广东省云浮市都骑中学高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设10≤X1 B.=
C. < D.,与的大小关系与x1,、X2、X3、X4的取值有关
参考答案:
A
2. 设的展开式的各项系数的和为P,所有二项式系数的和为S,若P+S=272,则n为( )
A.4 B.5 C.6 D.8
参考答案:
A
略
3. 已知函数 ( )
A 0 B 100 C -100 D 10200
参考答案:
B
4. 已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,点E在C的准线上,且在x轴上方,线段EF的垂直平分线与C的准线交于点Q(﹣1,),与C交于点P,则点P的坐标为( )
A.(1,2) B.(2,2) C.(3,2) D.(4,4)
参考答案:
D
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】由抛物线方程求出焦点坐标,设出E的坐标(﹣1,m),利用EF和QP垂直求得m的值,则QP的方程可求,联立QP的方程与抛物线方程即可求出P的坐标.
【解答】解:如图,
由抛物线方程为y2=4x,得F(1,0),设E(﹣1,m)(m>0),
则EF中点为G(0,),,又Q(﹣1,),
∴,则,解得:m=4.
∴,则QG所在直线方程为y﹣=,即x﹣2y+4=0.
联立,得,即P(4,4),
故选:D.
5. 用演绎法证明函数是增函数时的小前提是( )
A.增函数的定义 B.函数满足增函数的定义
C.若,则 D.若,则
参考答案:
略
6. 命题“?x>1,log2x>0”的否定形式是( )
A.?x0>1,log2x≤0 B.?x0≤1,log2x≤0
C.?x>1,log2x≤0 D.?x≤1,log2x>0
参考答案:
A
【考点】命题的否定.
【分析】命题是一个全称命题,把条件中的全称量词改为存在量词,结论的否定作结论即可得到它的否定,由此规则写出其否定即可.
【解答】解:命题“?x>1,log2x>0”是一个全称命题,
其否定是一个特称命题.
故为:?x0>1,log2x≤0
故选:A
7. 直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为
A. B. 9 C. D.
参考答案:
D
8. 已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使=,则该椭圆的离心率的取值范围为( )
A.(0,﹣1) B.(,1) C.(0,) D.(﹣1,1)
参考答案:
D
【考点】正弦定理;椭圆的简单性质.
【分析】由“ ”的结构特征,联想到在△PF1F2中运用由正弦定理得: 两者结合起来,可得到 ,再由焦点半径公式,代入可得到:a(a+ex0)=c(a﹣ex0)解出x0,由椭圆的范围,建立关于离心率的不等式求解.要注意椭圆离心率的范围.
【解答】解:在△PF1F2中,由正弦定理得:
则由已知得:,
即:aPF1=cPF2
设点P(x0,y0)由焦点半径公式,
得:PF1=a+ex0,PF2=a﹣ex0
则a(a+ex0)=c(a﹣ex0)
解得:x0= =
由椭圆的几何性质知:x0>﹣a则 >﹣a,
整理得e2+2e﹣1>0,解得:e<﹣﹣1或e>﹣1,又e∈(0,1),
故椭圆的离心率:e∈(﹣1,1),
故选D.
【点评】本题主要考查椭圆的定义,性质及焦点三角形的应用,特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点,多数是用a,b,c转化,用椭圆的范围来求解离心率的范围.
9. 观察下列数字的排列规律:,则第个数字是( )
A.2 B.1 C.0 D.非以上答案
参考答案:
A
略
10. 已知曲线及两点和,其中,过,分别作x轴的垂线,交曲线C于,两点,直线与轴交于点,过作x轴垂线交曲线C于点,直线与轴交于点,依此类推,若,,则点的坐标为( )
A.(21,0) B. (34,0) C. (36,0) D. (55,0)
参考答案:
B
分析:先求出两点的坐标,进而得到直线的方程,再令,求出,根据递推关系可得出结论.
详解:由题意得,则直线的方程为,
令,得,故,,,,
的坐标为,故选B.
点睛:转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透,这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域,进而顺利解答,希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中,将坐标问题转化为递推关系求解是解题的关键.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 系数矩阵为,且解为的一个线性方程组是
参考答案:
12. 已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1B1的中点,求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值 .
参考答案:
略
13. 若实数满足,则的最小值是_________.
参考答案:
14. 已知为平面的一条斜线,B为斜足,,为垂足,为内的一条直线,,,则斜线和平面所成的角为____________。
参考答案:
略
15. 若复数z1=4+29i,z2=6+9i,其中i是虚数单位,则复数(z1-z2)i的实部为________
参考答案:
-20
略
16. 将 , , 由大到小排列为__________.
