广东省揭阳市神泉中学高二数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上的点,且,则的面积为 ( )
A.4 B.6 C. D.
参考答案:
B
2. 若,则m的取值可能是( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
参考答案:
BC
【分析】
根据组合的公式列式求解,再结合的范围即可.
【详解】根据题意,对于,有0≤m﹣1≤8且0≤m≤8,则有1≤m≤8,
若,则有,
变形可得:m>27﹣3m,
解可得:m>,
综合可得:<m≤8,则m=7或8;
故选:BC.
【点睛】本题主要考查了组合数的公式运用,属于中档题.
3. 设曲线在点 处的切线与轴的交点横坐标为,则的值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
4. 圆x2+y2﹣2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是( )
A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
参考答案:
C
【考点】圆与圆的位置关系及其判定.
【专题】计算题.
【分析】把两圆的方程化为标准方程,分别找出圆心坐标和半径,利用两点间的距离公式,求出两圆心的距离d,然后求出R﹣r和R+r的值,判断d与R﹣r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系.
【解答】解:把圆x2+y2﹣2x=0与圆x2+y2+4y=0分别化为标准方程得:
(x﹣1)2+y2=1,x2+(y+2)2=4,
故圆心坐标分别为(1,0)和(0,﹣2),半径分别为R=2和r=1,
∵圆心之间的距离d=,R+r=3,R﹣r=1,
∴R﹣r<d<R+r,
则两圆的位置关系是相交.
故选C
【点评】圆与圆的位置关系有五种,分别是:当0≤d<R﹣r时,两圆内含;当d=R﹣r时,两圆内切;当R﹣r<d<R+r时,两圆相交;当d=R+r时,两圆外切;当d>R+r时,两圆外离(其中d表示两圆心间的距离,R,r分别表示两圆的半径).
5. 随机变量的概率分布列为,() 其中为常数,则的值为( )
A: B: C: D:
参考答案:
D
略
6. 已知P(x,y)是直线上一动点,PA,PB是圆C:的两条切线,A、B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则的值为( )
A.3 B. C. D.2
参考答案:
D
7. 若坐标原点到抛物线的准线距离为2,则( )
A.8 B. C. D.
参考答案:
D
8. 给出下面四个命题:
①“”的充要条件是“平行于所在的平面”;
②“直线平面内所有直线”的充要条件是“平面”;
③“直线为异面直线”的充分而不必要条件是“直线不相交”;
④“平面//平面”的必要而不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”.
其中正确命题的序号是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
参考答案:
D
9. 极坐标方程与的图形是 ( ).
参考答案:
B
略
10. 对两个变量y和x进行回归分析,得到一组样本数据:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则下列说法中不正确的是( )
A.由样本数据得到的回归方程必过样本点的中心
B.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好
C.用相关指数R2来刻画回归效果,R2的值越小,说明模型的拟合效果越好
D.在残差图中,残差点比较均匀地落在水平带状区域中,说明选用的模型比较合适,带状区域越窄,说明回归方程的预报精确度越高;
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是 .
参考答案:
4
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】双曲线2x2﹣y2=8化为标准方程为,即可求得实轴长.
【解答】解:双曲线2x2﹣y2=8化为标准方程为
∴a2=4
∴a=2
∴2a=4
即双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是4
故答案为:4
12.
参考答案:
13. 已知约束条件若目标函数恰好在点(2,2)处取得最大值,则 的取值范围为__________
参考答案:
14. 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体玻璃容器内随机飞行,若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于1,则就有可能撞到玻璃上面不安全,若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于1,则飞行是安全的,假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同,那么蜜蜂飞行是安全的概率是 .
参考答案:
【考点】几何概型.
【专题】计算题;方程思想;综合法;概率与统计.
【分析】小蜜蜂的安全飞行范围为:以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内.这个小正方体的体积为大正方体的体积的,故安全飞行的概率为.
【解答】解:由题知小蜜蜂的安全飞行范围为:
以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内.
这个小正方体的体积为1,
大正方体的体积为27,
故安全飞行的概率为P=.
故答案为:.
【点评】本题考查几何概型概率的求法,解题时要认真审题,注意小蜜蜂的安全飞行范围为:以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内.
15. 已知椭圆的离心率为,过右焦点F作斜率为k的直线l与椭圆相交于A,B两点,若,则k= ▲ .
参考答案:
【分析】
设l为椭圆的右准线,过A、B作AA1,BB1垂直于l,过B作BE⊥AA1于E,根据椭圆的第二定义,转化求解即可.
