广东省佛山市顺德华侨中学高三数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班,每人4天.
甲说:我在1日和3日都有值班;
乙说:我在8日和9日都有值班;
丙说:我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必定值班的日期是( )
A.2日和5日 B.5日和6日 C.6日和11日 D.2日和11日
参考答案:
C
【考点】进行简单的合情推理;分析法和综合法.
【专题】综合题;推理和证明.
【分析】确定三人各自值班的日期之和为26,根据甲说:我在1日和3日都有值班;乙说:我在8日和9日都有值班,可得甲在1、3、10、12日值班,乙在8、9、2、7或8、9、4、5,即可确定丙必定值班的日期.
【解答】解:由题意,1至12的和为78,
因为三人各自值班的日期之和相等,
所以三人各自值班的日期之和为26,
根据甲说:我在1日和3日都有值班;乙说:我在8日和9日都有值班,可得甲在1、3、10、12日值班,乙在8、9、2、7或8、9、4、5,
据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日,
故选:C.
【点评】本题考查分析法,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.
2. 坐标平面上的点集S满足S={(x,y)|log2(x2﹣x+2)=2sin4y+2cos4y,y∈[﹣,],将点集S中的所有点向x轴作投影,所得投影线段的长度为( )
A.1 B. C. D.2
参考答案:
D
【考点】函数的图象;对数的运算性质.
【分析】先求出2sin4y+2cos4y=2﹣4sin2y?cos2y=2﹣(sin2y)2的范围,即可得出函数y=log2(x2﹣x+2)的值域范围,从而求出函数函数y=log2(x2﹣x+2)的定义域,进一步可求投影长度.
【解答】解:1=(sin2y+cos2y)2=sin4y+cos4y+2sin2y?cos2y,
∴2sin4y+2cos4y=2﹣4sin2y?cos2y=2﹣(sin2y)2,
∵y∈[﹣,],∴2y∈[﹣,],∴≤sin2y≤1,
∴2﹣(sin2y)2∈[1,2]
∴log2(x2﹣x+2)∈[1,2],
∴2≤x2﹣x+2≤4,
∴﹣1≤x≤0,或1≤x≤2
故x的投影长度为1+1=2,
故选:D
【点评】本题综合考查函数定义域与值域问题,考查的较为灵活,做题中要注意转化.
3. 若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是 ( )
A.cm3 B.cm3 C.cm3 D.cm3
参考答案:
B
4. 一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为
A 48 B.32十
C.48 + D. 80
参考答案:
5. 球O是棱长为12的正四面体S-ABC的外接球,D,E,F分别是棱SA,SB,SC的中点,那么平面DEF截球O所得截面的面积是( )
A. 36π B. 40π C. 48π D. 54π
参考答案:
C
【分析】
先算出外接球的半径,然后算出球心到截面的距离,利用勾股定理可求得截面圆的半径,从而可得到本题答案.
【详解】由正四面体的性质可知:,,因为,在中,由勾股定理得,由平行面分线段成比例可知:,故,,故所求截面面积为.
故选:C
【点睛】本题主要考查三棱锥外接球的截面圆的面积问题.
6. 已知,则( )
A. B. 2 C. D.
参考答案:
D
7. 已知等比数列满足则
A.121 B.154 C.176 D.352
参考答案:
C
整体思想:,;
. 选C.
8. 已知集合,下列结论成立的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
9. 已知函数y=f (x)是偶函数,且函数y=f (x-2)在[0,2]上是单调减函数,则 ( )
A. f (-1)<f (2)<f (0) B.f (-1)<f (0)<f (2)
C. f (2)<f (-1)<f (0) D.f (0)<f (-1)<f (2)
参考答案:
D
10. 变量x,y之间的一组相关数据如表所示:
x
4
5
6
7
y
8.2
7.8
6.6
5.4
若x,y之间的线性回归方程为=x+12.28,则的值为( )
A.﹣0.92 B.﹣0.94 C.﹣0.96 D.﹣0.98
参考答案:
C
【考点】线性回归方程.
【分析】求出样本的中心点,代入回归方程求出的值即可.
【解答】解:由题意得:
=5.5, =7,
故样本中心点是(5.5,7),
故7=5.5+12.28,解得: =﹣0.96,
故选:C.
【点评】本题考查线性回归方程的性质,本题解题的关键是根据所给的条件求出直线的样本中心点,线性回归方程一定过样本中心点是本题解题的依据,本题是一个基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知球是正三棱锥(底面为正三角形,顶点在底面的射影为底面中心)的外接球,,,点在线段上,且,过点作球的截面,则所得截面中面积最小的截面圆的面积是 .
参考答案:
12. 函数f(x)的定义域为D,若存在闭区间[a,b]?D,使得函数f(x)满足:
(1)f(x)在[a,b]内是单调函数;
(2)f(x)在[a,b]上的值域为[2a,2b],则称区间[a,b]为y=f(x)的“美丽区间”.
下列函数中存在“美丽区间”的是 (只需填符合题意的函数序号).
①f(x)=x2(x≥0); ②f(x)=ex(x∈R); ③f(x)=; ④f(x)=.