参考答案:
> > .
本题考查指数函数与幂函数的综合运用.
注意到 <0,而 >0, >0;
又因为 = ,且y= 在[0,+∞)上是增函数,所以 < .
综合得 > > .
17. 已知双曲线的离心率为2,焦点与椭圆的焦点相同,那么双曲线的方程为________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知点A(0,﹣2),B(0,4),动点P(x,y)满足;
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)设(1)中所求轨迹方程与直线y=x+2交于C、D两点;求证OC⊥OD(O为坐标原点).
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的关系;轨迹方程.
【分析】(1)由,,代入可求
(2)联立,设C(x1,y1),D(x2,y2),则根据方程的根与系数关系可求x1+x2,x1x2,由y1y2=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4,代入到=x1x2+y1y2可证OC⊥OD
【解答】解:(1)∵A(0,﹣2),B(0,4),P(x,y)
∴,
∵
∴﹣x(﹣x)+(4﹣y)(﹣2﹣y)=y2﹣8
整理可得,x2=2y
(2)联立可得x2﹣2x﹣4=0
设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=2,x1x2=﹣4,
∴y1y2=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=4
∵=x1x2+y1y2=0
∴OC⊥OD
19. 近几年出现各种食品问题,食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病.为了解三高疾病是否与性别有关,医院随机对入院的60人进行了问卷调查,得到了如下的列联表:
患三高疾病
不患三高疾病
合计
男
24
6
30
女
12
18
30
合计
36
24
60
(1)请将如图的列联表补充完整;若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽9人,其中女性抽多少人?
(2)为了研究三高疾病是否与性别有关,
请计算出统计量K2,并说明你有多大的把握认为三高疾病与性别有关?
下面的临界值表供参考:
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式K2=,其中n=a+b+c+d)
参考答案:
【考点】频率分布折线图、密度曲线;独立性检验.
【分析】(1)通过2×2连列表,直接将如图的列联表补充完整;通过分层抽样求出在患三高疾病的人群中抽9人,的比例,然后求解其中女性抽的人数.
(2)直接计算出统计量K2,结合临界值表,说明有多大的把握认为三高疾病与性别有关.
【解答】(本题满分12分)
解:(1)表格如下:
患三高疾病
不患三高疾病
合计
男
24
6
30
女
12
18
30
合计
36
24
60
…
在患三高疾病人群中抽9人,则抽取比例为
∴女性应该抽取人.…
(2)∵…=10>7.879,…
那么,我们有99.5%的把握认为是否患三高疾病与性别有关系.…
20. 某工厂要制造A种电子装置42台,B种电子装置55台,为了给每台装置配上一个外壳,需要从甲乙两种不同的钢板上截取.已知甲种钢板每张面积为2m2,可作A外壳3个B外壳5个;乙种钢板每张面积为3m,可作A外壳和B外壳各6个.用这两种钢板各多少张,才能使总的用料面积最小?
参考答案:
【考点】简单线性规划的应用.
【专题】综合题;转化思想;演绎法;不等式.
【分析】根据已知条件中解:设用甲种薄金属板x张,乙种薄金属板y张,则可做A种的外壳分别为3x+6y个,B种的外壳分别为5x+6y个,由题意得出约束条件,及目标函数,然后利用线性规划,求出最优解.
【解答】解:设用甲种钢板x张,乙种钢板y张,总的用料面积为zm2
由题意得:z=2x+3y且
作出可行域如图:…(4分)
解方程组,得A点坐标为(,),
z=2x+3y=24非整数.
调整,可得最优整数解是(5,5)和(8,3)),此时zmin=25.
答:用甲种钢板5张,乙种钢板5张或用甲种钢板8张,乙种钢板3张才能使总的用料面积最少.…(10分)
【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划的应用,在解决线性规划的应用题时,其步骤为:①分析题目中相关量的关系,列出不等式组,即约束条件?②由约束条件画出可行域?③分析目标函数Z与直线截距之间的关系?④使用平移直线法求出最优解?⑤还原到现实问题中.
21. 已知函数其中是常数。
(Ⅰ)当时,求函数在点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,求函数在上的最大值。、
参考答案:
解:(Ⅰ)当时,
,
故在点处的切线方程为,即
(Ⅱ)
(ⅰ)当时,函数在上单调递减,在上单调递增,所以在单调递增,故函数在上的最大值为;
(ⅱ)当时,
令,得
①当时,函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,故函数在上的最大值为
②当时,函数函数在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,
因为,所以,函数在单调递增,故函数在上的最大值为
综上,当时,函数在上的最大值为。
22. 已知函数。
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求的极大值。
参考答案:
(Ⅰ)解:∵,