【详解】设l为椭圆的右准线,过A、B作AA1,BB1垂直于l,A1,B1为垂足,
过B作BE⊥AA1于E,根据椭圆的第二定义,得
|AA1|=,|BB1|=,
∵=2,∴cos∠BAE====,
∴tan∠BAE=.
∴k=.
故答案为:
【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用,椭圆的第二定义,考查转化思想以及计算能力.
16. 计算的值是 .
参考答案:
17. 已知函数f(x)=x2+bx+c,其中0b4,0c4,记事件A为 “函数f(x)满足条件:”则事件A发生的概率为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 给定两个命题,p:对任意实数都有恒成立;q:关于的方程有实数根;若为真,为假,求实数的取值范围.
参考答案:
解:对任意实数都有恒成立;
关于的方程有实数根;
因为为真,则至少一个为真,又为假,则至少一个为假.
所以一真一假,即“真假”或“假真”.
真假,有;
假真,有.
所以实数的取值范围为.
19. (12分)已知(+3x2)n的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大992.求:
(1)展开式中二项式系数最大的项;
(2)展开式中系数最大的项.
参考答案:
令x=1,
则展开式中各项系数和为(1+3)n=22n,
又∵展开式中二项式系数和为2n,∴22n-2n=992,即n=5.
(1)∵n=5,展开式共6项,二项式系数最大的项为第三、四两项,∴T3=(3x2)2=90x6,
T4=(3x2)3=.
(2)设展开式中第r+1项系数最大,
则Tr+1=()5-r(3x2)r=3r,于是.
因此r=4,即展开式中第5项系数最大,。X。K]T5=(3x2)4=.
20. 设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数,b是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
参考答案:
【考点】古典概型及其概率计算公式;几何概型.
【分析】首先分析一元二次方程有实根的条件,得到a≥b
(1)本题是一个古典概型,试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数,满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数,求得概率.
(2)本题是一个几何概型,试验的全部结束所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},满足条件的构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},根据概率等于面积之比,得到概率.
【解答】解:设事件A为“方程有实根”.
当a>0,b>0时,方程有实根的充要条件为a≥b
(1)由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的基本事件共12个:
(0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(1,2)(2,0)(2,1)(2,2)(3,0)(3,1)(3,2)
其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.
事件A中包含9个基本事件,
∴事件A发生的概率为P==
(2)由题意知本题是一个几何概型,
试验的全部结束所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}
满足条件的构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}
∴所求的概率是
21. 已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组,参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》.活动共有四关,若四关都闯过,则闯关成功,否则落水失败.设男生闯过一至四关的概率依次是,,,,女生闯过一至四关的概率依次是,,,.
(Ⅰ)求男生甲闯关失败的概率;
(Ⅱ)设X表示四人冲关小组闯关成功的人数,求随机变量X的分布列和期望.
参考答案:
【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差;CG:离散型随机变量及其分布列.
【分析】(Ⅰ)利用对立事件计算“男生甲闯关失败”的概率;
(Ⅱ)计算“一位女生闯关成功”的概率,得出变量X的所有可能取值,计算对应的概率值,写出X的分布列,计算数学期望值.
【解答】解:(Ⅰ)记“男生甲闯关失败”为事件A,
则“男生甲闯关成功”为事件,
∴P(A)=1﹣P()
=1﹣×××
=1﹣
=;
(Ⅱ)记“一位女生闯关成功”为事件B,
则P(B)=×××=,
随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4;
且P(X=0)=×=,
P(X=1)=???+???=,
P(X=3)=???+???=,
P(X=4)=×=,
P(X=2)=1﹣=;
∴X的分布列为:
X
0
1
2
3
4
P
∴数学期望为E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=.
22. 已知函数f(x)=ex﹣x2﹣ax(a∈R).
(Ⅰ)若函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b,求a,b的值;
(Ⅱ)若函数在R上是增函数,求实数a取值范围;
(Ⅲ)如果函数g(x)=f(x)﹣(a﹣)x2有两个不同的极值点x1,x2,证明:a>.
参考答案:
【考点】函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(1)根据导数的几何意义,可以求出a的值,再根据切点坐标在曲线上和切线上,即可求出b的值,从而得到答案;
(2)将函数f(x)在R上是增函数,转化为f'(x)>0在R上恒成立,利用参变量分离转化成a<ex﹣x在R上恒成立,
利用导数求h(x)=ex﹣x的最小值,即可求得实数a的取值范围;
(3)根据x1,x2是g(x)的两