参考答案:
①③④
【考点】函数的值域.
【专题】新定义;函数的性质及应用.
【分析】根据函数中存在“美丽区间”,则:①f(x)在[a,b]内是单调函数;②或,对四个函数分别研究,从而确定存在“美丽区间”的函数.
【解答】解:①.若f(x)=x2(x≥0),若存在“美丽区间”[a,b],
则此时函数单调递增,则由,得,∴,
∴f(x)=x2(x≥0)存在“美丽区间”[0,2],∴①正确.
②,若f(x)=ex(x∈R),若存在“美丽区间”[a,b],
则此时函数单调递增,则由,得,
即a,b是方程ex=2x的两个不等的实根,
构建函数g(x)=ex﹣2x,
∴g′(x)=ex﹣2,
∴函数在(﹣∞,ln2)上单调减,在(ln2,+∞)上单调增,
∴函数在x=ln2处取得极小值,且为最小值.
∵g(ln2)=2﹣ln2>0,
∴g(x)>0,
∴ex﹣2x=0无解,故函数不存在“美丽区间”,∴②不正确;
③,∵f(x)=,在(0,+∞)上是减函数,若存在“美丽区间”[a,b],
则,得,
∴满足ab=的区间[a,b]都是“美丽区间”,故③正确;
④.若函数f(x)=(x≥0),
f′(x)==,
若存在“美丽区间”[a,b]?[0,1],
则由,得,
∴a=0,b=1,
∴存在“美丽区间”[0,1],∴④正确.
故答案是①③④.
【点评】本题主要考查了与函数的性质有关的新定义问题,涉及知识点较多,综合性强,难度较大.
13. 对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,样本容量为400,右图为检测结果的频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度在区间[25,30)的为一等品,在区间[20,25) 和[30,35)的为二等品,其余均为三等品,则样本中三等品的件数为 .
参考答案:
100;
14. 已知各项均为正数的等比数列{an},前n项和为Sn,且a1=2,则Sm= .
参考答案:
62
【考点】89:等比数列的前n项和.
【分析】,an>0,可得am=a5=32,a1=2,可得公比q=,再利用求和公式即可得出.
【解答】解:∵,an>0,
∴am=a5=32,a1=2,
∴公比q==2,
∴S5==62.
故答案为:62.
15. 方程的解是
参考答案:
。
原方程可化为,解得,或(舍去),
∴。
16. 在的展开式中项的系数为 .
参考答案:
10
17. 若圆锥的母线长为cm,底面圆的周长为cm,则圆锥的体积为 .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,延长A1C1至点P,使C1P=A1C1,连接AP交棱CC1于D.
(Ⅰ)求证:PB1∥平面BDA1;
(Ⅱ)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
参考答案:
本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识,并考查空间想象能力和逻辑推理能力,考查应用向量知识解决问题的能力.
解法一:
(Ⅰ)连结AB1与BA1交于点O,连结OD,
∵C1D∥平面AA1,A1C1∥AP,∴AD=PD,又AO=B1O,
∴OD∥PB1,又ODì面BDA1,PB1?面BDA1,
∴PB1∥平面BDA1.
(Ⅱ)过A作AE⊥DA1于点E,连结BE.∵BA⊥CA,BA⊥AA1,且AA1∩AC=A,
∴BA⊥平面AA1C1C.由三垂线定理可知BE⊥DA1.
∴∠BEA为二面角A-A1D-B的平面角.
在Rt△A1C1D中,,
又,∴.
在Rt△BAE中,,∴.
故二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为.
解法二:
如图,以A1为原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系A1-B1C1A,则,,,,.
(Ⅰ)在△PAA1中有,即.
∴,,.
设平面BA1D的一个法向量为,
则令,则.
∵,
∴PB1∥平面BA1D,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,平面BA1D的一个法向量.
又为平面AA1D的一个法向量.∴.
故二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为.
19. 象棋比赛中,胜一局得2分,和棋一局得1分,负一局得0分,在甲对乙的每局比赛中,甲胜、和、负的概率依次为0.5,0.3,0.2,得分累加。
(I)现此二人进行两局比赛,求甲得2分的概率;
(II)若两人进行三局比赛,求甲至少得4分的概率
参考答案:
(I)解:分别记甲第i局胜、和、负为事件,则
甲得2分的事件为,其概率
……………………6分
(2)甲至少得4分包含三种情况:4分,5分和6分,得4分时甲胜两局负一局或者胜一局和两局;得5分时甲胜两局和一局;6分时甲胜三局
设甲得4分为事件A,甲得5分为事件B, 甲得6分为事件C,则
P(A)= =0.285
P(B)==0.225 P(C)=0.53=0.125
∴P=0.285+0.225+0.125=0.635 …………12分
略
20. (本小题满分13分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的离心率为,过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时,.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求由A,B,C,D四点构成的四边形的面积的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ);(Ⅱ)
【知识点】椭圆的标准方程;直线与椭圆的综合应用
解析:(Ⅰ)由题意知,,则,,
所以.所以椭圆的方程为.