广东省汕头市上堡创大中学2023年高三数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知抛物线的方程为y2=4x,过其焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,若S△AOF=3S△BOF(O为坐标原点),则|AB|=( )
A. B. C. D.4
参考答案:
A
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的简单性质.
【分析】根据对称性可设直线的AB的倾斜角为锐角,利用S△AOF=3S△BOF,求得yA=﹣3yB,设出直线AB的方,与抛物线方程联立消去x,利用韦达定理表示出yA+yB和yAyB,进而求得利用+,求得m,最后利用斜率和A,B的坐标求得|AB|.
【解答】解:设直线的AB的倾斜角为锐角,
∵S△AOF=3S△BOF,
∴yA=﹣3yB,
∴设AB的方程为x=my+1,与y2=4x联立消去x得,
y2﹣4my﹣4=0,
∴yA+yB=4m,yAyB=﹣4.
∴+==﹣2==﹣3﹣,
∴m2=,
∴|AB|=?=.
故选:A.
2. 已知全集U={x I x < 5},集合,则
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
3. 函数的图象为( )
参考答案:
B
4. 将直线绕点(1,0)沿逆时针方向旋转得到直线,则直线与圆的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切
参考答案:
B
5. 已知椭圆=1(a>b>0)的左右顶点分别为A,B上顶点为C,若△ABC是底角为30°的等腰三角形,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】利用已知条件列出a,b关系式,最后求解离心率即可.
【解答】解:由题意得∠CAB=30°,则tan∠CAB==,可得离心率为e===,
故选:D.
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查计算能力.
6. 在△ABC中,AB=AC,M为AC的中点,BM=,则△ABC面积的最大值是
(A)2 (B) (C) (D)3
参考答案:
B
考点:余弦定理
因为设则,
得
,
,
当时上式有最大值为2,
故答案为:B
7. 函数的图象为
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
8. 已知,下列四个条件中,使成立的必要而不充分的条件是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
9. 已知复数z满足(2﹣i)z=1+i(i为虚数单位),则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出.
【解答】解:(2﹣i)z=1+i(i为虚数单位),
∴(2+i)(2﹣i)z=(1+i)(2+i),∴5z=1+3i,
∴z=+i,
则=﹣i,
故选:B.
10. 设是虚数单位,若复数,则的共轭复数为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图,在圆O中,若弦AB=3,弦AC=5,则·的值是
参考答案:
8
略
12. 已知中,边上的高与边的长相等,则的最大值为 ▲ .
参考答案:
略
13. 在△ABC中,若D为BC 的中点,则有,将此结论类比到四面体中,在四面体 A﹣BCD中,若G为△BCD的重心,则可得一个类比结论: .
参考答案:
【考点】向量在几何中的应用.
【分析】“在△ABC中,D为BC的中点,则有,平面可类比到空间就是“△ABC”类比“四面体A﹣BCD”,“中点”类比“重心”,可得结论.
【解答】解:由“△ABC”类比“四面体A﹣BCD”,“中点”类比“重心”有,
由类比可得在四面体A﹣BCD中,G为△BCD的重心,则有.
故答案为:.
14. 复数
参考答案:
15. 在直角坐标系xOy中,已知A(-1,0),B(0,1),则满足且在圆上的点P的个数为 ▲ .
参考答案:
2
略
16. 已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形,则圆锥体积的最大值为 .
参考答案:
设圆锥的底面圆半径为,有圆锥的高为,从而圆锥的体积为,令,有 ,令,当时函数 为增函数,当时函数为减函数,从而当时体积取最大值.
17. 若函数,则不等式的解集为____________
参考答案:
(2,3)
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. [选修4-4:坐标系与参数方程]
以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ=2(sinθ+cosθ+).
(1)求曲线C的参数方程;
(2)在曲线C上任取一点P(x,y),求的3x+4y最大值.
参考答案:
【考点】简单曲线的极坐标方程.
【分析】(1)根据y=ρsinθ,x=ρcosθ,求出C的普通方程,从而求出参数方程即可;
(2)设出P的坐标,从而求出3x+4y的最大值即可.
【解答】解:(1)由,得ρ2=2(ρsinθ+ρcosθ+1),
∴x2+y2=2x+2y+2,即(x﹣1)2+(y﹣1)2=4,
故曲线C的参数方程为为参数).
(2)由(1)可设点P的坐标为(1+2cosθ,1+2sinθ),θ∈[0,2π),
∴3x+4y=3+6cosθ+4+8sinθ=7+10sin(θ+φ),
∴(3x+4y)max=7+10=17.
19. 在中,是边的一个三等分点(靠近点),记.
(1)求的大小;
(2)当取最大值时,求的值.
参考答案:
(1)因为,
所以,即,
整理得.
又,所以,即.
(2)设,则.
由正弦定理得,
又,
由,得.
因为,
所以.
因为,所以,
所以当,即时,取得最大值,
此时,
所以.
20. (本小题满分12分)
某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。
(I)求从甲、乙两组各抽取的人数;
(II)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;
(III)记表示抽取的3名工人中男工人数,求的分布列及数学期望。
参考答案:
解析:(I)这一问较简单,关键是把握题意,理解析分层抽样的原理即可。另外要注意此分层抽样与性别无关。
(II)在第一问的基础上,这一问处理起来也并不困难。
从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率
(III)的可能取值为0,1,2,3
,,
,
分布列及期望略。
评析:本题较常规,比08年的概率统计题要容易。在计算时,采用分类的方法,用直接法也可,但较繁琐,考生应增强灵活变通的能力。
21. (10分)在直角坐标系xOy中,已知圆C:(θ为参数),点P在直线l:x+y﹣4=0上,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.
( I)求圆C和直线l的极坐标方程;
( II)射线OP交圆C于R,点Q在射线OP上,且满足|OP|2=|OR|?|OQ|,求Q点轨迹的极坐标方程.
参考答案:
【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.
【分析】(Ⅰ)圆C:(θ为参数),可得直角坐标方程:x2+y2=4,利用互化公式可得圆C的极坐标方程.点P在直线l:x+y﹣4=0上,利用互化公式可得直线l的极坐标方程.
(Ⅱ)设P,Q,R的极坐标分别为(ρ1,θ),(ρ,θ),(ρ2,θ),由,又|OP|2=|OR|?|OQ|,即可得出.
【解答】解:(Ⅰ)圆C:(θ为参数),可得直角坐标方程:x2+y2=4,∴圆C的极坐标方程ρ=2.
点P在直线l:x+y﹣4=0上,直线l的极坐标方程ρ=.
(Ⅱ)设P,Q,R的极坐标分别为(ρ1,θ),(ρ,θ),(ρ2,θ),
因为,
又因为|OP|2=|OR|?|OQ|,即,∴,
∴ρ=.
【点评】本题考查了参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程及其应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
22. 在平面直角坐标系中,设向量,,
.
(1)若,求的值;
(2)设,,且,求的值.
参考答案:
(1)因为,,,
所以,
且. …… 3分
因为,所以,即a2 ??2 ab ??b2 ??1,
所以,即. …… 6分
(2)因为,所以.
依题意,. …… 8分
因为,所以.
化简得,,所以. …… 12分
因为,所以.
所以,即. …… 14分