,13,14,和为43,
少于75的差值为3,5,7,7,19,和为41,
所以y=3;∴C错误,D正确;
又=×(64+65+71+71+76+76+77+80+82+88)=75,
乙代表队数据的平均数是=75,二者相等,A错误;
∴计算=×[(64﹣75)2+(65﹣75)2+…+(88﹣75)2]=50.2,
S2乙=×[(56﹣75)2+(68﹣75)2+…+(89﹣75)2]=70.3,
得出S2甲<S2乙,∴甲队成绩较为稳定,B错误.
故选:D.
4. 840和1764的最大公约数是( )
A.84 B.12 C.168 D.252
参考答案:
A
5. 等比数列{an}中,a4=4,则a3a5=( )
A.
8
B.
﹣8
C.
16
D.
﹣16
参考答案:
C
6. 若函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( )
A.若,不存在实数使得;
B.若,存在且只存在一个实数使得;
C.若,有可能存在实数使得;
D.若,有可能不存在实数使得
参考答案:
C
略
7. 已知数列的通项公式分别是,若
,则的最大值为( ).
A.4 B. C.2 D.3
参考答案:
A
8. sin480°等于
A. B. C. D.
参考答案:
D
9. 若函数在区间上是减函数,则实数的取值范围 ( )
A.a≤-3 B.a≥-3 C.a≤5 D.a≥3
参考答案:
A
略
10. 设定义在上的函数是偶函数,且在为增函数,,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 角的终边经过点,则_____.
参考答案:
【分析】
根据三角函数的定义可求出,利用诱导公式可知,即可求解.
【详解】因为角的终边经过点,
所以,
,故填.
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义,诱导公式,属于中档题.
12. 下列各图是由一些火柴棒拼成的一系列图形,如第一个图中有4根火柴棒组成,第二个图中有7个火柴棒组成,第三个图中有10个火柴棒组成,按这种规律排列下去,那么在第51个图中的火柴棒有_________个
参考答案:
154
略
13. 观察下列图形:
图① 图② 图③ 图④ 图⑤
请用你发现的规律直接写出图④中的数y= ;图⑤中的数x= .
参考答案:
12,-2
14. 已知为锐角,且,则的值为 .
参考答案:
由为锐角,可得,
则,故答案为.
15. 东方旅社有100张普通客床,每床每夜收租费10元,客床可以全部租出,若每床每夜收费提高1元,便减少5张床租出;再提高1元,又再减少5张床租出,依次变化下去,为了投资少而获利大,每床每夜应提高租金 元
参考答案:
5
16. 函数y=log2(3cosx+1),x∈[﹣,]的值域为 .
参考答案:
[0,2]
【考点】对数函数的图象与性质.
【分析】根据x∈[﹣,],得出1≤3cosx+1≤4,利用对数函数的性质,即可得出结论.
【解答】解:∵x∈[﹣,],∴0≤cosx≤1,
∴1≤3cosx+1≤4,
∴0≤log2(3cosx+1)≤2,
故答案为[0,2].
17. 若正实数x,y满足,则的最小值为______.
参考答案:
【分析】
由得,将转化为,
整理,利用基本不等式即可求解。
【详解】因为,所以.
所以
当且仅当,即:时,等号成立
所以的最小值为.
【点睛】本题主要考查了构造法及转化思想,考查基本不等式的应用及计算能力,属于基础题。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某品牌茶壶的原售价为80元/个,今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶,甲店用如下方法促销:如果只购买一个茶壶,其价格为78元/个;如果一次购买两个茶壶,其价格为76元/个;…,一次购买的茶壶数每增加一个,那么茶壶的价格减少2元/个,但茶壶的售价不得低于44元/个;乙店一律按原价的75%销售.现某茶社要购买这种茶壶x个,如果全部在甲店购买,则所需金额为y1元;如果全部在乙店购买,则所需金额为y2元.
(1)分别求出y1、y2与x之间的函数关系式;
(2)该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少?
参考答案:
【考点】函数模型的选择与应用.
【专题】计算题.
【分析】(1)根据甲店茶壶的售价不得低于44元/个可知甲店购买所需金额为一个分段函数,若全部在乙店购买,则所需金额为一个一次函数;
(2)先求出茶具店购买茶壶花费y一样时所买茶壶个数,然后分段可知该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少.
【解答】解:(1),y2=60x(x∈N+)
(2)令﹣2x2+80x=60x解得x=10
当0<x<10时,去乙店花费较少
当x=10时,甲乙两店一样
当x>10时,去甲店花费较少
【点评】本题主要考查了根据题意建立函数关系,以及比较函数大小,解题的关键分段的标准,属于基础题.
19. (1)已知,,试用a,b表示log5
(2)化简:
参考答案:
(1) (2) (1)原式=
略
20. 已知等比数列{an}的公比是的等差中项,数列的前n项和为.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和Tn.
参考答案:
(1),;(2).
【分析】
(1)先由题意,列出方程组,求出首项与公比,即可得出通项公式;
(2)根据题意,求出,再由(1)的结果,得到,利用错位相减法,即可求出结果.
【详解】(1)因为等比数列的公比,,是的等差中项,
所以,即,解得,
因此,;
(2)因为数列的前项和为,
所以,()
又当也满足上式,所以,;
由(1),;
所以其前项和①
因此②
①式减去②式可得: ,
因此.
【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合应用,以及错位相减法求数列的和,熟记等差数列与等比数列的通项公式以及求和公式即可,属于常考题型.
21. 已知函数f(x)满足f()=x+.
(1)求函数的解析式;
(2)判断函数f(x)在区间(,+∞)上的单调性,并用定义法加以证明.
参考答案:
【考点】函数解析式的求解及常用方法.
【专题】转化思想;定义法;函数的性质及应用.
【分析】(1)利用换元法进行求解即可.
(2)利用函数单调性的定义进行证明即可.
【解答】解:(1)设t=,则x=2t,
即f(t)=2t+,
即f(x)=2(x+),x≠0.
(2)函数在(,1)上为减函数,则(1,+∞)为增函数,
对任意的1<x1<x2,
则f(x1)﹣f(x2)=2(x1+﹣x2﹣)=2(x1﹣x2)?,
∵1<x1<x2,
∴x1x2>1,则x1x2﹣1>0,x1﹣x2<0,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴函数在区间(1,+∞)上是单调递增函数.
同理函数在(,1)上为减函数.
【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及函数单调性的证明,利用定义法和换元法是解决本题的关键.
22. 自行车大轮48齿,小轮20齿,大轮转一周小轮转多少度?
参考答案:
8640