广东省广州市聚德中学2023年高一数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. tan60°=( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】三角函数的化简求值.
【分析】根据特殊角的三角函数值,可得答案.
【解答】解:tan60°=,
故选:D
2. 已知等差数列{an}的公差d>0,则下列四个命题:
①数列{an}是递增数列;
②数列{nan}是递增数列;
③数列是递增数列;
④数列是递增数列;
其中正确命题的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
参考答案:
B
【分析】
对于各个选项中的数列,计算第n+1项与第n项的差,看此差的符号,再根据递增数列的定义得出结论.
【详解】设等差数列,d>0
∵对于①,n+1﹣n=d>0,∴数列是递增数列成立,是真命题.
对于②,数列,得,
,所以不一定是正实数,即数列不一定是递增数列,是假命题.
对于③,数列,得,,不一定是正实数,故是假命题.
对于④,数列,故数列是递增数列成立,是真命题.
故选:B.
3.
参考答案:
D
略
4. 若全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,4},N={2,3},则集合(?UM)∩N等于( )
A.{2,3} B.{2,3,5,6} C.{1,4} D.{1,4,5,6}
参考答案:
A
【考点】交、并、补集的混合运算.
【专题】集合.
【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.
【解答】解:由补集的定义可得?UM={2,3,5,6},
则(?UM)∩N={2,3},
故选:A
【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.
5. 已知α为第二象限角,且,则tan(π+α)的值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】诱导公式的作用;同角三角函数间的基本关系.
【分析】由α为第二象限角,根据sinα的值,利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值,进而求出tanα的值,原式利用诱导公式化简,将tanα的值代入计算即可求出值.
【解答】解:∵α为第二象限角,sinα=,
∴cosα=﹣=﹣,
∴tanα==﹣,
则tan(π+α)=tanα=﹣.
故选D
6. 设奇函数在上为增函数,且,则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
7. 点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是( ).
A、 B、 C、 D、
参考答案:
D
8. 集合的子集有几个 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
9. 若函数 的定义域为R,则实数m的取值范围是
A.(-∞,+∞) B. C. D.
参考答案:
D
由题意知, 在 上恒成立.
(1)当 时,满足条件;
(2)当 时,二次方程 无实根,故 ,所以 .
综上 .
10. 下列函数中,图像的一部分如右图所示的是( )
A. B. yjw
C. D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 观察下列不等式:,,,,,,由此猜想第个不等式为 ▲ .
参考答案:
略
12. 函数的定义域为A,值域为B,则A∩B= ▲ .
参考答案:
[0,2]
略
13. 已知函数,则__;若,则的值为__.
参考答案:
-3 ; 2或-5
【分析】
直接令求解,再根据列出关于的关系式进行求解即可.
【详解】,又故,
所以2或-5
故答案为:-3; 2或-5
【点睛】本题主要考查二次函数的基本运算,属于基础题型.
14. 在实数集R中,我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”.类似的,我们在平面向量集D={|}上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“”.定义如下:对于任意两个向量1=(x1,y1),2=(x2,y2),12,当且仅当“”或“且”.按上述定义的关系“”,给出如下四个命题:
①若1=(1,0),2=(0,1),=(0,0),则12;
②12, 23,则13;
③若12,则对于任意D,( 1+) (2+);
④对于任意向量,=(0,0),若12,则1>2.
其中真命题的序号为 .
参考答案:
①②③
15. 在正三棱锥S-ABC中,外接球的表面积为,M,N分别是SC,BC的中点,且,则此三棱锥侧棱SA= .
参考答案:
略
16. 已知函数,满足,则a=______.
参考答案:
2
【分析】
根据得出函数的对称轴,再根据的性质列方程,由此求得的值.
【详解】由于,故是函数的对称轴,由于的对称轴为,故,解得.
【点睛】本小题主要考查函数的性质,考查含有绝对值函数的性质,属于基础题.
17. (5分)已知α为第三象限的角,,则=
参考答案:
考点: 两角和与差的正切函数;象限角、轴线角;同角三角函数基本关系的运用;二倍角的正弦.
专题: 计算题.
分析: 方法一:由α为第三象限的角,判断出2α可能的范围,再结合又<0确定出2α在第二象限,利用同角三角函数关系求出其正弦,再由两角和的正切公式展开代入求值.
方法二:判断2α可能的范围时用的条件组合方式是推出式,其它比同.
解答: 方法一:因为α为第三象限的角,所以2α∈(2(2k+1)π,π+2(2k+1)π)(k∈Z),
又<0,所以,
于是有,,
所以=.
方法二:α为第三象限的角,,?4kπ+2π<2α<4kπ+3π?2α在二象限,
点评: 本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设直线l经过点M和点N(﹣1,1),且点M是直线x﹣y﹣1=0被直线l1:x+2y﹣1=0,l2:x+2y﹣3=0所截得线段的中点,求直线l的方程.
参考答案:
【考点】待定系数法求直线方程.
【分析】记直线l与两平行线的交点为C、D,CD的中点为M,由两直线交点坐标、中点坐标的求法得到点M的坐标,然后利用待定系数法求直线 l的方程.
【解答】解:设直线 x﹣y﹣1=0与l1,l2的交点为 C,D,
则,∴x=1,y=0,∴C(1,0)
,∴x=,y=,∴D(,)
则C,D的中点M为(,).
又l过点(﹣1,1)由两点式得l的方程为,即2x+7y﹣5=0为所求方程.
19. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a+b﹣5,c=,且4sin2﹣cos2C=.
(1)求角C的大小;
(2)求△ABC的面积.
参考答案:
【考点】解三角形;二倍角的余弦;余弦定理.
【分析】(1)由三角形的内角和定理及诱导公式化简已知的等式,再根据二倍角的余弦函数公式化简,合并整理后得到关于cosC的方程,求出方程的解得到cosC的值,由C为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数;
(2)利用余弦定理表示出c2=a2+b2﹣2abcosC,再根据完全平方公式变形后,将a+b,c及cosC的值代入求出ab的值,然后再由ab,sinC的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.
【解答】解:(1)∵A+B+C=180°,
∴=90°﹣,
由得:,
∴,
整理得:4cos2C﹣4cosC+1=0,
解得:,
∵0°<C<180°,
∴C=60°;
(2)由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2abcosC,即7=a2+b2﹣ab,
∴7=(a+b)2﹣3ab=25﹣3ab?ab=6,
∴.
20. 设函数是定义在上的减函数,并且满足
,.
(1)若存在实数,使得=2,求的值;
(2)如果,求的集合.
参考答案:
(1)且函数是定义在上的减函数
(2)
且函数是定义在上的减函数
即
略
21. 为了解某冷饮店的经营状况,随机记录了该店1~5月的月营业额y(单位:万元)与月份的数据,如下表:
x
1
2
3
4
5
y
11
13
16
15
20
(1)求y关于x的回归直线方程;
(2)若在这些样本点中任取两点,求恰有一点在回归直线上的概率.
附:回归直线方程中,
,.
参考答案:
解:(1),,,,所以,
于是,所以回归有线方程为:.
(2)用,分别表示所取的两个样本点所在的月份,则该试验的基本事件可以表示为有序实数对,于是该试验的基本事件空间为:
,共包含个基本事件,
设“恰有一点在回归直线上”为事件,则中,共包含个基本事件,
所以.
22. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.
(1)求该几何体的体积V.
(2)求该几何体的侧面积S.
参考答案:
(1)由该几何体的俯视图、正视图、侧视图可知,该几何体是四棱锥,且四棱锥的底面ABCD是边长为6和8的矩形,高VO=4,O点是AC与BD的交点.
所以该几何体的体积V=×8×6×4=64.
(2)如图所示,OE⊥AB,OF⊥BC,
在侧面VAB中,VE==5,
所以S△VAB=×AB×VE=×8×5=20.
在侧面VBC中,VF=,